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12 如图，AB为$\odot O$的直径，过圆外一点E作$\odot O$的两条切线EC、EB，切点分别为点D、B，EC交BA的延长线于点C，连接OE、AD。
（1）写出AD与OE的位置关系，并说明理由。
（2）若$BE=6$，$CD=4$，求$\odot O$的半径。
（1）写出AD与OE的位置关系，并说明理由。
（2）若$BE=6$，$CD=4$，求$\odot O$的半径。
答案
(1) $AD // OE$,理由如下:因为CE、BE是 $\odot O$的切线,所以$∠ ODE = ∠ OBE = 90°$。因为$OB = OD$,所以$\mathrm{Rt}△ DOE ≌ \mathrm{Rt}△ BOE$,所以$∠ DOE = ∠ BOE$。因为$OA = OD$,所以$∠ ODA = ∠ OAD$。因为$∠ DOB = ∠ DOE + ∠ BOE = ∠ ODA + ∠ OAD$,所以$∠ DOE = ∠ ODA$,所以$AD // OE$。
(2) 因为CE、BE是$\odot O$的切线,所以$DE = BE = 6$,所以$CE = DE + CD = 6 + 4 = 10$,所以$BC=\sqrt{CE^2-BE^2}=8$。设$OB = OD = r$,则$OC = 8 - r$。在$\mathrm{Rt}△ CDO$中,因为$CD^2 + OD^2 = OC^2$,所以$4^2 + r^2 = (8 - r)^2$,解得$r = 3$,即$\odot O$的半径为3。
(2) 因为CE、BE是$\odot O$的切线,所以$DE = BE = 6$,所以$CE = DE + CD = 6 + 4 = 10$,所以$BC=\sqrt{CE^2-BE^2}=8$。设$OB = OD = r$,则$OC = 8 - r$。在$\mathrm{Rt}△ CDO$中,因为$CD^2 + OD^2 = OC^2$,所以$4^2 + r^2 = (8 - r)^2$,解得$r = 3$,即$\odot O$的半径为3。
解析
【分析】
（1）判断AD与OE的位置关系可先猜想为平行，需通过角相等证明：首先利用切线性质得到直角，结合公共边和半径相等证明直角三角形全等，得到等角；再结合等腰三角形性质和三角形外角性质推导内错角相等，即可证明平行。
（2）求圆的半径可利用方程思想求解：首先根据切线长定理得到相等线段，求出CE的长度，再用勾股定理算出BC的长度；设半径为r，用含r的式子表示OC的长度，最后在Rt△CDO中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) $AD // OE$，理由如下：
∵CE、BE是$\odot O$的切线，
∴$∠ODE = ∠OBE = 90°$。
又
∵$OB = OD$，$OE = OE$，
∴$\mathrm{Rt}△DOE ≌ \mathrm{Rt}△BOE(\mathrm{HL})$，
∴$∠DOE = ∠BOE$。
∵$OA = OD$，
∴$∠ODA = ∠OAD$。
∵$∠DOB$是$△ AOD$的外角，
∴$∠DOB = ∠DOE + ∠BOE = ∠ODA + ∠OAD$，
代入等角化简得$∠DOE = ∠ODA$，
∴$AD // OE$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 由切线长定理可得$DE = BE = 6$，
∴$CE = CD + DE = 4 + 6 = 10$。
在$\mathrm{Rt}△CBE$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{CE^2 - BE^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB = OD = r$，$OC = 8 - r$。
在$\mathrm{Rt}△CDO$中，由勾股定理得：
$CD^2 + OD^2 = OC^2$，
即$4^2 + r^2 = (8 - r)^2$，
解得$r = 3$。
【答案】
(1) $AD // OE$；(2) $\odot O$的半径为$\boxed{3}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的核心是熟练掌握切线相关性质，通过全等三角形倒角证明平行关系，结合勾股定理列方程求解半径，是圆章节的典型常考题型，需掌握这类题的常规解题思路。
【难度系数】
0.7
（1）判断AD与OE的位置关系可先猜想为平行，需通过角相等证明：首先利用切线性质得到直角，结合公共边和半径相等证明直角三角形全等，得到等角；再结合等腰三角形性质和三角形外角性质推导内错角相等，即可证明平行。
（2）求圆的半径可利用方程思想求解：首先根据切线长定理得到相等线段，求出CE的长度，再用勾股定理算出BC的长度；设半径为r，用含r的式子表示OC的长度，最后在Rt△CDO中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) $AD // OE$，理由如下：
∵CE、BE是$\odot O$的切线，
∴$∠ODE = ∠OBE = 90°$。
