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⑥如图，PA、PB是$\odot O$的切线，切点分别为点A和点B，CD切$\odot O$于点E，若$PA=3$，则$△ PDC$的周长为
12
。答案
12
7 从圆外一点向圆所作两条切线，它们的夹角为$60°$，切线长是$\sqrt{3}$ cm，则圆的半径长为
1
cm。答案
1
解析
【分析】
解题时可结合切线相关性质构造直角三角形求解：首先根据切线的性质，连接圆心和切点可得到直角；再由切线长定理可知，圆外一点与圆心的连线平分两条切线的夹角，结合已知的两条切线夹角60°，可得到直角三角形内的一个30°特殊角，最后结合已知切线长，通过解直角三角形就能求出半径长度。
【解析】
设圆的圆心为O，圆外点为P，两条切线的切点分别为A、B，连接OA、OP。
1. 由切线的性质得：OA⊥PA，即△OAP为直角三角形；
2. 由切线长定理得：OP平分∠APB，已知∠APB=60°，因此$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=30°$；
3. 已知切线长$PA=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，设圆半径$OA=r\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OAP$中，$\tan∠ APO=\frac{OA}{PA}$，代入数值：
$\tan30°=\frac{r}{\sqrt{3}}$
即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{r}{\sqrt{3}}$，解得$r=\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}=1$。
【答案】
1
【知识点】
切线的性质；切线长定理；解直角三角形
【点评】
本题属于圆相关的基础常考题，解题核心是通过辅助线构造含特殊角的直角三角形，结合直角三角形的边角关系即可快速求解，掌握切线的基础性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时可结合切线相关性质构造直角三角形求解：首先根据切线的性质，连接圆心和切点可得到直角；再由切线长定理可知，圆外一点与圆心的连线平分两条切线的夹角，结合已知的两条切线夹角60°，可得到直角三角形内的一个30°特殊角，最后结合已知切线长，通过解直角三角形就能求出半径长度。
【解析】
设圆的圆心为O，圆外点为P，两条切线的切点分别为A、B，连接OA、OP。
1. 由切线的性质得：OA⊥PA，即△OAP为直角三角形；
2. 由切线长定理得：OP平分∠APB，已知∠APB=60°，因此$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=30°$；
3. 已知切线长$PA=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，设圆半径$OA=r\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OAP$中，$\tan∠ APO=\frac{OA}{PA}$，代入数值：
$\tan30°=\frac{r}{\sqrt{3}}$
即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{r}{\sqrt{3}}$，解得$r=\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}=1$。
【答案】
1
【知识点】
切线的性质；切线长定理；解直角三角形
【点评】
本题属于圆相关的基础常考题，解题核心是通过辅助线构造含特殊角的直角三角形，结合直角三角形的边角关系即可快速求解，掌握切线的基础性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
8 如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D。若PA=6，⊙O的半径为2，则∠CPD的度数为
$60°$
。答案
$60°$
解析
【分析】解题时先结合已知线段长度求出OP的长，再利用切线的性质得到直角三角形，通过边角关系求出单角的度数，最后结合切线长定理得到所求角的度数。第一步：根据P的位置、PA的长度和圆的半径，先计算出OP的长度；第二步：利用切线垂直于过切点的半径，得到直角△OCP，通过边的比值求出∠CPO的度数；第三步：根据切线长定理可知OP平分∠CPD，即可算出∠CPD的总度数。
