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5 欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿。因曰：‘我亦无他，惟手熟尔。’”可见技能可以通过反复苦练而达到熟能生巧。如图，已知铜钱的直径为3 cm，厚度为0.2 cm，一枚铜钱的平均密度约为9 g/cm³。为计算铜钱的质量，做如下试验：将一滴油(油滴的大小忽略不计)随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油滴恰好穿过中心孔的次数为n次。由此可以估计，一枚铜钱的质量约为
$\frac{81π(m-n)}{20m}$
克。(用含m、n、π的式子表示)答案
5.$\frac{81π(m-n)}{20m}$
解析
【分析】
本题是概率与物理密度计算结合的综合题，解题思路如下：①首先计算铜钱圆形面的总面积；②根据用频率估计概率的原理，油滴穿过中心孔的频率$\frac{n}{m}$近似等于正方形孔面积与圆形面总面积的比值，据此求出孔的面积；③用圆形面总面积减去孔的面积得到铜钱正面的有效面积，乘以厚度得到铜钱的体积；④最后根据“质量=密度×体积”代入数值化简即可得到结果。
【解析】
步骤1：计算铜钱圆形面的总面积
已知铜钱直径为3cm，半径$R=\frac{3}{2}cm$，则圆形面面积：
$S_圆=π R^2=π×(\frac{3}{2})^2=\frac{9π}{4}cm^2$
步骤2：用频率估计概率求正方形孔的面积
重复滴油试验m次，穿过孔的次数为n次，可得油滴穿过孔的频率为$\frac{n}{m}$，该频率近似等于正方形孔面积与圆形面面积的比值，即$\frac{S_正}{S_圆}\approx\frac{n}{m}$，因此：
$S_正\approx S_圆×\frac{n}{m}=\frac{9π}{4}×\frac{n}{m}$
步骤3：计算铜钱的体积
铜钱厚度为0.2cm，体积等于（圆形面面积-孔面积）乘以厚度：
$V=(S_圆 - S_正)×0.2=(\frac{9π}{4}-\frac{9π n}{4m})×\frac{1}{5}=\frac{9π(m-n)}{20m}cm^3$
步骤4：计算铜钱的质量
已知铜钱密度为$9g/cm^3$，根据质量公式$m_{质}=\rho V$，代入得：
$m_{质}=9×\frac{9π(m-n)}{20m}=\frac{81π(m-n)}{20m}g$
【答案】
$\frac{81π(m-n)}{20m}$
【知识点】
用频率估计概率，几何概型，质量密度计算
【点评】
本题结合传统文化背景，跨学科融合了数学概率知识与物理密度公式，考查学生综合运用知识解决实际问题的能力，解题时只需理清各个量之间的逻辑关系，分步推导即可完成求解。
【难度系数】
0.6
本题是概率与物理密度计算结合的综合题，解题思路如下：①首先计算铜钱圆形面的总面积；②根据用频率估计概率的原理，油滴穿过中心孔的频率$\frac{n}{m}$近似等于正方形孔面积与圆形面总面积的比值，据此求出孔的面积；③用圆形面总面积减去孔的面积得到铜钱正面的有效面积，乘以厚度得到铜钱的体积；④最后根据“质量=密度×体积”代入数值化简即可得到结果。
【解析】
步骤1：计算铜钱圆形面的总面积
已知铜钱直径为3cm，半径$R=\frac{3}{2}cm$，则圆形面面积：
$S_圆=π R^2=π×(\frac{3}{2})^2=\frac{9π}{4}cm^2$
步骤2：用频率估计概率求正方形孔的面积
重复滴油试验m次，穿过孔的次数为n次，可得油滴穿过孔的频率为$\frac{n}{m}$，该频率近似等于正方形孔面积与圆形面面积的比值，即$\frac{S_正}{S_圆}\approx\frac{n}{m}$，因此：
$S_正\approx S_圆×\frac{n}{m}=\frac{9π}{4}×\frac{n}{m}$
步骤3：计算铜钱的体积
铜钱厚度为0.2cm，体积等于（圆形面面积-孔面积）乘以厚度：
$V=(S_圆 - S_正)×0.2=(\frac{9π}{4}-\frac{9π n}{4m})×\frac{1}{5}=\frac{9π(m-n)}{20m}cm^3$
步骤4：计算铜钱的质量
已知铜钱密度为$9g/cm^3$，根据质量公式$m_{质}=\rho V$，代入得：
$m_{质}=9×\frac{9π(m-n)}{20m}=\frac{81π(m-n)}{20m}g$
【答案】
$\frac{81π(m-n)}{20m}$
【知识点】
用频率估计概率，几何概型，质量密度计算
【点评】
本题结合传统文化背景，跨学科融合了数学概率知识与物理密度公式，考查学生综合运用知识解决实际问题的能力，解题时只需理清各个量之间的逻辑关系，分步推导即可完成求解。
【难度系数】
0.6
6 如图，记录了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果。
（注：钉尖向上的频率=$\frac{钉尖向上的次数}{投掷次数}$），下面有三个推断：
① 当投掷次数是600时，假如计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667；
② 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③ 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620。其中正确的是
（注：钉尖向上的频率=$\frac{钉尖向上的次数}{投掷次数}$），下面有三个推断：
① 当投掷次数是600时，假如计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667；
