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9 若$\mathrm{Rt}△ ABC$的两边长$a$、$b$满足$(a-4)^2 + \sqrt{b-3}=0$，则此三角形内切圆半径是
1 或 $\frac{\sqrt{7}-1}{2}$
。答案
9 1 或 $\frac{\sqrt{7}-1}{2}$
[提示:由题意可得a=4，b=3，分边长为a的边是直角边时和边长为a的边是斜边时两种情况。]
[提示:由题意可得a=4，b=3，分边长为a的边是直角边时和边长为a的边是斜边时两种情况。]
解析
【分析】
首先根据非负数的性质，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，可求出a、b的值；再结合Rt△ABC未明确哪条边是斜边，需分两种情况讨论：①a、b均为直角边，②长度更大的a为斜边；最后利用直角三角形内切圆半径公式分别计算两种情况的半径即可。
【解析】
解：
∵$(a-4)^2≥0$，$\sqrt{b-3}≥0$，且$(a-4)^2 + \sqrt{b-3}=0$
∴$\begin{cases}a-4=0\\b-3=0\end{cases}$，解得$a=4$，$b=3$
分两种情况讨论：
1. 当a、b均为直角边时：
由勾股定理得斜边长$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$，代入得$r=\frac{3+4-5}{2}=1$
2. 当a为斜边时：
由勾股定理得另一条直角边长$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$
代入内切圆半径公式得$r=\frac{3+\sqrt{7}-4}{2}=\frac{\sqrt{7}-1}{2}$
综上，此三角形内切圆半径是1或$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$
【答案】
1或$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$
【知识点】
非负数的性质；勾股定理；直角三角形内切圆半径计算
【点评】
本题易忽略直角三角形斜边未明确的情况导致漏解，解题时要注意分类讨论思想的应用，结合非负数性质、勾股定理和内切圆半径公式逐步求解即可。
【难度系数】
0.6
首先根据非负数的性质，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，可求出a、b的值；再结合Rt△ABC未明确哪条边是斜边，需分两种情况讨论：①a、b均为直角边，②长度更大的a为斜边；最后利用直角三角形内切圆半径公式分别计算两种情况的半径即可。
【解析】
解：
∵$(a-4)^2≥0$，$\sqrt{b-3}≥0$，且$(a-4)^2 + \sqrt{b-3}=0$
∴$\begin{cases}a-4=0\\b-3=0\end{cases}$，解得$a=4$，$b=3$
分两种情况讨论：
1. 当a、b均为直角边时：
由勾股定理得斜边长$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$，代入得$r=\frac{3+4-5}{2}=1$
2. 当a为斜边时：
由勾股定理得另一条直角边长$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$
代入内切圆半径公式得$r=\frac{3+\sqrt{7}-4}{2}=\frac{\sqrt{7}-1}{2}$
综上，此三角形内切圆半径是1或$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$
【答案】
1或$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$
【知识点】
非负数的性质；勾股定理；直角三角形内切圆半径计算
【点评】
本题易忽略直角三角形斜边未明确的情况导致漏解，解题时要注意分类讨论思想的应用，结合非负数性质、勾股定理和内切圆半径公式逐步求解即可。
【难度系数】
0.6
10 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，$\odot O_1$和$\odot O_2$分别是$△ ABC$和$△ ADC$的内切圆，则$O_1O_2=$
$\sqrt{65}$
。答案
10 $\sqrt{65}$
[提示:如图，过$O_1$作AB、BC的垂线分别交AB、BC于点N、E，过$O_2$作BC、CD、AD的垂线分别交BC、CD、AD于点F、G、H，延长$NO_1$交$O_2F$于点M。由题意可得$\odot O_1$与$\odot O_2$的半径为2，所以$O_1M=8$，$O_2M=1$。在$Rt△O_1O_2M$中，$O_1O_2=\sqrt{O_1M^2+O_2M^2}=\sqrt{8^2+1^2}=\sqrt{65}$。]
解析
【分析】
解题思路如下：首先矩形的对角线将矩形分成两个全等的直角三角形，因此两个三角形的内切圆半径相等，第一步先利用直角三角形内切圆半径公式计算半径；其次要求两个圆心的距离，可通过作辅助线构造直角三角形，分别求出两圆心在水平方向、竖直方向的距离差；最后用勾股定理即可计算得到两圆心的连线长度。
【解析】
1. 计算对角线$AC$的长度：
在$Rt△ ABC$中，$AB=5$，$BC=12$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$