【解析】
解：
∵⊙O的半径为2，
∴OA=OB=OC=2，直径AB=2×2=4。
∵P在AB的延长线上，PA=6，
∴PB=PA - AB=6 - 4=2，
∴OP=OB + PB=2 + 2=4。
∵PC是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°。
在Rt△OCP中，OC=2，OP=4，
∴$\sin∠CPO=\frac{OC}{OP}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴∠CPO=30°。
又
∵PC、PD均为⊙O的切线，根据切线长定理，OP平分∠CPD，
∴∠CPD=2∠CPO=2×30°=60°。
【答案】$60°$
【知识点】切线的性质，切线长定理，解直角三角形
【点评】本题是切线相关性质的基础应用题，解题的核心是结合已知条件构造直角三角形，再结合切线长定理求解，思路清晰，计算量小。
【难度系数】0.7
【解析】
解：
∵⊙O的半径为2，
∴OA=OB=OC=2，直径AB=2×2=4。
∵P在AB的延长线上，PA=6，
∴PB=PA - AB=6 - 4=2，
∴OP=OB + PB=2 + 2=4。
∵PC是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°。
在Rt△OCP中，OC=2，OP=4，
∴$\sin∠CPO=\frac{OC}{OP}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴∠CPO=30°。
又
∵PC、PD均为⊙O的切线，根据切线长定理，OP平分∠CPD，
∴∠CPD=2∠CPO=2×30°=60°。
【答案】$60°$
【知识点】切线的性质，切线长定理，解直角三角形
【点评】本题是切线相关性质的基础应用题，解题的核心是结合已知条件构造直角三角形，再结合切线长定理求解，思路清晰，计算量小。
【难度系数】0.7
9 如图，MA、MB是$\odot O$的两条切线，A、B为切点，若$∠ AMB=60°$，$AB=1$，则$\odot O$的直径等于________。
答案
$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
首先根据切线长定理可得MA=MB，结合已知∠AMB=60°，可判定△AMB为等边三角形，得到MA=AB=1；再根据切线的性质得OA⊥MA，结合切线长定理可知OM平分∠AMB，可得∠AMO=30°；最后在Rt△OAM中利用三角函数求出半径OA，乘以2即可得到⊙O的直径。
【解析】
解：
∵MA、MB是⊙O的切线，A、B为切点
∴MA=MB，OA⊥MA，OM平分∠AMB
∵∠AMB=60°，MA=MB
∴△AMB是等边三角形
∴MA=AB=1
∵OM平分∠AMB
∴$∠ AMO=\frac{1}{2}∠ AMB=30°$
在$Rt△ OAM$中，$∠ OAM=90°$，$∠ AMO=30°$
∴$\tan∠ AMO=\frac{OA}{MA}$
即$\tan30°=\frac{OA}{1}$，解得$OA=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴⊙O的直径为$2OA=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
切线长定理，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的核心是通过切线相关性质推导特殊三角形，再结合三角函数求出半径，是圆部分的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
首先根据切线长定理可得MA=MB，结合已知∠AMB=60°，可判定△AMB为等边三角形，得到MA=AB=1；再根据切线的性质得OA⊥MA，结合切线长定理可知OM平分∠AMB，可得∠AMO=30°；最后在Rt△OAM中利用三角函数求出半径OA，乘以2即可得到⊙O的直径。
【解析】
解：
∵MA、MB是⊙O的切线，A、B为切点
∴MA=MB，OA⊥MA，OM平分∠AMB
∵∠AMB=60°，MA=MB
∴△AMB是等边三角形
∴MA=AB=1
∵OM平分∠AMB
∴$∠ AMO=\frac{1}{2}∠ AMB=30°$
在$Rt△ OAM$中，$∠ OAM=90°$，$∠ AMO=30°$
∴$\tan∠ AMO=\frac{OA}{MA}$
