15 如图，以$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角边$AB$为直径作$\odot O$，与斜边$AC$交于点$D$，过点$D$作$\odot O$的切线交边$BC$于点$E$。
（1）求证：$EB=EC=ED$。
（2）试问在线段$DC$上是否存在点$F$，满足$BC^2=4DF· DC$。若存在，作出点$F$，并予以证明；若不存在，请说明理由。

(1) 连接BD。由于ED、EB是$\odot O$的切线,由切线长定理,得$ED = EB$,易得$∠ DEO = ∠ BEO$,所以OE垂直平分BD。因为AB是$\odot O$的直径,所以$AD ⊥ BD$,所以$AD // OE$,即$OE // AC$。因为O为AB的中点,所以OE为$△ ABC$的中位线,所以$BE = EC$,所以$EB = EC = ED$。
(2) 在$△ DEC$中,由于$ED = EC$,所以$∠ C = ∠ CDE$,所以$∠ DEC = 180° - 2∠ C$。①当$∠ DEC ＞ ∠ C$时,有$180° - 2∠ C ＞ ∠ C$,即$0° ＜ ∠ C ＜ 60°$时,在线段DC上存在点F满足条件。在$∠ DEC$内,以ED为一边,作$∠ DEF$,使$∠ DEF = ∠ C$,且EF交DC于点F,则点F即为所求。因为在$△ DCE$和$△ DEF$中,$∠ CDE = ∠ EDF$, $∠ C = ∠ DEF$,所以$△ DEF ∽ △ DCE$,所以$DE^2 = DF · DC$,即$(\frac{1}{2}BC)^2 = DF · DC$,所以$BC^2 = 4DF · DC$。②当$∠ DEC = ∠ C$时,$△ DEC$为等边三角形,即$∠ DEC = ∠ C = 60°$,此时,C点即为满足条件的F点,于是,$DF = DC = DE$,仍有$BC^2 = 4DE^2 = 4DF · DC$。③当$∠ DEC ＜ ∠ C$时,即$180° - 2∠ C ＜ ∠ C$,$60° ＜ ∠ C ＜ 90°$;所作的$∠ DEF ＞ ∠ DEC$,此时点F在DC的延长线上,故线段DC上不存在满足条件的点F。