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1 在$△ ABC$中，内切圆$I$和边$BC$、$CA$、$AB$分别相切于点$D$、$E$、$F$，则点$I$是$△ DEF$（
A.三条高的交点
B.三个内角平分线的交点
C.三边中线的交点
D.三边垂直平分线的交点
D
）。A.三条高的交点
B.三个内角平分线的交点
C.三边中线的交点
D.三边垂直平分线的交点
答案
1 D
解析
【分析】
拿到这道题首先梳理已知条件：I是△ABC的内切圆圆心，D、E、F是内切圆与△ABC三边的切点。解题思路分三步：第一步回忆内切圆的性质，内切圆的半径都相等，因此ID、IE、IF这三条连接圆心和切点的线段长度相等；第二步判断点I和△DEF的关系：点I到△DEF三个顶点D、E、F的距离相等，符合三角形外心的定义；第三步回忆外心的性质：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，同时注意区分三角形几个特殊点的定义，避免混淆。
【解析】
解：
∵⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F分别是⊙I与BC、CA、AB的切点，
∴ID、IE、IF都是⊙I的半径，可得ID=IE=IF，
即点I到△DEF的三个顶点距离相等，因此点I是△DEF的外接圆圆心（外心）。
又
∵三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，
∴点I是△DEF三边垂直平分线的交点。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形内切圆性质
2. 外心的定义与性质
3. 三角形特殊点辨析
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是通过内切圆半径相等的性质，判断出内切圆圆心是切点三角形的外心，需要学生准确区分重心、内心、外心、垂心对应的线段交点类型，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
拿到这道题首先梳理已知条件：I是△ABC的内切圆圆心，D、E、F是内切圆与△ABC三边的切点。解题思路分三步：第一步回忆内切圆的性质，内切圆的半径都相等，因此ID、IE、IF这三条连接圆心和切点的线段长度相等；第二步判断点I和△DEF的关系：点I到△DEF三个顶点D、E、F的距离相等，符合三角形外心的定义；第三步回忆外心的性质：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，同时注意区分三角形几个特殊点的定义，避免混淆。
【解析】
解：
∵⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F分别是⊙I与BC、CA、AB的切点，
∴ID、IE、IF都是⊙I的半径，可得ID=IE=IF，
即点I到△DEF的三个顶点距离相等，因此点I是△DEF的外接圆圆心（外心）。
又
∵三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，
∴点I是△DEF三边垂直平分线的交点。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形内切圆性质
2. 外心的定义与性质
3. 三角形特殊点辨析
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是通过内切圆半径相等的性质，判断出内切圆圆心是切点三角形的外心，需要学生准确区分重心、内心、外心、垂心对应的线段交点类型，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
2 如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,点I是△ABC的内心,则∠BIC的度数为(
A.40°
B.70°
C.110°
D.140°
C
)。A.40°
B.70°
C.110°
D.140°
答案
2 C
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：1. 由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质可求出∠ACB的度数；2. 点I是△ABC的内心，根据内心的定义可知IB、IC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，由此可算出∠IBC和∠ICB的度数；3. 最后在△IBC中利用三角形内角和为180°，即可求出∠BIC的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠ABC=70°，
∴∠ACB=∠ABC=70°（等腰三角形两底角相等）。
∵点I是△ABC的内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB（三角形内心是三个内角角平分线的交点），
∴∠IBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 35°，∠ICB = $\frac{1}{2}$∠ACB = 35°。
在△IBC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BIC = 180° - ∠IBC - ∠ICB = 180° - 35° - 35° = 110°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内心的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查对三角形内心性质的理解，结合等腰三角形性质和内角和定理即可快速求解，解题的关键是牢记内心是三角形内角平分线的交点。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手：1. 由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质可求出∠ACB的度数；2. 点I是△ABC的内心，根据内心的定义可知IB、IC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，由此可算出∠IBC和∠ICB的度数；3. 最后在△IBC中利用三角形内角和为180°，即可求出∠BIC的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠ABC=70°，
∴∠ACB=∠ABC=70°（等腰三角形两底角相等）。
∵点I是△ABC的内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB（三角形内心是三个内角角平分线的交点），
∴∠IBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 35°，∠ICB = $\frac{1}{2}$∠ACB = 35°。
在△IBC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BIC = 180° - ∠IBC - ∠ICB = 180° - 35° - 35° = 110°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内心的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查对三角形内心性质的理解，结合等腰三角形性质和内角和定理即可快速求解，解题的关键是牢记内心是三角形内角平分线的交点。
【难度系数】
0.8
3 如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$分别与$AB$、$BC$、$AC$相切于点$D$、$E$、$F$，且$AD=6$，$BE=4$，$CF=8$，则$△ ABC$的周长为(
A.36
B.38
C.40
D.42
A
)。A.36
B.38
C.40
D.42
答案
3 A
解析
【分析】
本题可利用切线长定理解题，首先明确三角形内切圆的性质：从三角形的一个顶点引内切圆的两条切线，两条切线长度相等。据此我们可以先得到三角形各边被切点分成的线段的等量关系，分别求出AB、BC、AC三边的长度，相加后即可得到三角形的周长。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可得：
$AD=AF=6$，$BD=BE=4$，$CE=CF=8$
则三角形三边长分别为：
$AB=AD+BD=6+4=10$
$BC=BE+CE=4+8=12$
$AC=AF+CF=6+8=14$
因此$△ ABC$的周长为$AB+BC+AC=10+12+14=36$。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质，周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查切线长定理的应用，掌握该定理即可快速求出三角形各边长度，进而得到周长，是内切圆相关的典型考题。
【难度系数】
0.8
本题可利用切线长定理解题，首先明确三角形内切圆的性质：从三角形的一个顶点引内切圆的两条切线，两条切线长度相等。据此我们可以先得到三角形各边被切点分成的线段的等量关系，分别求出AB、BC、AC三边的长度，相加后即可得到三角形的周长。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可得：
$AD=AF=6$，$BD=BE=4$，$CE=CF=8$
则三角形三边长分别为：
$AB=AD+BD=6+4=10$
$BC=BE+CE=4+8=12$
$AC=AF+CF=6+8=14$
因此$△ ABC$的周长为$AB+BC+AC=10+12+14=36$。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质，周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查切线长定理的应用，掌握该定理即可快速求出三角形各边长度，进而得到周长，是内切圆相关的典型考题。
【难度系数】
0.8
二、填空题
4 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$BC=4$，那么$△ ABC$的内切圆半径为
5 已知三角形的内切圆半径为3cm，三角形的周长为18cm，则该三角形的面积为
4 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$BC=4$，那么$△ ABC$的内切圆半径为
1
。5 已知三角形的内切圆半径为3cm，三角形的周长为18cm，则该三角形的面积为
27 cm²
。答案
4 1
5 27 cm²
5 27 cm²
解析
【分析】
第4题是直角三角形内切圆半径计算问题，解题思路如下：①先利用勾股定理求出直角三角形未知的直角边长；②再结合直角三角形内切圆半径公式，或通用的三角形内切圆半径与面积、周长的关系代入数值计算即可。
第5题考查三角形面积与内切圆半径、周长的关系，解题思路是：牢记三角形面积等于内切圆半径与周长乘积的一半这一结论，直接代入已知的内切圆半径和周长计算即可。
【解析】
4、在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
直角三角形内切圆半径满足公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边），代入数值计算：
$r=\frac{3+4-5}{2}=1$
5、三角形面积与内切圆半径、周长的关系为$S=\frac{1}{2}r· C$（$r$为内切圆半径，$C$为三角形周长），将$r=3\mathrm{cm}$，$C=18\mathrm{cm}$代入公式：
$S=\frac{1}{2}×3×18=27(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
4、$\boxed{1}$；5、$\boxed{27\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
1. 勾股定理 2. 三角形内切圆性质 3. 三角形面积计算
【点评】
两道题均为三角形内切圆相关的基础计算题，熟记内切圆对应的相关公式即可快速解题，属于基础应掌握的题型。
【难度系数】
0.8
第4题是直角三角形内切圆半径计算问题，解题思路如下：①先利用勾股定理求出直角三角形未知的直角边长；②再结合直角三角形内切圆半径公式，或通用的三角形内切圆半径与面积、周长的关系代入数值计算即可。
第5题考查三角形面积与内切圆半径、周长的关系，解题思路是：牢记三角形面积等于内切圆半径与周长乘积的一半这一结论，直接代入已知的内切圆半径和周长计算即可。
【解析】
4、在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
