9 若$\mathrm{Rt}△ ABC$的两边长$a$、$b$满足$(a-4)^2 + \sqrt{b-3}=0$，则此三角形内切圆半径是。

9 1 或 $\frac{\sqrt{7}-1}{2}$
[提示:由题意可得a=4，b=3，分边长为a的边是直角边时和边长为a的边是斜边时两种情况。]

10 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，$\odot O_1$和$\odot O_2$分别是$△ ABC$和$△ ADC$的内切圆，则$O_1O_2=$。

10 $\sqrt{65}$
[提示:如图，过$O_1$作AB、BC的垂线分别交AB、BC于点N、E，过$O_2$作BC、CD、AD的垂线分别交BC、CD、AD于点F、G、H，延长$NO_1$交$O_2F$于点M。由题意可得$\odot O_1$与$\odot O_2$的半径为2，所以$O_1M=8$，$O_2M=1$。在$Rt△O_1O_2M$中，$O_1O_2=\sqrt{O_1M^2+O_2M^2}=\sqrt{8^2+1^2}=\sqrt{65}$。]

11 如图，$\odot O$是直角$△ ABC$的内切圆，已知$∠ B=90°$，$AB=8$，$BC=6$。
(1) 求$△ ABC$内切圆半径。
(2) 求$△ ABC$的内心和外心的距离。

(1) 如图，设$\odot O$与BC、AB、AC的切点分别为点D、E、F，连接OD、OE、OF。因为AB=8，BC=6，$∠B=90°$，所以$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=10$。设$\odot O$的半径为r，则OE=OD=OF=r。因为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC×AB=24$，$S_{△ABC}=S_{△AOB}+S_{△AOC}+S_{△BOC}=\frac{1}{2}·(AB+BC+AC)·r=12r$，所以12r=24，r=2。
(2) 因为△ABC为直角三角形，$∠B=90°$，所以△ABC的外心为AC的中点。如图，取AC的中点G，连接OG。因为OE=OD，$∠B=∠OEB=∠ODB=90°$，可证四边形BEOD是正方形，所以BE=BD=r=2，由切线长定理，可得AE=AF=6。因为$AG=\frac{1}{2}AC=5$，所以GF=1。在$Rt△OGF$中，$OG=\sqrt{GF^2+OF^2}=\sqrt{5}$。所以△ABC的内心和外心的距离为$\sqrt{5}$。

12 已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，他在著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$（其中$a$、$b$、$c$是三角形的三边长，$p=\frac{a+b+c}{2}$，$S$为三角形的面积），并给出了证明。事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决。
在$△ ABC$中，$BC=5$，$AC=6$，$AB=9$。
（1）用海伦公式求$△ ABC$的面积。
（2）求$△ ABC$的内切圆半径$r$。

(1) 因为BC=5，AC=6，AB=9，所以 $p=\frac{BC+AC+AB}{2}=10$，所以 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{10×(10-5)×(10-6)×(10-9)}=10\sqrt{2}$。
(2) 因为 $S=\frac{1}{2}(AC+BC+AB)r$，所以 $10\sqrt{2}=\frac{1}{2}(5+6+9)r$，解得 $r=\sqrt{2}$，故△ABC的内切圆半径 $r=\sqrt{2}$。