2. 计算内切圆半径：
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边），代入数值可得：
$r=\frac{5+12-13}{2}=2$，即$\odot O_1$和$\odot O_2$的半径均为2。
3. 构造直角三角形求$O_1O_2$：
过$O_1$作$AB、BC$的垂线分别交$AB、BC$于点$N、E$，过$O_2$作$BC、CD、AD$的垂线分别交$BC、CD、AD$于点$F、G、H$，延长$NO_1$交$O_2F$于点$M$。
水平方向两圆心距离：$O_1M = BC - 2r = 12 - 2×2=8$
竖直方向两圆心距离：$O_2M = AB - 2r = 5 - 2×2=1$
在$Rt△ O_1O_2M$中，由勾股定理得：
$O_1O_2=\sqrt{O_1M^2 + O_2M^2}=\sqrt{8^2 + 1^2}=\sqrt{65}$
【答案】
$\sqrt{65}$
【知识点】
三角形内切圆性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的核心是先利用直角三角形内切圆半径公式求出两个圆的半径，再通过作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理计算两圆心的距离，解题时要注意准确判断两个内切圆的位置，正确计算两个方向的距离差。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先矩形的对角线将矩形分成两个全等的直角三角形，因此两个三角形的内切圆半径相等，第一步先利用直角三角形内切圆半径公式计算半径；其次要求两个圆心的距离，可通过作辅助线构造直角三角形，分别求出两圆心在水平方向、竖直方向的距离差；最后用勾股定理即可计算得到两圆心的连线长度。
【解析】
1. 计算对角线$AC$的长度：
在$Rt△ ABC$中，$AB=5$，$BC=12$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$
2. 计算内切圆半径：
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边），代入数值可得：
$r=\frac{5+12-13}{2}=2$，即$\odot O_1$和$\odot O_2$的半径均为2。
3. 构造直角三角形求$O_1O_2$：
过$O_1$作$AB、BC$的垂线分别交$AB、BC$于点$N、E$，过$O_2$作$BC、CD、AD$的垂线分别交$BC、CD、AD$于点$F、G、H$，延长$NO_1$交$O_2F$于点$M$。
水平方向两圆心距离：$O_1M = BC - 2r = 12 - 2×2=8$
竖直方向两圆心距离：$O_2M = AB - 2r = 5 - 2×2=1$
在$Rt△ O_1O_2M$中，由勾股定理得：
$O_1O_2=\sqrt{O_1M^2 + O_2M^2}=\sqrt{8^2 + 1^2}=\sqrt{65}$
【答案】
$\sqrt{65}$
【知识点】
三角形内切圆性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的核心是先利用直角三角形内切圆半径公式求出两个圆的半径，再通过作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理计算两圆心的距离，解题时要注意准确判断两个内切圆的位置，正确计算两个方向的距离差。
【难度系数】
0.6
11 如图，$\odot O$是直角$△ ABC$的内切圆，已知$∠ B=90°$，$AB=8$，$BC=6$。
(1) 求$△ ABC$内切圆半径。
(2) 求$△ ABC$的内心和外心的距离。
(1) 求$△ ABC$内切圆半径。
(2) 求$△ ABC$的内心和外心的距离。
答案
(1) 如图，设$\odot O$与BC、AB、AC的切点分别为点D、E、F，连接OD、OE、OF。因为AB=8，BC=6，$∠B=90°$，所以$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=10$。设$\odot O$的半径为r，则OE=OD=OF=r。因为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC×AB=24$，$S_{△ABC}=S_{△AOB}+S_{△AOC}+S_{△BOC}=\frac{1}{2}·(AB+BC+AC)·r=12r$，所以12r=24，r=2。
(2) 因为△ABC为直角三角形，$∠B=90°$，所以△ABC的外心为AC的中点。如图，取AC的中点G，连接OG。因为OE=OD，$∠B=∠OEB=∠ODB=90°$，可证四边形BEOD是正方形，所以BE=BD=r=2，由切线长定理，可得AE=AF=6。因为$AG=\frac{1}{2}AC=5$，所以GF=1。在$Rt△OGF$中，$OG=\sqrt{GF^2+OF^2}=\sqrt{5}$。所以△ABC的内心和外心的距离为$\sqrt{5}$。
解析
【分析】
(1) 求内切圆半径：首先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再通过面积法求解：原三角形面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以拆分为三个以内切圆圆心为顶点、内切圆半径为高的小三角形面积之和，列等式即可求出半径。