直角三角形内切圆半径满足公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边），代入数值计算：
$r=\frac{3+4-5}{2}=1$
5、三角形面积与内切圆半径、周长的关系为$S=\frac{1}{2}r· C$（$r$为内切圆半径，$C$为三角形周长），将$r=3\mathrm{cm}$，$C=18\mathrm{cm}$代入公式：
$S=\frac{1}{2}×3×18=27(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
4、$\boxed{1}$；5、$\boxed{27\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
1. 勾股定理 2. 三角形内切圆性质 3. 三角形面积计算
【点评】
两道题均为三角形内切圆相关的基础计算题，熟记内切圆对应的相关公式即可快速解题，属于基础应掌握的题型。
【难度系数】
0.8
⑥ 如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$AB$、$BC$、$CA$分别相切于点$D$、$E$、$F$，且$AD=2$，$△ ABC$的周长为14，则$BC$的长为
5
。答案
6 5
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内切圆对应的切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以利用该定理将三角形的三边拆分为多组等长线段，再结合已知的周长条件建立等式求解。第一步先根据切线长定理找出所有相等的线段：$AD=AF$，$BD=BE$，$CE=CF$；第二步将三角形的周长用这些等长线段代换，代入已知的$AD$长度和周长数值，化简即可得到$BC$的长度。
【解析】
根据切线长定理可得：
$AD=AF=2$，$BD=BE$，$CE=CF$
设$BD=BE=x$，$CE=CF=y$，则$BC=BE+CE=x+y$
$AB=AD+BD=2+x$，$AC=AF+CF=2+y$
已知$△ ABC$的周长为14，因此：
$AB+BC+AC=14$
代入线段表达式得：
$(2+x)+(x+y)+(2+y)=14$
化简等式：
$4 + 2x + 2y = 14$
$2(x+y)=10$
因为$x+y=BC$，所以$2BC=10$，解得$BC=5$
【答案】
5
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质，三角形周长计算
【点评】
本题重点考查切线长定理在三角形内切圆问题中的应用，解题核心是利用切线长相等的性质拆分三角形三边，结合周长条件建立等式求解，是几何基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内切圆对应的切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以利用该定理将三角形的三边拆分为多组等长线段，再结合已知的周长条件建立等式求解。第一步先根据切线长定理找出所有相等的线段：$AD=AF$，$BD=BE$，$CE=CF$；第二步将三角形的周长用这些等长线段代换，代入已知的$AD$长度和周长数值，化简即可得到$BC$的长度。
【解析】
根据切线长定理可得：
$AD=AF=2$，$BD=BE$，$CE=CF$
设$BD=BE=x$，$CE=CF=y$，则$BC=BE+CE=x+y$
$AB=AD+BD=2+x$，$AC=AF+CF=2+y$
已知$△ ABC$的周长为14，因此：
$AB+BC+AC=14$
代入线段表达式得：
$(2+x)+(x+y)+(2+y)=14$
化简等式：
$4 + 2x + 2y = 14$
$2(x+y)=10$
因为$x+y=BC$，所以$2BC=10$，解得$BC=5$
【答案】
5
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质，三角形周长计算
【点评】
本题重点考查切线长定理在三角形内切圆问题中的应用，解题核心是利用切线长相等的性质拆分三角形三边，结合周长条件建立等式求解，是几何基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
7 如图，$\odot I$是直角$△ ABC$的内切圆，切点为D、E、F，若AF、BE的长是方程$x^2 -13x +30=0$的两根，且AF ＞ BE，则$△ ABC$的面积为
30
。答案
7 30
解析
【分析】
解题可按以下思路推进：①先求解一元二次方程，结合AF＞BE的条件得到AF、BE的长度；②回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等，直角三角形内切圆与两条直角边的切点和圆心、直角顶点构成正方形，因此两条直角边可表示为“切线长+内切圆半径r”，斜边等于AF+BE；③利用直角三角形的勾股定理列方程求解内切圆半径r；④最后根据直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
1. 解方程$x^2 -13x +30=0$：
因式分解得$(x-3)(x-10)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=10$，
$\because AF＞BE$，$\therefore AF=10$，$BE=3$。
2. 设$\odot I$的半径为$r$，根据切线长定理可得：
$AF=AD=10$，$BE=BD=3$，$CE=CF=r$，
$\therefore AB=AD+BD=10+3=13$，$AC=AF+CF=10+r$，$BC=BE+CE=3+r$。
3. $\because △ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，代入得：
$(10+r)^2+(3+r)^2=13^2$
展开整理：$100+20r+r^2+9+6r+r^2=169$
即$r^2+13r-30=0$，因式分解得$(r+15)(r-2)=0$，
$\because r＞0$，$\therefore r=2$。
4. 计算面积：
$AC=10+2=12$，$BC=3+2=5$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×12×5=30$。
【答案】
30
【知识点】
切线长定理；勾股定理；一元二次方程的解法
【点评】