即$\tan30°=\frac{OA}{1}$，解得$OA=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴⊙O的直径为$2OA=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
切线长定理，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的核心是通过切线相关性质推导特殊三角形，再结合三角函数求出半径，是圆部分的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
10 如图,过$\odot O$外一点$P$作$\odot O$的两条切线$PA$、$PB$,切点分别为$A$、$B$。下列结论中,正确的有________。(填序号)
① $OP$垂直平分$AB$; ②$∠ APB = ∠ BOP$;③$△ ACP ≌ △ BCP$;④$PA = AB$; ⑤若$∠ APB = 80°$,则$∠ OBA = 40°$
① $OP$垂直平分$AB$; ②$∠ APB = ∠ BOP$;③$△ ACP ≌ △ BCP$;④$PA = AB$; ⑤若$∠ APB = 80°$,则$∠ OBA = 40°$
答案
①③⑤
解析
【分析】
解题时先回忆切线的性质、切线长定理相关知识，结合等腰三角形三线合一、全等三角形判定规则逐个验证5个结论：首先由切线长定理得到PA=PB、OP平分∠APB，据此判断①③；再结合切线垂直过切点的半径，推导角的数量关系判断②⑤；最后分析④成立的特殊条件即可得出答案。
【解析】
已知PA、PB是$\odot O$的切线，根据切线性质和切线长定理可得：$PA=PB$，$OP$平分$∠ APB$，$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$。
1. 验证①：$\because PA=PB$，$OP$平分$∠ APB$，由等腰三角形三线合一的性质，可得$OP$垂直平分$AB$，故①正确。
2. 验证②：$\because OB⊥ PB$，$\therefore ∠ OBP=90°$，即$∠ BOP+∠ OPB=90°$，又$\because ∠ APB=2∠ OPB$，则$∠ BOP+\frac{1}{2}∠ APB=90°$，仅当$∠ APB=60°$时$∠ APB=∠ BOP$，一般情况不成立，故②错误。
3. 验证③：由①可知$AC=BC$，$∠ ACP=∠ BCP=90°$，又$\because PC=PC$，根据SAS判定规则，可得$△ ACP≌△ BCP$，故③正确。
4. 验证④：$PA=PB$，只有当$∠ APB=60°$时$△ PAB$为等边三角形，$PA=AB$，题干无此特殊条件，故④错误。
5. 验证⑤：若$∠ APB=80°$，则$∠ OPB=\frac{1}{2}∠ APB=40°$，$\because OP⊥ AB$，$\therefore ∠ PBA=90°-∠ OPB=50°$，又$\because OB⊥ PB$，$∠ OBP=90°$，$\therefore ∠ OBA=∠ OBP-∠ PBA=90°-50°=40°$，故⑤正确。
【答案】
①③⑤
【知识点】
切线长定理；全等三角形判定；切线的性质
【点评】
本题是圆切线性质的基础综合题，需要结合等腰三角形性质逐个验证结论，解题时注意不要默认特殊角度条件，需严谨推导角和边的关系。
【难度系数】
0.65
解题时先回忆切线的性质、切线长定理相关知识，结合等腰三角形三线合一、全等三角形判定规则逐个验证5个结论：首先由切线长定理得到PA=PB、OP平分∠APB，据此判断①③；再结合切线垂直过切点的半径，推导角的数量关系判断②⑤；最后分析④成立的特殊条件即可得出答案。
【解析】
已知PA、PB是$\odot O$的切线，根据切线性质和切线长定理可得：$PA=PB$，$OP$平分$∠ APB$，$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$。
1. 验证①：$\because PA=PB$，$OP$平分$∠ APB$，由等腰三角形三线合一的性质，可得$OP$垂直平分$AB$，故①正确。
2. 验证②：$\because OB⊥ PB$，$\therefore ∠ OBP=90°$，即$∠ BOP+∠ OPB=90°$，又$\because ∠ APB=2∠ OPB$，则$∠ BOP+\frac{1}{2}∠ APB=90°$，仅当$∠ APB=60°$时$∠ APB=∠ BOP$，一般情况不成立，故②错误。
3. 验证③：由①可知$AC=BC$，$∠ ACP=∠ BCP=90°$，又$\because PC=PC$，根据SAS判定规则，可得$△ ACP≌△ BCP$，故③正确。
