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1 下列关于圆的切线的说法正确的是(
A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线
C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线
D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线
D
)。A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线
C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线
D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线
答案
D
解析
【分析】
本题考查圆的切线的判定，解题时需先回忆圆切线的判定条件，再逐一核对每个选项是否满足判定的全部要求，排除错误选项后得到正确答案。首先明确圆切线的核心判定要素：①是直线；②要么与圆只有唯一公共点，要么到圆心的距离等于半径长，要么经过半径外端且垂直于该半径，三个判定满足其一即可，注意各判定的前提条件不能遗漏。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：垂直于圆的半径的直线，若没有经过半径的外端，可能是圆内的直线，不属于切线，该选项错误；
B选项：圆的切线是直线，射线与圆只有一个公共点不能判定为切线，该选项错误；
C选项：半径有两个端点（圆心端和圆上的外端），若经过的是圆心端，此时垂直于半径的直线与圆有2个交点，是割线，只有经过半径外端且垂直于半径的直线才是切线，该选项错误；
D选项：圆心到直线的距离等于半径长时，直线与圆只有唯一公共点，符合切线的判定，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
圆的切线的判定；直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对圆切线判定规则的细节理解，学习时要记清各判定条件的限定要素，避免因忽略前提（如“直线”“半径外端”等）导致判断错误。
【难度系数】
0.8
本题考查圆的切线的判定，解题时需先回忆圆切线的判定条件，再逐一核对每个选项是否满足判定的全部要求，排除错误选项后得到正确答案。首先明确圆切线的核心判定要素：①是直线；②要么与圆只有唯一公共点，要么到圆心的距离等于半径长，要么经过半径外端且垂直于该半径，三个判定满足其一即可，注意各判定的前提条件不能遗漏。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：垂直于圆的半径的直线，若没有经过半径的外端，可能是圆内的直线，不属于切线，该选项错误；
B选项：圆的切线是直线，射线与圆只有一个公共点不能判定为切线，该选项错误；
C选项：半径有两个端点（圆心端和圆上的外端），若经过的是圆心端，此时垂直于半径的直线与圆有2个交点，是割线，只有经过半径外端且垂直于半径的直线才是切线，该选项错误；
D选项：圆心到直线的距离等于半径长时，直线与圆只有唯一公共点，符合切线的判定，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
圆的切线的判定；直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对圆切线判定规则的细节理解，学习时要记清各判定条件的限定要素，避免因忽略前提（如“直线”“半径外端”等）导致判断错误。
【难度系数】
0.8
2 如图，PA、PB分别与$\odot O$相切于A、B两点，若$∠ C=65°$，则$∠ P$的度数为（
A.$65°$
B.$130°$
C.$50°$
D.$100°$
C
）。A.$65°$
B.$130°$
C.$50°$
D.$100°$
答案
C
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知的圆周角∠C的度数，求出同弧AB所对的圆心角∠AOB的度数；第二步，根据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，可得∠OAP、∠OBP均为直角，再结合四边形内角和为360°，即可计算出∠P的度数。
【解析】
1. 求圆心角∠AOB的度数：
∵ ∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍
∴ ∠AOB = 2∠C = 2×65° = 130°
2. 求∠P的度数：
∵ PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点
根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP = ∠OBP = 90°
∵ 四边形OAPB的内角和为360°
∴ ∠P = 360° - ∠OAP - ∠OBP - ∠AOB = 360° - 90° - 90° - 130° = 50°
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，四边形内角和
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题型，解题的核心是熟练掌握圆周角与圆心角的关系、切线的性质，结合四边形内角和公式即可快速求解，是圆章节的常见考点。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知的圆周角∠C的度数，求出同弧AB所对的圆心角∠AOB的度数；第二步，根据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，可得∠OAP、∠OBP均为直角，再结合四边形内角和为360°，即可计算出∠P的度数。
