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8 国庆节期间，小红的妈妈经营的玩具店进了一箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小红将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.3，由此可以估计红球的个数约是
300
个。答案
8.300
解析
【分析】
解题时首先回忆用频率估计概率的相关知识：当大量重复进行同一试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。本题中摸到红球的频率稳定在0.3，因此可估计摸到红球的概率为0.3，再结合总球数，用总球数乘以红球的概率即可估算出红球的个数。
【解析】
∵多次重复摸球试验后，摸到红球的频率逐渐稳定在0.3，
∴估计摸到红球的概率为0.3，
∵塑料球总共有1000个，
∴红球的个数约为：$1000×0.3=300$（个）。
【答案】
300
【知识点】
用频率估计概率，概率的实际应用
【点评】
本题是用频率估计概率的基础应用题，核心是理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率的估计值，再结合总数即可求出对应个体的数量，此类题型和生活实际结合紧密，是统计概率板块的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆用频率估计概率的相关知识：当大量重复进行同一试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。本题中摸到红球的频率稳定在0.3，因此可估计摸到红球的概率为0.3，再结合总球数，用总球数乘以红球的概率即可估算出红球的个数。
【解析】
∵多次重复摸球试验后，摸到红球的频率逐渐稳定在0.3，
∴估计摸到红球的概率为0.3，
∵塑料球总共有1000个，
∴红球的个数约为：$1000×0.3=300$（个）。
【答案】
300
【知识点】
用频率估计概率，概率的实际应用
【点评】
本题是用频率估计概率的基础应用题，核心是理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率的估计值，再结合总数即可求出对应个体的数量，此类题型和生活实际结合紧密，是统计概率板块的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
9 在一个不透明的布袋中装有红、白两种颜色的小球共4个，这些小球除颜色外其他都相同，每次将小球搅匀后从中随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定在0.25左右。
（1）请估计袋子里红、白两种颜色的小球各有多少个。
（2）小华与小红计划周末外出游玩，小华想去大唐芙蓉园，小红则想去兵马俑景区，由于时间紧张，仅能选择其中一个景区前往，因此小华提议用上述袋中的球通过摸球游戏来决定选择哪个景区。游戏规则：小华先从袋中摸出一个小球，记下颜色后，放回，搅匀后，小红再从袋中摸出一个小球；若两人摸出的小球颜色相同，则小华获胜，前往大唐芙蓉园；反之则小红获胜，前往兵马俑景区，请用列表或画树状图的方法，求两人前往大唐芙蓉园的概率。
（1）请估计袋子里红、白两种颜色的小球各有多少个。
（2）小华与小红计划周末外出游玩，小华想去大唐芙蓉园，小红则想去兵马俑景区，由于时间紧张，仅能选择其中一个景区前往，因此小华提议用上述袋中的球通过摸球游戏来决定选择哪个景区。游戏规则：小华先从袋中摸出一个小球，记下颜色后，放回，搅匀后，小红再从袋中摸出一个小球；若两人摸出的小球颜色相同，则小华获胜，前往大唐芙蓉园；反之则小红获胜，前往兵马俑景区，请用列表或画树状图的方法，求两人前往大唐芙蓉园的概率。
答案
9.（1）因为通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定在0.25左右，所以摸到红色小球的概率为0.25，4×0.25=1(个)，4−1=3(个)，所以估计袋子中红球有1个，白球有3个。
（2）共有16种等可能的结果，其中两个小球颜色相同的结果有10种，所以P(两人前往大唐芙蓉园)=$\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$。
（2）共有16种等可能的结果，其中两个小球颜色相同的结果有10种，所以P(两人前往大唐芙蓉园)=$\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$。
解析
【分析】
（1）解决第一问的核心是掌握大量重复试验中，频率的稳定值可作为概率的估计值。首先根据摸到红球的频率稳定值得到红球的概率，再用总球数乘红球概率得到红球数量，最后用总球数减去红球数量即可得到白球数量。
（2）解决第二问首先要明确本次摸球为放回试验，两次摸球相互独立，所有结果均为等可能事件。我们可以通过列表或画树状图的方式罗列出两次摸球的所有等可能结果，再统计出“两人摸出球颜色相同”的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算出对应概率，即为两人前往大唐芙蓉园的概率。