(2) 求内心和外心的距离：首先明确直角三角形的外心是斜边的中点，先确定外心位置；再结合切线长定理、正方形的判定求出相关线段长度，构造直角三角形，用勾股定理即可求出两点距离。
【解析】
(1) 设$\odot O$与BC、AB、AC的切点分别为点D、E、F，连接OD、OE、OF。
已知AB=8，BC=6，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
设$\odot O$的半径为r，则$OE=OD=OF=r$。
$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC× AB=\frac{1}{2}×6×8=24$，
同时$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}·(AB+BC+AC)· r=\frac{1}{2}×(8+6+10)r=12r$，
因此$12r=24$，解得$r=2$。
(2) 直角三角形的外心为斜边的中点，取AC的中点G，G即为$△ ABC$的外心，连接OG。
因为$∠ B=∠ OEB=∠ ODB=90°$，且$OE=OD=r$，所以四边形BEOD是正方形，可得$BE=BD=r=2$。
由切线长定理得$AE=AF=AB-BE=8-2=6$。
因为G是AC中点，所以$AG=\frac{1}{2}AC=5$，因此$GF=AF-AG=6-5=1$。
在$Rt△ OGF$中，$OF=r=2$，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{GF^2+OF^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $△ ABC$内切圆半径为$\boldsymbol{2}$；
(2) $△ ABC$的内心和外心的距离为$\boldsymbol{\sqrt{5}}$。
【知识点】
三角形内切圆性质，直角三角形外心特征，勾股定理
【点评】
本题是三角形与圆结合的基础题型，重点考查内切圆半径的计算方法、内心与外心的性质，结合切线长定理和勾股定理即可逐步求解，熟练掌握相关基础性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 求内切圆半径：首先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再通过面积法求解：原三角形面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以拆分为三个以内切圆圆心为顶点、内切圆半径为高的小三角形面积之和，列等式即可求出半径。
(2) 求内心和外心的距离：首先明确直角三角形的外心是斜边的中点，先确定外心位置；再结合切线长定理、正方形的判定求出相关线段长度，构造直角三角形，用勾股定理即可求出两点距离。
【解析】
(1) 设$\odot O$与BC、AB、AC的切点分别为点D、E、F，连接OD、OE、OF。
已知AB=8，BC=6，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
设$\odot O$的半径为r，则$OE=OD=OF=r$。
$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC× AB=\frac{1}{2}×6×8=24$，
同时$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}·(AB+BC+AC)· r=\frac{1}{2}×(8+6+10)r=12r$，
因此$12r=24$，解得$r=2$。
(2) 直角三角形的外心为斜边的中点，取AC的中点G，G即为$△ ABC$的外心，连接OG。
因为$∠ B=∠ OEB=∠ ODB=90°$，且$OE=OD=r$，所以四边形BEOD是正方形，可得$BE=BD=r=2$。
由切线长定理得$AE=AF=AB-BE=8-2=6$。
因为G是AC中点，所以$AG=\frac{1}{2}AC=5$，因此$GF=AF-AG=6-5=1$。
在$Rt△ OGF$中，$OF=r=2$，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{GF^2+OF^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $△ ABC$内切圆半径为$\boldsymbol{2}$；
(2) $△ ABC$的内心和外心的距离为$\boldsymbol{\sqrt{5}}$。
【知识点】
三角形内切圆性质，直角三角形外心特征，勾股定理
【点评】
本题是三角形与圆结合的基础题型，重点考查内切圆半径的计算方法、内心与外心的性质，结合切线长定理和勾股定理即可逐步求解，熟练掌握相关基础性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
12 已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，他在著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$（其中$a$、$b$、$c$是三角形的三边长，$p=\frac{a+b+c}{2}$，$S$为三角形的面积），并给出了证明。事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决。