【解析】
1. 求圆心角∠AOB的度数：
∵ ∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍
∴ ∠AOB = 2∠C = 2×65° = 130°
2. 求∠P的度数：
∵ PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点
根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP = ∠OBP = 90°
∵ 四边形OAPB的内角和为360°
∴ ∠P = 360° - ∠OAP - ∠OBP - ∠AOB = 360° - 90° - 90° - 130° = 50°
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，四边形内角和
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题型，解题的核心是熟练掌握圆周角与圆心角的关系、切线的性质，结合四边形内角和公式即可快速求解，是圆章节的常见考点。
【难度系数】
0.7
3 如图，P为$\odot O$的直径BA延长线上的一点，PC与$\odot O$相切，切点为C，点D是$\odot O$上一点，连接PD。已知$PC=PD=BC$，有下列结论：
(1) PD与$\odot O$相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)$PO=AB$；(4)$∠ PDB=120°$。
其中正确的个数为(
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个
(1) PD与$\odot O$相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)$PO=AB$；(4)$∠ PDB=120°$。
其中正确的个数为(
A
)。(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个
答案
A
解析
【分析】
解题时先连接辅助线OC、OD，结合已知条件逐一验证4个结论：①要证PD与⊙O相切，只需通过全等三角形证明OD垂直PD即可；②先证四边形PCBD是平行四边形，再结合邻边相等证明其为菱形；③通过直角三角形中30°角的边角关系推导PO和AB的长度关系；④结合菱形内角性质计算∠PDB的度数。
【解析】
连接OC、OD：
1. 验证结论(1)：
∵PC与⊙O相切，
∴OC⊥PC，即$∠ PCO=90°$。
在$△ PCO$和$△ PDO$中，$\begin{cases}PC=PD\\OC=OD\\PO=PO\end{cases}$，
∴$△ PCO≌△ PDO(SSS)$，得$∠ PDO=∠ PCO=90°$，即OD⊥PD，
又OD是⊙O半径，故PD与⊙O相切，结论(1)正确。
2. 验证结论(2)：
由$△ PCO≌△ PDO$得$∠ CPO=∠ DPO$，
∵$PC=BC$，
∴$∠ CPB=∠ CBP$，
∴$∠ DPO=∠ CBP$，得$PD// BC$，
又$PD=BC$，
∴四边形PCBD是平行四边形，
∵$PC=PD$，
∴平行四边形PCBD是菱形，结论(2)正确。
3. 验证结论(3)：
设$∠ CBP=x$，则$∠ CPB=x$，
∵$OC=OB$，
∴$∠ OCB=∠ CBP=x$，得$∠ COP=∠ OCB+∠ CBP=2x$，
在$Rt△ PCO$中，$∠ CPO+∠ COP=90°$，即$x+2x=90°$，解得$x=30°$，
∴$∠ COP=60°$，在$Rt△ PCO$中$PO=2OC$，
又直径$AB=2OC$，故$PO=AB$，结论(3)正确。
4. 验证结论(4)：
∵四边形PCBD是菱形，
∴$PD=BD$，$∠ DPB=∠ DBP=30°$，
∴$∠ PDB=180°-30°-30°=120°$，结论(4)正确。
综上4个结论全部正确。
【答案】
A
【知识点】
切线的判定与性质；菱形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了圆的性质、特殊四边形判定、几何角度和边长计算，核心是通过连接半径构造全等三角形，结合特殊角的性质逐步推导，属于几何综合类基础题。
【难度系数】
0.65
解题时先连接辅助线OC、OD，结合已知条件逐一验证4个结论：①要证PD与⊙O相切，只需通过全等三角形证明OD垂直PD即可；②先证四边形PCBD是平行四边形，再结合邻边相等证明其为菱形；③通过直角三角形中30°角的边角关系推导PO和AB的长度关系；④结合菱形内角性质计算∠PDB的度数。
【解析】
连接OC、OD：
1. 验证结论(1)：
∵PC与⊙O相切，
∴OC⊥PC，即$∠ PCO=90°$。
在$△ PCO$和$△ PDO$中，$\begin{cases}PC=PD\\OC=OD\\PO=PO\end{cases}$，
∴$△ PCO≌△ PDO(SSS)$，得$∠ PDO=∠ PCO=90°$，即OD⊥PD，
又OD是⊙O半径，故PD与⊙O相切，结论(1)正确。
2. 验证结论(2)：
由$△ PCO≌△ PDO$得$∠ CPO=∠ DPO$，
∵$PC=BC$，
∴$∠ CPB=∠ CBP$，
∴$∠ DPO=∠ CBP$，得$PD// BC$，
又$PD=BC$，
∴四边形PCBD是平行四边形，
∵$PC=PD$，
∴平行四边形PCBD是菱形，结论(2)正确。
3. 验证结论(3)：
设$∠ CBP=x$，则$∠ CPB=x$，
∵$OC=OB$，
∴$∠ OCB=∠ CBP=x$，得$∠ COP=∠ OCB+∠ CBP=2x$，
在$Rt△ PCO$中，$∠ CPO+∠ COP=90°$，即$x+2x=90°$，解得$x=30°$，