【解析】
（1）
∵大量重复试验中，摸到红色小球的频率稳定在0.25左右，
∴可估计摸到红色小球的概率为0.25，
∴袋子中红球的个数约为：$4×0.25=1$（个），
白球的个数约为：$4-1=3$（个）。
（2）记1个红球为R，3个白球分别为$W_1$、$W_2$、$W_3$，根据放回摸球的规则列表如下：
| 第二次\第一次 | R | $W_1$ | $W_2$ | $W_3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| R | (R,R) | $(W_1,R)$ | $(W_2,R)$ | $(W_3,R)$ |
| $W_1$ | $(R,W_1)$ | $(W_1,W_1)$ | $(W_2,W_1)$ | $(W_3,W_1)$ |
| $W_2$ | $(R,W_2)$ | $(W_1,W_2)$ | $(W_2,W_2)$ | $(W_3,W_2)$ |
| $W_3$ | $(R,W_3)$ | $(W_1,W_3)$ | $(W_2,W_3)$ | $(W_3,W_3)$ |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两人摸出的小球颜色相同的结果有10种（1种两红结果、9种两白结果），
∴$P(\mathrm{两人前往大唐芙蓉园})=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$。
【答案】
（1）估计袋子里红球有1个，白球有3个；
（2）两人前往大唐芙蓉园的概率为$\frac{5}{8}$。
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 列表法求概率
【点评】
本题结合生活场景设计问题，既考查了频率与概率的关系，又考查了放回试验下概率的计算方法，解题时需要注意区分放回和不放回试验的差异，准确枚举所有等可能结果，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问的核心是掌握大量重复试验中，频率的稳定值可作为概率的估计值。首先根据摸到红球的频率稳定值得到红球的概率，再用总球数乘红球概率得到红球数量，最后用总球数减去红球数量即可得到白球数量。
（2）解决第二问首先要明确本次摸球为放回试验，两次摸球相互独立，所有结果均为等可能事件。我们可以通过列表或画树状图的方式罗列出两次摸球的所有等可能结果，再统计出“两人摸出球颜色相同”的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算出对应概率，即为两人前往大唐芙蓉园的概率。
【解析】
（1）
∵大量重复试验中，摸到红色小球的频率稳定在0.25左右，
∴可估计摸到红色小球的概率为0.25，
∴袋子中红球的个数约为：$4×0.25=1$（个），
白球的个数约为：$4-1=3$（个）。
（2）记1个红球为R，3个白球分别为$W_1$、$W_2$、$W_3$，根据放回摸球的规则列表如下：
| 第二次\第一次 | R | $W_1$ | $W_2$ | $W_3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| R | (R,R) | $(W_1,R)$ | $(W_2,R)$ | $(W_3,R)$ |
| $W_1$ | $(R,W_1)$ | $(W_1,W_1)$ | $(W_2,W_1)$ | $(W_3,W_1)$ |
| $W_2$ | $(R,W_2)$ | $(W_1,W_2)$ | $(W_2,W_2)$ | $(W_3,W_2)$ |
| $W_3$ | $(R,W_3)$ | $(W_1,W_3)$ | $(W_2,W_3)$ | $(W_3,W_3)$ |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两人摸出的小球颜色相同的结果有10种（1种两红结果、9种两白结果），
∴$P(\mathrm{两人前往大唐芙蓉园})=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$。
【答案】
（1）估计袋子里红球有1个，白球有3个；
（2）两人前往大唐芙蓉园的概率为$\frac{5}{8}$。
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 列表法求概率
【点评】
本题结合生活场景设计问题，既考查了频率与概率的关系，又考查了放回试验下概率的计算方法，解题时需要注意区分放回和不放回试验的差异，准确枚举所有等可能结果，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
10 在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同。实践小组的同学做摸球试验，搅匀后，从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近