4. 验证④：$PA=PB$，只有当$∠ APB=60°$时$△ PAB$为等边三角形，$PA=AB$，题干无此特殊条件，故④错误。
5. 验证⑤：若$∠ APB=80°$，则$∠ OPB=\frac{1}{2}∠ APB=40°$，$\because OP⊥ AB$，$\therefore ∠ PBA=90°-∠ OPB=50°$，又$\because OB⊥ PB$，$∠ OBP=90°$，$\therefore ∠ OBA=∠ OBP-∠ PBA=90°-50°=40°$，故⑤正确。
【答案】
①③⑤
【知识点】
切线长定理；全等三角形判定；切线的性质
【点评】
本题是圆切线性质的基础综合题，需要结合等腰三角形性质逐个验证结论，解题时注意不要默认特殊角度条件，需严谨推导角和边的关系。
【难度系数】
0.65
11 已知:点 P 是$\odot O$外一点。
(1) 尺规作图:如图,以 OP 为直径作$\odot O'$交$\odot O$于 E、F 两点。连接 OP、PE、PF。(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2) 在(1)的条件下,求证:PE、PF 是$\odot O$的切线。
(3) 在(1)、(2)的条件下,若点 D 在$\odot O$上(点 D 不与 E、F 两点重合),且$∠ EPF=50°$,求$∠ EDF$的度数。
(1) 尺规作图:如图,以 OP 为直径作$\odot O'$交$\odot O$于 E、F 两点。连接 OP、PE、PF。(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2) 在(1)的条件下,求证:PE、PF 是$\odot O$的切线。
(3) 在(1)、(2)的条件下,若点 D 在$\odot O$上(点 D 不与 E、F 两点重合),且$∠ EPF=50°$,求$∠ EDF$的度数。
答案
(1) 图形如图所示。
(2) 连接OE、OF。因为OP是⊙O'的直径，所以∠OEP=∠OFP=90°,所以OE⊥PE, OF⊥PF。因为OE、OF是⊙O的半径，所以PE、PF是⊙O的切线。
(3) 如图,当点D在优弧EF上时,因为∠OEP=∠OFP=90°,所以∠EOF=180°−∠EPF=130°,所以∠EDF=$\frac{1}{2}$∠EOF=65°。当点D'在劣弧EF上时,∠ED'F=$\frac{1}{2}(360°-∠ EOF)$。综上所述,∠EDF的度数为65°或115°。
解析
【分析】
（1）作图思路：要作以OP为直径的⊙O'，首先作线段OP的垂直平分线找到OP的中点O'，再以O'为圆心，O'O（或O'P）的长度为半径画圆，与⊙O的交点即为E、F，再按要求连接对应线段即可。
（2）证明切线思路：切线的判定定理为“经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，因此只需连接OE、OF，证明OE⊥PE、OF⊥PF即可；由OP是⊙O'的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，可直接得到∠OEP=∠OFP=90°，满足切线判定条件。
（3）求角度思路：首先在四边形OEPF中，利用四边形内角和为360°，结合已知的两个直角和∠EPF=50°，求出圆心角∠EOF的度数；再分两种情况讨论：①点D在优弧EF上时，根据圆周角定理“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”计算∠EDF；②点D在劣弧EF上时，通过优弧EF对应的圆心角计算圆周角，注意不要漏解。
【解析】
(1) 先作OP的垂直平分线确定OP的中点O'，以O'为圆心、$\frac{1}{2}OP$为半径作圆，交⊙O于E、F两点，再连接OP、PE、PF，保留作图痕迹即可。
(2) 证明：连接OE、OF。
∵ OP是⊙O'的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠OEP=∠OFP=90°，即OE⊥PE，OF⊥PF。
又
∵ OE、OF是⊙O的半径，符合切线判定条件，
∴ PE、PF是⊙O的切线。
(3) 解：在四边形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°，∠EPF=50°，
由四边形内角和为360°可得：
∠EOF=360°-90°-90°-50°=130°。
分两种情况讨论：
① 当点D在优弧EF上时，根据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，
