13 如图，AB为$\odot O$的直径，$△ ABC$内接于$\odot O$。$BC＞AC$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，连接CD，点P在线段CD上，且$BD=PD$，连接BP。
（1）求证：点P是$△ ABC$的内心。
（2）已知$\odot O$的直径是$5\sqrt{2}$，$CD=7$。求BC的长。

(1) 因为AB为$\odot O$的直径，所以$∠ACB=90°$。因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，所以$∠ACD=∠BCD$，所以CD平分∠ACB。由圆周角定理，可得$∠ABD=∠ACD$，所以$∠ABD=∠DCB$。因为PD=BD，所以$∠BPD=∠PBD$。因为$∠BPD=∠BCP+∠CBP$，$∠DBP=∠ABD+∠ABP$，所以$∠CBP=∠ABP$，所以BP平分∠ABC，所以点P是△ABC的内心。
(2) 如图，连接AD，过点B作$BH⊥CD$于点H。因为AB是直径，所以$∠ADB=90°$。因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，所以AD=BD，所以△ABD是等腰直角三角形，所以 $BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}×5\sqrt{2}=5$。因为$∠BCD=45°$，$BH⊥CD$，所以$∠BCH=∠CBH=45°$，所以BH=CH，所以 $BC=\sqrt{2}BH$。因为 $BD^2=DH^2+BH^2$，所以 $25=(7-BH)^2+BH^2$，所以BH=3或4，$BC=3\sqrt{2}$或$4\sqrt{2}$。因为BC＞AC，所以 $BC=4\sqrt{2}$。

【分析】
（1）要证明点P是△ABC的内心，需证明P是△ABC两个内角平分线的交点：首先由AB为⊙O直径可得∠ACB=90°，结合$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$可推出CD平分∠ACB；再利用$PD=BD$得到等腰三角形底角相等，结合圆周角的角等量关系推导得出BP平分∠ABC，即可完成证明。
（2）求BC的长度时，先连接AD，过B作$BH⊥CD$构造直角三角形：首先利用AB是直径、$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$得出△ABD是等腰直角三角形，计算出BD的长度；再由$∠BCD=45°$得△BCH为等腰直角三角形，设$BH=CH=x$，在Rt△BHD中利用勾股定理列方程求解x，最后结合$BC＞AC$的条件对结果取舍，得到BC的长。
【解析】
(1) 因为AB为$\odot O$的直径，所以$∠ACB=90°$。因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，所以$∠ACD=∠BCD$，即CD平分$∠ACB$。
由圆周角定理可得$∠ABD=∠ACD$，因此$∠ABD=∠DCB$。
因为$PD=BD$，所以$∠BPD=∠PBD$。
又因为$∠BPD=∠BCP+∠CBP$，$∠DBP=∠ABD+∠ABP$，代入等量关系可得$∠CBP=∠ABP$，即BP平分$∠ABC$。
CD平分$∠ACB$，BP平分$∠ABC$，所以点P是$△ABC$的内心。
(2) 如图，连接AD，过点B作$BH⊥CD$于点H。
因为AB是直径，所以$∠ADB=90°$。
因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，所以$AD=BD$，△ABD是等腰直角三角形，因此 $BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}×5\sqrt{2}=5$。
因为$∠BCD=45°$，$BH⊥CD$，所以$∠BCH=∠CBH=45°$，即$BH=CH$，因此 $BC=\sqrt{2}BH$。
在Rt△BHD中，由勾股定理得$BD^2=DH^2+BH^2$，已知$CD=7$，则$DH=CD-CH=7-BH$，代入得 $25=(7-BH)^2+BH^2$，解方程得$BH=3$或$BH=4$，对应$BC=3\sqrt{2}$或$BC=4\sqrt{2}$。
因为题干给出$BC＞AC$，所以 $BC=4\sqrt{2}$。

【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $BC=4\sqrt{2}$

【知识点】
三角形内心的判定，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的性质、三角形内心的判定以及勾股定理的应用，解题时需要灵活进行角的等量转化，合理构造直角三角形求解，同时要注意根据题干给出的边长限制条件对计算结果进行取舍，对几何综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

14 如图，$\odot O$ 是$△ ABC$ 的外接圆，$I$ 是$△ ABC$ 的内心，延长 $AI$ 交$\odot O$ 于点 $D$，连接 $DB$、$DC$。
（1）求证：$DB = DC = DI$。
（2）若$\odot O$ 的半径为 10，$∠ BAC = 120°$，求$△ BDC$ 的面积。

(1) 因为点I是△ABC的内心，所以AI平分∠BAC，所以$∠BAD=∠DAC$，所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DC}$，所以BD=DC。因为BI平分∠ABC，所以$∠ABI=∠CBI$。由圆周角定理，得$∠DBC=∠DAC$，所以$∠BAD=∠DBC$。因为$∠DBI=∠DBC+∠CBI$，$∠DIB=∠ABI+∠BAD$，所以$∠DBI=∠DIB$，所以BD=DI，所以BD=DC=DI。
(2) 当$∠BAC=120°$时，△ABC为钝角三角形，所以点O在△ABC外，如图，连接OB、OD、OC。因为 $∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=60°$，所以 $∠DBC=∠DCB=60°$，所以△BDC为等边三角形。因为OB=10，所以 $BD=2OB·\sin60°=2×10×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$，所以 $S_{△BDC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×(10\sqrt{3})^2=75\sqrt{3}$。

【分析】
（1）要证明$DB=DC=DI$，可分两步推导：①先证$DB=DC$：根据内心是三角形角平分线交点，得$AI$平分$∠BAC$，结合圆周角定理可得弧$BD$和弧$DC$相等，同圆中等弧对等弦，即可得$DB=DC$；②再证$DB=DI$：根据$BI$是$∠ABC$的角平分线，结合圆周角的等量转化，推导$∠DBI=∠DIB$，利用等角对等边即可得$DB=DI$，最终得三条线段相等。
（2）已知$∠BAC=120°$，先由角平分线性质得$∠BAD=60°$，结合圆周角定理推导得$△BDC$是等边三角形，再结合外接圆半径求出等边三角形的边长，最后代入等边三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）证明：
∵点$I$是$△ABC$的内心，
∴$AI$平分$∠BAC$，$BI$平分$∠ABC$，
∴$∠BAD=∠DAC$，$∠ABI=∠CBI$。
∵$∠BAD=∠DAC$，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DC}$，
∴$BD=DC$。
由圆周角定理得$∠DBC=∠DAC$，结合$∠BAD=∠DAC$，可得$∠BAD=∠DBC$。
∵$∠DBI=∠DBC+∠CBI$，$∠DIB=∠ABI+∠BAD$，
∴$∠DBI=∠DIB$，
∴$BD=DI$，
∴$BD=DC=DI$。
（2）解：
连接$OB$、$OD$、$OC$，
∵$∠BAC=120°$，$AI$平分$∠BAC$，
∴$∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=60°$，
由圆周角定理得$∠DBC=∠DCB=∠BAD=60°$，
∴$△BDC$为等边三角形。
已知$\odot O$半径$OB=10$，可得等边三角形$BDC$的边长：
$BD=2OB·\sin60°=2×10×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$，
则$△BDC$的面积：
$S_{△BDC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×BD^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×(10\sqrt{3})^2=75\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $75\sqrt{3}$

【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了圆的性质与三角形相关定理的应用，第一问侧重角的等量转化，需要熟练利用角平分线性质和圆周角的等量关系推导等角，进而得到等线段；第二问需要先判断三角形的形状，再结合外接圆半径完成边长和面积的计算，对逻辑推导能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65