又
∵$OB = OD$，$OE = OE$，
∴$\mathrm{Rt}△DOE ≌ \mathrm{Rt}△BOE(\mathrm{HL})$，
∴$∠DOE = ∠BOE$。
∵$OA = OD$，
∴$∠ODA = ∠OAD$。
∵$∠DOB$是$△ AOD$的外角，
∴$∠DOB = ∠DOE + ∠BOE = ∠ODA + ∠OAD$，
代入等角化简得$∠DOE = ∠ODA$，
∴$AD // OE$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 由切线长定理可得$DE = BE = 6$，
∴$CE = CD + DE = 4 + 6 = 10$。
在$\mathrm{Rt}△CBE$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{CE^2 - BE^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB = OD = r$，$OC = 8 - r$。
在$\mathrm{Rt}△CDO$中，由勾股定理得：
$CD^2 + OD^2 = OC^2$，
即$4^2 + r^2 = (8 - r)^2$，
解得$r = 3$。
【答案】
(1) $AD // OE$；(2) $\odot O$的半径为$\boxed{3}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的核心是熟练掌握切线相关性质，通过全等三角形倒角证明平行关系，结合勾股定理列方程求解半径，是圆章节的典型常考题型，需掌握这类题的常规解题思路。
【难度系数】
0.7
13 如图，直线AB、BC、CD分别与$\odot O$相切于E、F、G，且$AB // CD$，$OB=6\ \mathrm{cm}$，$OC=8\ \mathrm{cm}$。
求：(1) $∠ BOC$的度数。
(2) $BE + CG$的长。
(3) $\odot O$的半径。
求：(1) $∠ BOC$的度数。
(2) $BE + CG$的长。
(3) $\odot O$的半径。
答案
(1) 连接OF。根据切线长定理,得$BE = BF$, $CF = CG$, $∠ OBF = ∠ OBE$, $∠ OCF = ∠ OCG$。因为$AB // CD$,所以$∠ ABC + ∠ BCD = 180°$,所以$∠ OBF + ∠ OCF = 90°$,所以$∠ BOC = 90°$。
(2) 由(1)知,$∠ BOC = 90°$。因为$OB = 6\ \mathrm{cm}$, $OC = 8\ \mathrm{cm}$,由勾股定理,得$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=10\ \mathrm{cm}$,所以$BE + CG = BC = 10\ \mathrm{cm}$。
(3) 因为BC与$\odot O$相切于点F,所以$OF ⊥ BC$,所以$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}OF × BC=\frac{1}{2}OB × OC$,即$\frac{1}{2}OF × 10=\frac{1}{2} × 6 × 8$。所以$OF = 4.8\ \mathrm{cm}$。
(2) 由(1)知,$∠ BOC = 90°$。因为$OB = 6\ \mathrm{cm}$, $OC = 8\ \mathrm{cm}$,由勾股定理,得$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=10\ \mathrm{cm}$,所以$BE + CG = BC = 10\ \mathrm{cm}$。
(3) 因为BC与$\odot O$相切于点F,所以$OF ⊥ BC$,所以$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}OF × BC=\frac{1}{2}OB × OC$,即$\frac{1}{2}OF × 10=\frac{1}{2} × 6 × 8$。所以$OF = 4.8\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1) 求∠BOC度数时，先结合切线长定理可得OB、OC分别平分∠ABC和∠BCD，再利用AB//CD的性质得同旁内角互补，推导可得∠OBC与∠OCB的和为90°，即可求出∠BOC的度数；
(2) 求BE+CG的长时，根据切线长定理可将BE转化为BF、CG转化为CF，因此BE+CG的和就是BC的长，先通过勾股定理计算Rt△BOC的斜边BC即可；
(3) 求⊙O的半径时，根据切线的性质可知半径OF垂直于BC，利用△OBC面积的两种计算方法（等面积法）建立等式，即可求出半径OF的长度。
【解析】
(1) 连接OF。
根据切线长定理，得$BE = BF$，$CF = CG$，$∠OBF = ∠OBE$，$∠OCF = ∠OCG$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ABC + ∠BCD = 180°$，