∴ ∠EDF=$\frac{1}{2}$∠EOF=$\frac{1}{2}$×130°=65°；
② 当点D在劣弧EF上时，∠EDF对应优弧EF，优弧EF的度数为360°-130°=230°，
∴ ∠EDF=$\frac{1}{2}$×230°=115°。
【答案】
(1) 图形如图所示。
(2) 连接OE、OF。因为OP是⊙O'的直径，所以∠OEP=∠OFP=90°,所以OE⊥PE, OF⊥PF。因为OE、OF是⊙O的半径，所以PE、PF是⊙O的切线。
(3) 当点D在优弧EF上时,因为∠OEP=∠OFP=90°,所以∠EOF=180°−∠EPF=130°,所以∠EDF=$\frac{1}{2}$∠EOF=65°。当点D'在劣弧EF上时,∠ED'F=$\frac{1}{2}(360°-∠ EOF)=115°$。综上所述,∠EDF的度数为65°或115°。
【知识点】
切线的判定、圆周角定理、直径的性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图、切线的证明及圆周角的计算，解题时需注意第三问要分点D在优弧、劣弧两种情况讨论，避免漏解，是圆章节的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
（1）作图思路：要作以OP为直径的⊙O'，首先作线段OP的垂直平分线找到OP的中点O'，再以O'为圆心，O'O（或O'P）的长度为半径画圆，与⊙O的交点即为E、F，再按要求连接对应线段即可。
（2）证明切线思路：切线的判定定理为“经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，因此只需连接OE、OF，证明OE⊥PE、OF⊥PF即可；由OP是⊙O'的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，可直接得到∠OEP=∠OFP=90°，满足切线判定条件。
（3）求角度思路：首先在四边形OEPF中，利用四边形内角和为360°，结合已知的两个直角和∠EPF=50°，求出圆心角∠EOF的度数；再分两种情况讨论：①点D在优弧EF上时，根据圆周角定理“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”计算∠EDF；②点D在劣弧EF上时，通过优弧EF对应的圆心角计算圆周角，注意不要漏解。
【解析】
(1) 先作OP的垂直平分线确定OP的中点O'，以O'为圆心、$\frac{1}{2}OP$为半径作圆，交⊙O于E、F两点，再连接OP、PE、PF，保留作图痕迹即可。
(2) 证明：连接OE、OF。
∵ OP是⊙O'的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠OEP=∠OFP=90°，即OE⊥PE，OF⊥PF。
又
∵ OE、OF是⊙O的半径，符合切线判定条件，
∴ PE、PF是⊙O的切线。
(3) 解：在四边形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°，∠EPF=50°，
由四边形内角和为360°可得：
∠EOF=360°-90°-90°-50°=130°。
分两种情况讨论：
① 当点D在优弧EF上时，根据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，
∴ ∠EDF=$\frac{1}{2}$∠EOF=$\frac{1}{2}$×130°=65°；
② 当点D在劣弧EF上时，∠EDF对应优弧EF，优弧EF的度数为360°-130°=230°，
∴ ∠EDF=$\frac{1}{2}$×230°=115°。
【答案】
(1) 图形如图所示。
(2) 连接OE、OF。因为OP是⊙O'的直径，所以∠OEP=∠OFP=90°,所以OE⊥PE, OF⊥PF。因为OE、OF是⊙O的半径，所以PE、PF是⊙O的切线。
(3) 当点D在优弧EF上时,因为∠OEP=∠OFP=90°,所以∠EOF=180°−∠EPF=130°,所以∠EDF=$\frac{1}{2}$∠EOF=65°。当点D'在劣弧EF上时,∠ED'F=$\frac{1}{2}(360°-∠ EOF)=115°$。综上所述,∠EDF的度数为65°或115°。
【知识点】
切线的判定、圆周角定理、直径的性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图、切线的证明及圆周角的计算，解题时需注意第三问要分点D在优弧、劣弧两种情况讨论，避免漏解，是圆章节的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
