13 如图，AB为$\odot O$的直径，$△ ABC$内接于$\odot O$。$BC＞AC$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，连接CD，点P在线段CD上，且$BD=PD$，连接BP。
（1）求证：点P是$△ ABC$的内心。
（2）已知$\odot O$的直径是$5\sqrt{2}$，$CD=7$。求BC的长。

(1) 因为AB为$\odot O$的直径，所以$∠ACB=90°$。因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，所以$∠ACD=∠BCD$，所以CD平分∠ACB。由圆周角定理，可得$∠ABD=∠ACD$，所以$∠ABD=∠DCB$。因为PD=BD，所以$∠BPD=∠PBD$。因为$∠BPD=∠BCP+∠CBP$，$∠DBP=∠ABD+∠ABP$，所以$∠CBP=∠ABP$，所以BP平分∠ABC，所以点P是△ABC的内心。
(2) 如图，连接AD，过点B作$BH⊥CD$于点H。因为AB是直径，所以$∠ADB=90°$。因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，所以AD=BD，所以△ABD是等腰直角三角形，所以 $BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}×5\sqrt{2}=5$。因为$∠BCD=45°$，$BH⊥CD$，所以$∠BCH=∠CBH=45°$，所以BH=CH，所以 $BC=\sqrt{2}BH$。因为 $BD^2=DH^2+BH^2$，所以 $25=(7-BH)^2+BH^2$，所以BH=3或4，$BC=3\sqrt{2}$或$4\sqrt{2}$。因为BC＞AC，所以 $BC=4\sqrt{2}$。

14 如图，$\odot O$ 是$△ ABC$ 的外接圆，$I$ 是$△ ABC$ 的内心，延长 $AI$ 交$\odot O$ 于点 $D$，连接 $DB$、$DC$。
（1）求证：$DB = DC = DI$。
（2）若$\odot O$ 的半径为 10，$∠ BAC = 120°$，求$△ BDC$ 的面积。

(1) 因为点I是△ABC的内心，所以AI平分∠BAC，所以$∠BAD=∠DAC$，所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DC}$，所以BD=DC。因为BI平分∠ABC，所以$∠ABI=∠CBI$。由圆周角定理，得$∠DBC=∠DAC$，所以$∠BAD=∠DBC$。因为$∠DBI=∠DBC+∠CBI$，$∠DIB=∠ABI+∠BAD$，所以$∠DBI=∠DIB$，所以BD=DI，所以BD=DC=DI。
(2) 当$∠BAC=120°$时，△ABC为钝角三角形，所以点O在△ABC外，如图，连接OB、OD、OC。因为 $∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=60°$，所以 $∠DBC=∠DCB=60°$，所以△BDC为等边三角形。因为OB=10，所以 $BD=2OB·\sin60°=2×10×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$，所以 $S_{△BDC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×(10\sqrt{3})^2=75\sqrt{3}$。