∴$∠ COP=60°$，在$Rt△ PCO$中$PO=2OC$，
又直径$AB=2OC$，故$PO=AB$，结论(3)正确。
4. 验证结论(4)：
∵四边形PCBD是菱形，
∴$PD=BD$，$∠ DPB=∠ DBP=30°$，
∴$∠ PDB=180°-30°-30°=120°$，结论(4)正确。
综上4个结论全部正确。
【答案】
A
【知识点】
切线的判定与性质；菱形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了圆的性质、特殊四边形判定、几何角度和边长计算，核心是通过连接半径构造全等三角形，结合特殊角的性质逐步推导，属于几何综合类基础题。
【难度系数】
0.65
4 如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=2，CD=1，BF=3，则内切圆的半径r=
1
。答案
1
解析
【分析】
解题时首先利用三角形内切圆的切线长定理，得到同顶点出发的两条切线段长度相等，据此求出△ABC的三边长；再通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，最后用直角三角形内切圆半径公式或面积法即可求出半径r。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，根据切线长定理可得：
$AE=AF=2$，$CD=CE=1$，$BF=BD=3$，
∴△ABC的三边长分别为：
$AC=AE+CE=2+1=3$，
$BC=BD+CD=3+1=4$，
$AB=AF+BF=2+3=5$，
∵$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，即$AC^2+BC^2=AB^2$，
∴△ABC是直角三角形，且$∠ C=90°$。
方法1（直角三角形内切圆半径公式）：直角三角形内切圆半径$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），代入得：
$r=\frac{3+4-5}{2}=1$。
方法2（面积法）：△ABC的面积$S=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3×4=6$，
又三角形面积也可表示为$S=\frac{1}{2}×(AC+BC+AB)× r$，代入得：
$\frac{1}{2}×(3+4+5)× r=6$，
解得$r=1$。
【答案】
1
【知识点】
1.切线长定理 2.勾股定理逆定理 3.三角形内切圆半径计算
【点评】
本题属于基础类考题，核心是熟练运用切线长定理求出三角形三边长，再结合三角形的特征选择合适的半径计算方法即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用三角形内切圆的切线长定理，得到同顶点出发的两条切线段长度相等，据此求出△ABC的三边长；再通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，最后用直角三角形内切圆半径公式或面积法即可求出半径r。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，根据切线长定理可得：
$AE=AF=2$，$CD=CE=1$，$BF=BD=3$，
∴△ABC的三边长分别为：
$AC=AE+CE=2+1=3$，
$BC=BD+CD=3+1=4$，
$AB=AF+BF=2+3=5$，
∵$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，即$AC^2+BC^2=AB^2$，
∴△ABC是直角三角形，且$∠ C=90°$。
方法1（直角三角形内切圆半径公式）：直角三角形内切圆半径$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），代入得：
$r=\frac{3+4-5}{2}=1$。
方法2（面积法）：△ABC的面积$S=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3×4=6$，
又三角形面积也可表示为$S=\frac{1}{2}×(AC+BC+AB)× r$，代入得：
$\frac{1}{2}×(3+4+5)× r=6$，
解得$r=1$。
【答案】
1
【知识点】
1.切线长定理 2.勾股定理逆定理 3.三角形内切圆半径计算
【点评】
本题属于基础类考题，核心是熟练运用切线长定理求出三角形三边长，再结合三角形的特征选择合适的半径计算方法即可求解。
【难度系数】
0.7
5 如图，$\odot O$是等腰直角三角形$ACB$的内切圆，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，则$\odot O$的半径为________。
答案
$4-2\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先明确△ACB是等腰直角三角形，已知直角边AC=4，先求出三边长度；再根据直角三角形内切圆半径的计算方法，既可直接用直角三角形内切圆半径公式求解，也可以通过面积法（三角形总面积=内切圆半径×三角形半周长）计算，代入对应数值即可得到内切圆半径。
【解析】
∵△ACB是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=4
∴BC=AC=4
由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$
设⊙O的半径为r，根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{两直角边之和-斜边}{2}$，代入数值：
