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【项目实施】
步骤一:在纸上画一个正方形及其内切圆,如图。
（1）该内切圆与正方形面积的比值用$a$表示,求$a$的值。
步骤二:随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的纸上,统计落在圆内的米粒数$m$、落在正方形内的米粒数$n$,并计算频率$\frac{m}{n}$。
| 落在圆内的米粒数$m$ | 落在正方形内的米粒数$n$ | 频率$\frac{m}{n}$ |
| --- | --- | --- |
| 450 | 600 | $b$ |
（2）$b=$
步骤三:利用$a$与$b$的关系,估计$π$的值。
（3）$π\approx$
【项目反思】
（4）小贤同学发现,上述$π$的估计精度不够高,那怎样提高$π$的估计精度呢?请你给出至少一条合理化建议。
步骤一:在纸上画一个正方形及其内切圆,如图。
（1）该内切圆与正方形面积的比值用$a$表示,求$a$的值。
步骤二:随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的纸上,统计落在圆内的米粒数$m$、落在正方形内的米粒数$n$,并计算频率$\frac{m}{n}$。
| 落在圆内的米粒数$m$ | 落在正方形内的米粒数$n$ | 频率$\frac{m}{n}$ |
| --- | --- | --- |
| 450 | 600 | $b$ |
（2）$b=$
$\frac{3}{4}$
。步骤三:利用$a$与$b$的关系,估计$π$的值。
（3）$π\approx$
3
。【项目反思】
（4）小贤同学发现,上述$π$的估计精度不够高,那怎样提高$π$的估计精度呢?请你给出至少一条合理化建议。
答案
11.（1）$a=\frac{π}{4}$ （2）$\frac{3}{4}$ （3）3 （4）增加撒在画有正方形及其内切圆纸上的米粒数。(答案不唯一)
解析
【分析】
（1）求内切圆与正方形的面积比，可先设出正方形边长，进而得到内切圆半径，分别计算二者面积后作比即可；
（2）直接根据频率公式，用落在圆内的米粒数除以落在正方形内的米粒数计算即可；
（3）根据用频率估计概率的原理，试验次数足够多时频率接近概率，即b近似等于a，代入数值即可估算π的值；
（4）根据频率估计概率的误差影响因素，试验次数越多、重复试验次数越多，频率越接近概率，据此给出建议即可。
【解析】
（1）设正方形的边长为$2r$，则其内切圆的半径为$r$。
正方形的面积：$S_{正}=(2r)^2=4r^2$
内切圆的面积：$S_{圆}=π r^2$
因此面积比值$a=\frac{S_{圆}}{S_{正}}=\frac{π r^2}{4r^2}=\frac{π}{4}$。
（2）根据频率的定义，$b=\frac{m}{n}=\frac{450}{600}=\frac{3}{4}$。
（3）当试验次数足够大时，频率可以近似估计概率，即$b\approx a$，代入得：
$\frac{3}{4}\approx\frac{π}{4}$，两边同乘4得$π\approx3$。
（4）要提高估计精度，可以增加撒米粒的总数量，或者多次重复试验后取频率的平均值（答案合理即可）。
【答案】
（1）$a=\frac{π}{4}$；（2）$\frac{3}{4}$；（3）$3$；（4）增加撒在画有正方形及其内切圆纸上的米粒数（答案不唯一）
【知识点】
1. 正方形与圆的面积计算
2. 频率的计算
3. 用频率估计概率
【点评】
本题结合动手试验场景，将几何面积计算与概率统计知识相结合，考查了用频率估计概率的核心思想，贴近生活实际，能让学生直观体会数学的应用价值。
【难度系数】
0.7
（1）求内切圆与正方形的面积比，可先设出正方形边长，进而得到内切圆半径，分别计算二者面积后作比即可；
（2）直接根据频率公式，用落在圆内的米粒数除以落在正方形内的米粒数计算即可；
（3）根据用频率估计概率的原理，试验次数足够多时频率接近概率，即b近似等于a，代入数值即可估算π的值；
（4）根据频率估计概率的误差影响因素，试验次数越多、重复试验次数越多，频率越接近概率，据此给出建议即可。
【解析】
（1）设正方形的边长为$2r$，则其内切圆的半径为$r$。
正方形的面积：$S_{正}=(2r)^2=4r^2$
内切圆的面积：$S_{圆}=π r^2$
因此面积比值$a=\frac{S_{圆}}{S_{正}}=\frac{π r^2}{4r^2}=\frac{π}{4}$。
（2）根据频率的定义，$b=\frac{m}{n}=\frac{450}{600}=\frac{3}{4}$。
（3）当试验次数足够大时，频率可以近似估计概率，即$b\approx a$，代入得：
$\frac{3}{4}\approx\frac{π}{4}$，两边同乘4得$π\approx3$。
（4）要提高估计精度，可以增加撒米粒的总数量，或者多次重复试验后取频率的平均值（答案合理即可）。
【答案】
（1）$a=\frac{π}{4}$；（2）$\frac{3}{4}$；（3）$3$；（4）增加撒在画有正方形及其内切圆纸上的米粒数（答案不唯一）
【知识点】
1. 正方形与圆的面积计算
2. 频率的计算
3. 用频率估计概率
【点评】
本题结合动手试验场景，将几何面积计算与概率统计知识相结合，考查了用频率估计概率的核心思想，贴近生活实际，能让学生直观体会数学的应用价值。
【难度系数】
0.7
