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15 如图，以$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角边$AB$为直径作$\odot O$，与斜边$AC$交于点$D$，过点$D$作$\odot O$的切线交边$BC$于点$E$。
（1）求证：$EB=EC=ED$。
（2）试问在线段$DC$上是否存在点$F$，满足$BC^2=4DF· DC$。若存在，作出点$F$，并予以证明；若不存在，请说明理由。
（1）求证：$EB=EC=ED$。
（2）试问在线段$DC$上是否存在点$F$，满足$BC^2=4DF· DC$。若存在，作出点$F$，并予以证明；若不存在，请说明理由。
答案
(1) 连接BD。由于ED、EB是$\odot O$的切线,由切线长定理,得$ED = EB$,易得$∠ DEO = ∠ BEO$,所以OE垂直平分BD。因为AB是$\odot O$的直径,所以$AD ⊥ BD$,所以$AD // OE$,即$OE // AC$。因为O为AB的中点,所以OE为$△ ABC$的中位线,所以$BE = EC$,所以$EB = EC = ED$。
(2) 在$△ DEC$中,由于$ED = EC$,所以$∠ C = ∠ CDE$,所以$∠ DEC = 180° - 2∠ C$。①当$∠ DEC ＞ ∠ C$时,有$180° - 2∠ C ＞ ∠ C$,即$0° ＜ ∠ C ＜ 60°$时,在线段DC上存在点F满足条件。在$∠ DEC$内,以ED为一边,作$∠ DEF$,使$∠ DEF = ∠ C$,且EF交DC于点F,则点F即为所求。因为在$△ DCE$和$△ DEF$中,$∠ CDE = ∠ EDF$, $∠ C = ∠ DEF$,所以$△ DEF ∽ △ DCE$,所以$DE^2 = DF · DC$,即$(\frac{1}{2}BC)^2 = DF · DC$,所以$BC^2 = 4DF · DC$。②当$∠ DEC = ∠ C$时,$△ DEC$为等边三角形,即$∠ DEC = ∠ C = 60°$,此时,C点即为满足条件的F点,于是,$DF = DC = DE$,仍有$BC^2 = 4DE^2 = 4DF · DC$。③当$∠ DEC ＜ ∠ C$时,即$180° - 2∠ C ＜ ∠ C$,$60° ＜ ∠ C ＜ 90°$;所作的$∠ DEF ＞ ∠ DEC$,此时点F在DC的延长线上,故线段DC上不存在满足条件的点F。
(2) 在$△ DEC$中,由于$ED = EC$,所以$∠ C = ∠ CDE$,所以$∠ DEC = 180° - 2∠ C$。①当$∠ DEC ＞ ∠ C$时,有$180° - 2∠ C ＞ ∠ C$,即$0° ＜ ∠ C ＜ 60°$时,在线段DC上存在点F满足条件。在$∠ DEC$内,以ED为一边,作$∠ DEF$,使$∠ DEF = ∠ C$,且EF交DC于点F,则点F即为所求。因为在$△ DCE$和$△ DEF$中,$∠ CDE = ∠ EDF$, $∠ C = ∠ DEF$,所以$△ DEF ∽ △ DCE$,所以$DE^2 = DF · DC$,即$(\frac{1}{2}BC)^2 = DF · DC$,所以$BC^2 = 4DF · DC$。②当$∠ DEC = ∠ C$时,$△ DEC$为等边三角形,即$∠ DEC = ∠ C = 60°$,此时,C点即为满足条件的F点,于是,$DF = DC = DE$,仍有$BC^2 = 4DE^2 = 4DF · DC$。③当$∠ DEC ＜ ∠ C$时,即$180° - 2∠ C ＜ ∠ C$,$60° ＜ ∠ C ＜ 90°$;所作的$∠ DEF ＞ ∠ DEC$,此时点F在DC的延长线上,故线段DC上不存在满足条件的点F。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需结合切线长定理、三角形中位线定理及直径所对圆周角的性质证明线段相等；第(2)问需转化等式，利用相似三角形判定构造点F，再通过分类讨论∠C的度数判断F是否在线段DC上。首先连接辅助线BD，利用切线长定理得ED=EB，结合AB是直径推出OE//AC，由中位线得BE=EC，完成第(1)问；第(2)问将BC²=4DF·DC转化为DE²=DF·DC，通过构造相似三角形，分∠C的三种情况讨论F的位置。
【解析】
(1) 连接BD。
∵ ED、EB是⊙O的切线，根据切线长定理，得ED=EB，且∠DEO=∠BEO，
∴ OE垂直平分BD。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即BD⊥AC，
又
∵ OE⊥BD，
∴ OE//AC。
∵ O是AB的中点，
∴ OE是△ABC的中位线，
∴ BE=EC，
∴ EB=EC=ED。
(2) 由(1)知ED=EC，