$r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{4+4-4\sqrt{2}}{2}=4-2\sqrt{2}$
（也可通过面积法验证：$S_{△ ACB}=\frac{1}{2}×4×4=8$，三角形半周长$p=\frac{4+4+4\sqrt{2}}{2}=4+2\sqrt{2}$，由$S=r· p$得$r=\frac{8}{4+2\sqrt{2}}=4-2\sqrt{2}$，结果一致）
【答案】
$4-2\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，等腰直角三角形性质，三角形内切圆半径计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内切圆半径的计算方法，熟练掌握直角三角形内切圆半径的推导或公式即可快速解题。
【难度系数】
0.7
首先明确△ACB是等腰直角三角形，已知直角边AC=4，先求出三边长度；再根据直角三角形内切圆半径的计算方法，既可直接用直角三角形内切圆半径公式求解，也可以通过面积法（三角形总面积=内切圆半径×三角形半周长）计算，代入对应数值即可得到内切圆半径。
【解析】
∵△ACB是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=4
∴BC=AC=4
由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$
设⊙O的半径为r，根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{两直角边之和-斜边}{2}$，代入数值：
$r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{4+4-4\sqrt{2}}{2}=4-2\sqrt{2}$
（也可通过面积法验证：$S_{△ ACB}=\frac{1}{2}×4×4=8$，三角形半周长$p=\frac{4+4+4\sqrt{2}}{2}=4+2\sqrt{2}$，由$S=r· p$得$r=\frac{8}{4+2\sqrt{2}}=4-2\sqrt{2}$，结果一致）
【答案】
$4-2\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，等腰直角三角形性质，三角形内切圆半径计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内切圆半径的计算方法，熟练掌握直角三角形内切圆半径的推导或公式即可快速解题。
【难度系数】
0.7
⑥ 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，$BC=4\,\mathrm{cm}$，以点$C$为圆心，以$3\,\mathrm{cm}$长为半径作圆，则$\odot C$与$AB$的位置关系是________。
答案
相交
解析
【分析】
要判断⊙C与直线AB的位置关系，核心是比较圆心C到直线AB的距离d与圆的半径r的大小：若d＜r则位置关系为相交，d=r为相切，d＞r为相离。因此解题第一步需要求出点C到AB的垂线段长度（即AB边上的高），再和半径3cm比较即可。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D，CD即为圆心C到直线AB的距离d。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=180°-90°-60°=30°。
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=30°，BC=4cm，
由三角函数的定义得：$CD = BC·\sin∠B = 4×\sin30° = 4×\frac{1}{2}=2\mathrm{cm}$。
已知⊙C的半径r=3cm，
∵d=2cm ＜ r=3cm，
∴⊙C与AB的位置关系是相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；直角三角形性质；三角函数应用
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础题，解题关键是掌握位置关系的判定方法，正确求出圆心到直线的距离后与半径对比即可得到结果，需熟练掌握此类题型的解题思路。
【难度系数】
0.7
要判断⊙C与直线AB的位置关系，核心是比较圆心C到直线AB的距离d与圆的半径r的大小：若d＜r则位置关系为相交，d=r为相切，d＞r为相离。因此解题第一步需要求出点C到AB的垂线段长度（即AB边上的高），再和半径3cm比较即可。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D，CD即为圆心C到直线AB的距离d。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=180°-90°-60°=30°。
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=30°，BC=4cm，
由三角函数的定义得：$CD = BC·\sin∠B = 4×\sin30° = 4×\frac{1}{2}=2\mathrm{cm}$。
已知⊙C的半径r=3cm，
∵d=2cm ＜ r=3cm，
∴⊙C与AB的位置关系是相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；直角三角形性质；三角函数应用
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础题，解题关键是掌握位置关系的判定方法，正确求出圆心到直线的距离后与半径对比即可得到结果，需熟练掌握此类题型的解题思路。
【难度系数】
0.7