∴$∠OBF + ∠OCF = \frac{1}{2}(∠ABC + ∠BCD) = 90°$，
∴$∠BOC = 180° - (∠OBF + ∠OCF) = 90°$。
(2) 由(1)知$∠BOC = 90°$，
∵$OB = 6\ \mathrm{cm}$，$OC = 8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$，
又
∵$BE=BF$，$CG=CF$，
∴$BE + CG = BF + CF = BC = 10\ \mathrm{cm}$。
(3)
∵BC与$\odot O$相切于点F，
∴$OF ⊥ BC$，OF就是$\odot O$的半径。
$△ OBC$的面积可表示为$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}OF · BC$，也可表示为$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}OB · OC$，
∴$\frac{1}{2} × OF × 10=\frac{1}{2} × 6 × 8$，
解得$OF = 4.8\ \mathrm{cm}$，即$\odot O$的半径为4.8cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90°}$
(2) $\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$
(3) $\boldsymbol{4.8\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
切线长定理，勾股定理，切线的性质
【点评】
本题是圆的切线部分的典型综合习题，解题核心是灵活运用切线长定理实现角和线段的等量转化，结合平行线性质、勾股定理和等面积法即可求解，能较好地考查学生对相关知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠BOC度数时，先结合切线长定理可得OB、OC分别平分∠ABC和∠BCD，再利用AB//CD的性质得同旁内角互补，推导可得∠OBC与∠OCB的和为90°，即可求出∠BOC的度数；
(2) 求BE+CG的长时，根据切线长定理可将BE转化为BF、CG转化为CF，因此BE+CG的和就是BC的长，先通过勾股定理计算Rt△BOC的斜边BC即可；
(3) 求⊙O的半径时，根据切线的性质可知半径OF垂直于BC，利用△OBC面积的两种计算方法（等面积法）建立等式，即可求出半径OF的长度。
【解析】
(1) 连接OF。
根据切线长定理，得$BE = BF$，$CF = CG$，$∠OBF = ∠OBE$，$∠OCF = ∠OCG$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ABC + ∠BCD = 180°$，
∴$∠OBF + ∠OCF = \frac{1}{2}(∠ABC + ∠BCD) = 90°$，
∴$∠BOC = 180° - (∠OBF + ∠OCF) = 90°$。
(2) 由(1)知$∠BOC = 90°$，
∵$OB = 6\ \mathrm{cm}$，$OC = 8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$，
又
∵$BE=BF$，$CG=CF$，
∴$BE + CG = BF + CF = BC = 10\ \mathrm{cm}$。
(3)
∵BC与$\odot O$相切于点F，
∴$OF ⊥ BC$，OF就是$\odot O$的半径。
$△ OBC$的面积可表示为$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}OF · BC$，也可表示为$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}OB · OC$，
∴$\frac{1}{2} × OF × 10=\frac{1}{2} × 6 × 8$，
解得$OF = 4.8\ \mathrm{cm}$，即$\odot O$的半径为4.8cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90°}$
(2) $\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$
(3) $\boldsymbol{4.8\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
切线长定理，勾股定理，切线的性质
【点评】
本题是圆的切线部分的典型综合习题，解题核心是灵活运用切线长定理实现角和线段的等量转化，结合平行线性质、勾股定理和等面积法即可求解，能较好地考查学生对相关知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
14 如图，PA、PB、CD是$\odot O$的切线，切点分别为点A、B、E。
（1）如果$△ PCD$的周长为10，求PA的长。
（2）如果$∠ P = 40°$。①求$∠ COD$的度数；②连接AE、BE，求$∠ AEB$的度数。