（2）试估算盒子里白球有
（3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中估计的频率的试验最有可能的是
① 从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”。
② 掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”。
③ 投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上。
④ 甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲。
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近
0.25
（精确到0.01）。（2）试估算盒子里白球有
5
个。（3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中估计的频率的试验最有可能的是
①④
。（填写所有正确结论的序号）① 从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”。
② 掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”。
③ 投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上。
④ 甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲。
答案
10.（1）0.25 （2）根据题意得：20×0.25=5(个)。 （3）①④
解析
【分析】
（1）第一问依据频率的稳定性思考：当大量重复摸球试验时，摸到白球的频率会逐渐稳定在某个常数附近，观察表格中摸球次数很大时的频率数据，即可找到其接近的数值。
（2）第二问利用概率的计算公式推导：已知总球数和摸到白球的概率，用总球数乘摸到白球的概率即可得到白球的个数。
（3）第三问分别计算四个选项对应事件的概率，选出概率等于第一问所得0.25的选项即可。
【解析】
（1）观察表格数据，当摸球次数$n$不断增大时，摸到白球的频率在0.25附近波动，因此当$n$很大时，摸到白球的频率将会接近0.25。
（2）盒子中球的总数量为20个，摸到白球的概率约为0.25，因此白球的数量为：$20×0.25=5$（个）。
（3）逐一计算各事件的概率：
① 不含大小王的扑克牌共52张，其中红桃有13张，任意抽取一张是红桃的概率为$\frac{13}{52}=0.25$，符合要求；
② 质地均匀的骰子共6个点数，小于3的点数有1、2共2种，朝上点数小于3的概率为$\frac{2}{6}\approx0.33$，不符合要求；
③ 投掷均匀硬币，正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，不符合要求；
④ 四人抽签抽中任意一人的概率为$\frac{1}{4}=0.25$，符合要求。
因此符合条件的是①④。
【答案】
（1）0.25 （2）5 （3）①④
【知识点】
用频率估计概率，简单事件概率计算
【点评】
本题是概率章节的基础题型，重点考查对频率稳定性的理解，以及简单随机事件概率的计算能力，解题时要注意大量重复试验下频率的稳定值即为事件发生的概率，计算概率时需准确确认总情况数和符合条件的情况数。
【难度系数】
0.7
（1）第一问依据频率的稳定性思考：当大量重复摸球试验时，摸到白球的频率会逐渐稳定在某个常数附近，观察表格中摸球次数很大时的频率数据，即可找到其接近的数值。
（2）第二问利用概率的计算公式推导：已知总球数和摸到白球的概率，用总球数乘摸到白球的概率即可得到白球的个数。
（3）第三问分别计算四个选项对应事件的概率，选出概率等于第一问所得0.25的选项即可。
【解析】
（1）观察表格数据，当摸球次数$n$不断增大时，摸到白球的频率在0.25附近波动，因此当$n$很大时，摸到白球的频率将会接近0.25。
（2）盒子中球的总数量为20个，摸到白球的概率约为0.25，因此白球的数量为：$20×0.25=5$（个）。
（3）逐一计算各事件的概率：
① 不含大小王的扑克牌共52张，其中红桃有13张，任意抽取一张是红桃的概率为$\frac{13}{52}=0.25$，符合要求；
② 质地均匀的骰子共6个点数，小于3的点数有1、2共2种，朝上点数小于3的概率为$\frac{2}{6}\approx0.33$，不符合要求；
③ 投掷均匀硬币，正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，不符合要求；
④ 四人抽签抽中任意一人的概率为$\frac{1}{4}=0.25$，符合要求。
因此符合条件的是①④。
【答案】
（1）0.25 （2）5 （3）①④
【知识点】
用频率估计概率，简单事件概率计算
【点评】
本题是概率章节的基础题型，重点考查对频率稳定性的理解，以及简单随机事件概率的计算能力，解题时要注意大量重复试验下频率的稳定值即为事件发生的概率，计算概率时需准确确认总情况数和符合条件的情况数。
【难度系数】
0.7