在$△ ABC$中，$BC=5$，$AC=6$，$AB=9$。
（1）用海伦公式求$△ ABC$的面积。
（2）求$△ ABC$的内切圆半径$r$。
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，他在著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$（其中$a$、$b$、$c$是三角形的三边长，$p=\frac{a+b+c}{2}$，$S$为三角形的面积），并给出了证明。事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决。
在$△ ABC$中，$BC=5$，$AC=6$，$AB=9$。
（1）用海伦公式求$△ ABC$的面积。
（2）求$△ ABC$的内切圆半径$r$。
答案
(1) 因为BC=5，AC=6，AB=9，所以 $p=\frac{BC+AC+AB}{2}=10$，所以 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{10×(10-5)×(10-6)×(10-9)}=10\sqrt{2}$。
(2) 因为 $S=\frac{1}{2}(AC+BC+AB)r$，所以 $10\sqrt{2}=\frac{1}{2}(5+6+9)r$，解得 $r=\sqrt{2}$，故△ABC的内切圆半径 $r=\sqrt{2}$。
(2) 因为 $S=\frac{1}{2}(AC+BC+AB)r$，所以 $10\sqrt{2}=\frac{1}{2}(5+6+9)r$，解得 $r=\sqrt{2}$，故△ABC的内切圆半径 $r=\sqrt{2}$。
解析
【分析】
（1）第一问求三角形面积，题目已给出海伦公式，解题时先根据三角形三边长计算半周长$p$，再将$p$和三边长代入海伦公式，正确化简二次根式即可求出面积。
（2）第二问求内切圆半径，需用到三角形面积与内切圆半径的关系公式：三角形面积等于内切圆半径与三角形周长乘积的一半，即$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$。将第一问求出的面积和已知三边长代入公式，解一元一次方程即可得到$r$的值。
【解析】
（1）已知$△ ABC$的三边长$BC=5$，$AC=6$，$AB=9$，
先计算半周长：$p=\frac{BC+AC+AB}{2}=\frac{5+6+9}{2}=10$，
代入海伦公式得：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{10×(10-5)×(10-6)×(10-9)}=\sqrt{10×5×4×1}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$。
（2）根据三角形内切圆的面积公式$S=\frac{1}{2}(AC+BC+AB)r$，
将$S=10\sqrt{2}$，$AC+BC+AB=5+6+9=20$代入得：
$10\sqrt{2}=\frac{1}{2}×20× r$，
化简得$10r=10\sqrt{2}$，
解得$r=\sqrt{2}$。
【答案】
（1）$△ ABC$的面积为$10\sqrt{2}$；（2）$△ ABC$的内切圆半径$r=\sqrt{2}$。
【知识点】
海伦公式应用，三角形内切圆面积公式，二次根式化简
【点评】
本题属于基础公式应用题，重点考查对常用面积公式的记忆和运用能力，计算过程中注意二次根式的化简规则，只要准确掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）第一问求三角形面积，题目已给出海伦公式，解题时先根据三角形三边长计算半周长$p$，再将$p$和三边长代入海伦公式，正确化简二次根式即可求出面积。
（2）第二问求内切圆半径，需用到三角形面积与内切圆半径的关系公式：三角形面积等于内切圆半径与三角形周长乘积的一半，即$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$。将第一问求出的面积和已知三边长代入公式，解一元一次方程即可得到$r$的值。
【解析】
（1）已知$△ ABC$的三边长$BC=5$，$AC=6$，$AB=9$，
先计算半周长：$p=\frac{BC+AC+AB}{2}=\frac{5+6+9}{2}=10$，
代入海伦公式得：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{10×(10-5)×(10-6)×(10-9)}=\sqrt{10×5×4×1}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$。
（2）根据三角形内切圆的面积公式$S=\frac{1}{2}(AC+BC+AB)r$，
将$S=10\sqrt{2}$，$AC+BC+AB=5+6+9=20$代入得：
$10\sqrt{2}=\frac{1}{2}×20× r$，
化简得$10r=10\sqrt{2}$，
解得$r=\sqrt{2}$。
【答案】
（1）$△ ABC$的面积为$10\sqrt{2}$；（2）$△ ABC$的内切圆半径$r=\sqrt{2}$。
【知识点】
海伦公式应用，三角形内切圆面积公式，二次根式化简
【点评】
本题属于基础公式应用题，重点考查对常用面积公式的记忆和运用能力，计算过程中注意二次根式的化简规则，只要准确掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