（1）如果$△ PCD$的周长为10，求PA的长。
（2）如果$∠ P = 40°$。①求$∠ COD$的度数；②连接AE、BE，求$∠ AEB$的度数。
答案
(1) 因为PA、PB、CD是$\odot O$的切线,点A、B、E为切点,所以$PA = PB$, $AC = CE$, $ED = BD$。因为$△ PCD$的周长为10,所以$PC + CD + PD = 10$,所以$PC + CE + DE + PD = PC + AC + PD + BD = PA + PB = 2PA = 10$,所以$PA = 5$。
(2) ① 因为$∠ P = 40°$,所以$∠ PCD + ∠ PDC = 180° - 40° = 140°$,所以$∠ ACD + ∠ BDE = 360° - 140° = 220°$。因为PA、PB、CD是 $\odot O$的切线,点A、B、E为切点,可证$∠ ACO = ∠ DCO = \frac{1}{2}∠ ACD$, $∠ BDO = ∠ EDO = \frac{1}{2}∠ BDE$,所以$∠ OCD + ∠ ODC = \frac{1}{2} × 220° = 110°$,所以$∠ COD = 180° - 110° = 70°$。
② $∠ AEB = 180° - ∠ AEC - ∠ BED = 180° - \frac{180° - ∠ ACD}{2} - \frac{180° - ∠ BDE}{2} = 110°$。
(2) ① 因为$∠ P = 40°$,所以$∠ PCD + ∠ PDC = 180° - 40° = 140°$,所以$∠ ACD + ∠ BDE = 360° - 140° = 220°$。因为PA、PB、CD是 $\odot O$的切线,点A、B、E为切点,可证$∠ ACO = ∠ DCO = \frac{1}{2}∠ ACD$, $∠ BDO = ∠ EDO = \frac{1}{2}∠ BDE$,所以$∠ OCD + ∠ ODC = \frac{1}{2} × 220° = 110°$,所以$∠ COD = 180° - 110° = 70°$。
② $∠ AEB = 180° - ∠ AEC - ∠ BED = 180° - \frac{180° - ∠ ACD}{2} - \frac{180° - ∠ BDE}{2} = 110°$。
解析
【分析】
（1）求解PA的长需运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可得$PA=PB$、$AC=CE$、$BD=DE$。将$△ PCD$的周长中的$CD$拆分为$CE+DE$，替换为$AC+BD$后，即可将周长转化为$PA+PB=2PA$，代入数值即可求得PA。
（2）①求$∠ COD$：先在$△ PCD$中用三角形内角和求出$∠ PCD+∠ PDC$的度数，再结合邻补角性质得到$∠ ACD+∠ BDE$的度数；由切线长定理可知OC平分$∠ ACD$、OD平分$∠ BDE$，可求得$∠ OCD+∠ ODC$的度数，最后在$△ COD$中用内角和定理即可求出$∠ COD$。
②求$∠ AEB$：由$AC=CE$、$BD=DE$可知$△ ACE$、$△ BDE$为等腰三角形，可用$∠ ACD$、$∠ BDE$分别表示出$∠ AEC$、$∠ BED$，结合平角为$180°$的性质即可求出$∠ AEB$。
【解析】
(1) 解：$\because PA、PB、CD$是$\odot O$的切线，切点分别为A、B、E，
根据切线长定理得：$PA = PB$，$AC = CE$，$ED = BD$。
$\because △ PCD$的周长为10，
$\therefore PC + CD + PD = 10$，
将$CD=CE+DE$代入得：$PC + CE + DE + PD = PC + AC + PD + BD = PA + PB = 2PA = 10$，
解得$PA = 5$。
(2) ① 解：在$△ PCD$中，$∠ P = 40°$，
根据三角形内角和定理：$∠ PCD + ∠ PDC = 180° - ∠ P = 180° - 40° = 140°$，
$\therefore ∠ ACD + ∠ BDE = (180°-∠ PCD)+(180°-∠ PDC) = 360° - 140° = 220°$。
$\because PA、PB、CD$是$\odot O$的切线，切点分别为A、B、E，
$\therefore OC$平分$∠ ACD$，$OD$平分$∠ BDE$，即$∠ OCD = \frac{1}{2}∠ ACD$，$∠ ODC = \frac{1}{2}∠ BDE$，
$\therefore ∠ OCD + ∠ ODC = \frac{1}{2}(∠ ACD + ∠ BDE) = \frac{1}{2} × 220° = 110°$，
在$△ COD$中，$∠ COD = 180° - (∠ OCD + ∠ ODC) = 180° - 110° = 70°$。
② 解：$\because AC=CE$，$BD=DE$，
$\therefore △ ACE$和$△ BDE$均为等腰三角形，
$\therefore ∠ AEC = \frac{180° - ∠ ACD}{2}$，$∠ BED = \frac{180° - ∠ BDE}{2}$，