本题是代数与几何的综合题型，核心是利用切线长定理建立三角形边长和内切圆半径的关系，再结合勾股定理列方程求解，解题时注意结合直角三角形的特性简化计算。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路推进：①先求解一元二次方程，结合AF＞BE的条件得到AF、BE的长度；②回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等，直角三角形内切圆与两条直角边的切点和圆心、直角顶点构成正方形，因此两条直角边可表示为“切线长+内切圆半径r”，斜边等于AF+BE；③利用直角三角形的勾股定理列方程求解内切圆半径r；④最后根据直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
1. 解方程$x^2 -13x +30=0$：
因式分解得$(x-3)(x-10)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=10$，
$\because AF＞BE$，$\therefore AF=10$，$BE=3$。
2. 设$\odot I$的半径为$r$，根据切线长定理可得：
$AF=AD=10$，$BE=BD=3$，$CE=CF=r$，
$\therefore AB=AD+BD=10+3=13$，$AC=AF+CF=10+r$，$BC=BE+CE=3+r$。
3. $\because △ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，代入得：
$(10+r)^2+(3+r)^2=13^2$
展开整理：$100+20r+r^2+9+6r+r^2=169$
即$r^2+13r-30=0$，因式分解得$(r+15)(r-2)=0$，
$\because r＞0$，$\therefore r=2$。
4. 计算面积：
$AC=10+2=12$，$BC=3+2=5$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×12×5=30$。
【答案】
30
【知识点】
切线长定理；勾股定理；一元二次方程的解法
【点评】
本题是代数与几何的综合题型，核心是利用切线长定理建立三角形边长和内切圆半径的关系，再结合勾股定理列方程求解，解题时注意结合直角三角形的特性简化计算。
【难度系数】
0.7
8 如图，$\odot O$为$△ ABC$的内切圆，$∠ C=90°$，$BO$的延长线交$AC$于点$D$，若$BC=3$，$CD=1$，则$\odot O$的半径等于
$\frac{3}{4}$
。答案
8 $\frac{3}{4}$
解析
【分析】
要求内切圆的半径，我们可以利用三角形内心的性质：内心到三角形各边的距离等于内切圆半径。首先过圆心O向BC、AC作垂线，得到的两条垂线段都是半径r，结合∠C=90°，可知两条垂线与BC、AC围成的四边形是正方形，可得CE=r，进而表示出BE=3-r。再观察到OE平行于AC，可证△BOE与△BDC相似，利用相似三角形对应边成比例列关于r的方程，解方程即可求出半径。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，过点$O$作$OE⊥ BC$于点$E$，$OF⊥ AC$于点$F$。
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
∴$OE$、$OF$均为$\odot O$的半径，即$OE=OF=r$。
∵$∠ C=90°$，$OE⊥ BC$，$OF⊥ AC$，
∴四边形$OECF$是矩形，
又
∵$OE=OF$，
∴四边形$OECF$是正方形，
∴$CE=OE=r$，则$BE=BC-CE=3-r$。
∵$OE⊥ BC$，$∠ C=90°$，
∴$OE// CD$，
∴$△ BOE ∽ △ BDC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{BE}{BC}=\frac{OE}{CD}$
代入$BC=3$，$CD=1$，$BE=3-r$，$OE=r$，得：
$\frac{3-r}{3}=\frac{r}{1}$
解得：$4r=3$，即$r=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
三角形内心的性质；相似三角形的判定与性质；正方形的判定与性质
【点评】
本题主要考查三角形内切圆相关性质的应用，解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，利用相似的性质建立方程求解，是几何中方程思想的典型应用。
【难度系数】
0.6
要求内切圆的半径，我们可以利用三角形内心的性质：内心到三角形各边的距离等于内切圆半径。首先过圆心O向BC、AC作垂线，得到的两条垂线段都是半径r，结合∠C=90°，可知两条垂线与BC、AC围成的四边形是正方形，可得CE=r，进而表示出BE=3-r。再观察到OE平行于AC，可证△BOE与△BDC相似，利用相似三角形对应边成比例列关于r的方程，解方程即可求出半径。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，过点$O$作$OE⊥ BC$于点$E$，$OF⊥ AC$于点$F$。
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
∴$OE$、$OF$均为$\odot O$的半径，即$OE=OF=r$。
∵$∠ C=90°$，$OE⊥ BC$，$OF⊥ AC$，
∴四边形$OECF$是矩形，
又
∵$OE=OF$，
∴四边形$OECF$是正方形，
∴$CE=OE=r$，则$BE=BC-CE=3-r$。
∵$OE⊥ BC$，$∠ C=90°$，
∴$OE// CD$，
∴$△ BOE ∽ △ BDC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{BE}{BC}=\frac{OE}{CD}$
代入$BC=3$，$CD=1$，$BE=3-r$，$OE=r$，得：
$\frac{3-r}{3}=\frac{r}{1}$
解得：$4r=3$，即$r=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
三角形内心的性质；相似三角形的判定与性质；正方形的判定与性质
【点评】
本题主要考查三角形内切圆相关性质的应用，解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，利用相似的性质建立方程求解，是几何中方程思想的典型应用。
【难度系数】
0.6