∴ ∠C=∠CDE，
∴ ∠DEC=180°-2∠C。
要满足BC²=4DF·DC，结合(1)中DE=½BC，即需(2DE)²=4DF·DC，化简得DE²=DF·DC，即需△DEF∽△DCE。
分情况讨论：
① 当∠DEC＞∠C时，即180°-2∠C＞∠C，解得0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F：在∠DEC内，以ED为一边作∠DEF=∠C，EF交DC于点F。
在△DCE和△DEF中，∠CDE=∠EDF，∠C=∠DEF，
∴ △DEF∽△DCE，
∴ DE/DC = DF/DE，即DE²=DF·DC，
代入DE=½BC，得(½BC)²=DF·DC，整理得BC²=4DF·DC，故点F满足条件。
② 当∠DEC=∠C时，即180°-2∠C=∠C，解得∠C=60°，此时△DEC为等边三角形，C点即为F点，DF=DC=DE，故BC²=4DE²=4DF·DC，满足条件。
③ 当∠DEC＜∠C时，即180°-2∠C＜∠C，解得60°＜∠C＜90°，此时所作∠DEF＞∠DEC，点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F。
【答案】
(1) EB=EC=ED，证明见解析；
(2) 当0°＜∠C＜60°时，线段DC上存在点F，作法及证明见解析；当∠C=60°时，点C即为满足条件的F；当60°＜∠C＜90°时，线段DC上不存在满足条件的点F。
【知识点】
切线长定理；相似三角形判定与性质；三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查圆的性质、相似三角形及分类讨论思想，需熟练掌握切线、直径的相关性质，通过转化等式构造相似三角形，分情况讨论是解题关键，对学生逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.4
本题分为两小问，第(1)问需结合切线长定理、三角形中位线定理及直径所对圆周角的性质证明线段相等；第(2)问需转化等式，利用相似三角形判定构造点F，再通过分类讨论∠C的度数判断F是否在线段DC上。首先连接辅助线BD，利用切线长定理得ED=EB，结合AB是直径推出OE//AC，由中位线得BE=EC，完成第(1)问；第(2)问将BC²=4DF·DC转化为DE²=DF·DC，通过构造相似三角形，分∠C的三种情况讨论F的位置。
【解析】
(1) 连接BD。
∵ ED、EB是⊙O的切线，根据切线长定理，得ED=EB，且∠DEO=∠BEO，
∴ OE垂直平分BD。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即BD⊥AC，
又
∵ OE⊥BD，
∴ OE//AC。
∵ O是AB的中点，
∴ OE是△ABC的中位线，
∴ BE=EC，
∴ EB=EC=ED。
(2) 由(1)知ED=EC，
∴ ∠C=∠CDE，
∴ ∠DEC=180°-2∠C。
要满足BC²=4DF·DC，结合(1)中DE=½BC，即需(2DE)²=4DF·DC，化简得DE²=DF·DC，即需△DEF∽△DCE。
分情况讨论：
① 当∠DEC＞∠C时，即180°-2∠C＞∠C，解得0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F：在∠DEC内，以ED为一边作∠DEF=∠C，EF交DC于点F。
在△DCE和△DEF中，∠CDE=∠EDF，∠C=∠DEF，
∴ △DEF∽△DCE，
∴ DE/DC = DF/DE，即DE²=DF·DC，
代入DE=½BC，得(½BC)²=DF·DC，整理得BC²=4DF·DC，故点F满足条件。
② 当∠DEC=∠C时，即180°-2∠C=∠C，解得∠C=60°，此时△DEC为等边三角形，C点即为F点，DF=DC=DE，故BC²=4DE²=4DF·DC，满足条件。
③ 当∠DEC＜∠C时，即180°-2∠C＜∠C，解得60°＜∠C＜90°，此时所作∠DEF＞∠DEC，点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F。
【答案】
(1) EB=EC=ED，证明见解析；
(2) 当0°＜∠C＜60°时，线段DC上存在点F，作法及证明见解析；当∠C=60°时，点C即为满足条件的F；当60°＜∠C＜90°时，线段DC上不存在满足条件的点F。
【知识点】
切线长定理；相似三角形判定与性质；三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查圆的性质、相似三角形及分类讨论思想，需熟练掌握切线、直径的相关性质，通过转化等式构造相似三角形，分情况讨论是解题关键，对学生逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.4