$\because ∠ AEC + ∠ AEB + ∠ BED = 180°$，
$\therefore ∠ AEB = 180° - ∠ AEC - ∠ BED$
$= 180° - \frac{180° - ∠ ACD}{2} - \frac{180° - ∠ BDE}{2}$
$= \frac{∠ ACD + ∠ BDE}{2}$，
将$∠ ACD + ∠ BDE=220°$代入得：$∠ AEB = \frac{220°}{2} = 110°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{PA=5}$
(2) ① $\boldsymbol{∠ COD=70°}$；② $\boldsymbol{∠ AEB=110°}$
【知识点】
切线长定理；三角形内角和定理；等腰三角形性质
【点评】
本题围绕圆的切线相关性质设置问题，解题核心是灵活运用切线长定理实现线段、角的等量转化，既考查基础定理的识记，也考查逻辑推导能力，熟练掌握切线相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
（1）求解PA的长需运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可得$PA=PB$、$AC=CE$、$BD=DE$。将$△ PCD$的周长中的$CD$拆分为$CE+DE$，替换为$AC+BD$后，即可将周长转化为$PA+PB=2PA$，代入数值即可求得PA。
（2）①求$∠ COD$：先在$△ PCD$中用三角形内角和求出$∠ PCD+∠ PDC$的度数，再结合邻补角性质得到$∠ ACD+∠ BDE$的度数；由切线长定理可知OC平分$∠ ACD$、OD平分$∠ BDE$，可求得$∠ OCD+∠ ODC$的度数，最后在$△ COD$中用内角和定理即可求出$∠ COD$。
②求$∠ AEB$：由$AC=CE$、$BD=DE$可知$△ ACE$、$△ BDE$为等腰三角形，可用$∠ ACD$、$∠ BDE$分别表示出$∠ AEC$、$∠ BED$，结合平角为$180°$的性质即可求出$∠ AEB$。
【解析】
(1) 解：$\because PA、PB、CD$是$\odot O$的切线，切点分别为A、B、E，
根据切线长定理得：$PA = PB$，$AC = CE$，$ED = BD$。
$\because △ PCD$的周长为10，
$\therefore PC + CD + PD = 10$，
将$CD=CE+DE$代入得：$PC + CE + DE + PD = PC + AC + PD + BD = PA + PB = 2PA = 10$，
解得$PA = 5$。
(2) ① 解：在$△ PCD$中，$∠ P = 40°$，
根据三角形内角和定理：$∠ PCD + ∠ PDC = 180° - ∠ P = 180° - 40° = 140°$，
$\therefore ∠ ACD + ∠ BDE = (180°-∠ PCD)+(180°-∠ PDC) = 360° - 140° = 220°$。
$\because PA、PB、CD$是$\odot O$的切线，切点分别为A、B、E，
$\therefore OC$平分$∠ ACD$，$OD$平分$∠ BDE$，即$∠ OCD = \frac{1}{2}∠ ACD$，$∠ ODC = \frac{1}{2}∠ BDE$，
$\therefore ∠ OCD + ∠ ODC = \frac{1}{2}(∠ ACD + ∠ BDE) = \frac{1}{2} × 220° = 110°$，
在$△ COD$中，$∠ COD = 180° - (∠ OCD + ∠ ODC) = 180° - 110° = 70°$。
② 解：$\because AC=CE$，$BD=DE$，
$\therefore △ ACE$和$△ BDE$均为等腰三角形，
$\therefore ∠ AEC = \frac{180° - ∠ ACD}{2}$，$∠ BED = \frac{180° - ∠ BDE}{2}$，
$\because ∠ AEC + ∠ AEB + ∠ BED = 180°$，
$\therefore ∠ AEB = 180° - ∠ AEC - ∠ BED$
$= 180° - \frac{180° - ∠ ACD}{2} - \frac{180° - ∠ BDE}{2}$
$= \frac{∠ ACD + ∠ BDE}{2}$，
将$∠ ACD + ∠ BDE=220°$代入得：$∠ AEB = \frac{220°}{2} = 110°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{PA=5}$
(2) ① $\boldsymbol{∠ COD=70°}$；② $\boldsymbol{∠ AEB=110°}$
【知识点】
切线长定理；三角形内角和定理；等腰三角形性质
【点评】
本题围绕圆的切线相关性质设置问题，解题核心是灵活运用切线长定理实现线段、角的等量转化，既考查基础定理的识记，也考查逻辑推导能力，熟练掌握切线相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