② 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③ 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620。其中正确的是
②
。（填序号）答案
6.②
解析
【分析】
解决本题首先要明确频率和概率的核心关系：概率是事件发生的固有稳定值，频率是单次试验中事件发生次数和总试验次数的比值，具有随机性；只有当进行大量重复试验时，频率才会逐渐稳定在概率附近，此时可以用稳定的频率估计概率。接下来结合这个原理逐个判断三个推断的正误即可。
【解析】
对三个推断逐一分析：
① 投掷次数为600次时，试验次数较少，此时得到的频率0.667随机性较强，不能直接作为“钉尖向上”的概率，故①错误；
② 观察统计图可得，随着投掷次数不断增加，“钉尖向上”的频率始终在0.618附近摆动，呈现出稳定性，根据用频率估计概率的知识，可估计“钉尖向上”的概率为0.618，故②正确；
③ 概率是事件的固有属性，不会随试验批次、试验次数变化，且不同试验中相同次数下的频率具有随机性，再次模拟试验时投掷1000次得到的频率不一定为0.620，也不能认为概率是0.620，故③错误。
综上，正确的只有②。
【答案】
②
【知识点】
用频率估计概率；频率与概率的关系
【点评】
本题考查频率估计概率的相关知识，解题关键是理解频率的随机性，以及用频率估计概率的前提是大量重复试验，注意不要将少量试验的频率直接等同于事件的概率。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确频率和概率的核心关系：概率是事件发生的固有稳定值，频率是单次试验中事件发生次数和总试验次数的比值，具有随机性；只有当进行大量重复试验时，频率才会逐渐稳定在概率附近，此时可以用稳定的频率估计概率。接下来结合这个原理逐个判断三个推断的正误即可。
【解析】
对三个推断逐一分析：
① 投掷次数为600次时，试验次数较少，此时得到的频率0.667随机性较强，不能直接作为“钉尖向上”的概率，故①错误；
② 观察统计图可得，随着投掷次数不断增加，“钉尖向上”的频率始终在0.618附近摆动，呈现出稳定性，根据用频率估计概率的知识，可估计“钉尖向上”的概率为0.618，故②正确；
③ 概率是事件的固有属性，不会随试验批次、试验次数变化，且不同试验中相同次数下的频率具有随机性，再次模拟试验时投掷1000次得到的频率不一定为0.620，也不能认为概率是0.620，故③错误。
综上，正确的只有②。
【答案】
②
【知识点】
用频率估计概率；频率与概率的关系
【点评】
本题考查频率估计概率的相关知识，解题关键是理解频率的随机性，以及用频率估计概率的前提是大量重复试验，注意不要将少量试验的频率直接等同于事件的概率。
【难度系数】
0.7
7 十八世纪法国的博物学家布丰做过一个有趣的投针试验。如图，在一个平面上画一组相距为$d$的平行线，用一根长度为$l(l＜d)$的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为$\frac{2l}{π d}$，可以通过这一试验来估计$π$的近似值。某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取$l=\frac{1}{2}d$，得到试验数据如下表：
| 试验次数 | 1500 | 2000 | 2500 | 3000 | 3500 | 4000 | 4500 | 5000 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 相交频数 | 495 | 623 | 799 |
| 1123 | 1269 | 1434 | 1590 |
| 相交频率 | 0.3300 | 0.3115 | 0.3196 | 0.3180 | 0.3209 | 0.3173 | 0.3187 | 0.3180 |
可以估计出针与直线相交的概率为
| 试验次数 | 1500 | 2000 | 2500 | 3000 | 3500 | 4000 | 4500 | 5000 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 相交频数 | 495 | 623 | 799 |
| 1123 | 1269 | 1434 | 1590 || 相交频率 | 0.3300 | 0.3115 | 0.3196 | 0.3180 | 0.3209 | 0.3173 | 0.3187 | 0.3180 |
可以估计出针与直线相交的概率为
0.318
（精确到0.001），由此估计$π$的近似值为3.14
（精确到0.01）。答案
7.0.318，3.14
解析
【分析】
解题时首先回忆用频率估计概率的知识：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率的估计值，据此可求解第一空。第二空只需将已知的l与d的关系、第一空求得的概率估计值代入题目给出的概率公式，化简计算即可求出π的近似值。
【解析】
1. 估计针与直线相交的概率：
观察表格中的相交频率，随着试验次数不断增加，相交频率逐渐稳定在0.318附近，根据频率估计概率的原理，可估计针与直线相交的概率为0.318。
2. 估计π的近似值：
已知$l=\frac{1}{2}d$，相交概率$P=\frac{2l}{π d}$，将$l=\frac{1}{2}d$和$P≈0.318$代入公式：
$0.318=\frac{2× \frac{1}{2}d}{π d}$
约分化简后可得$0.318=\frac{1}{π}$，解得$π≈\frac{1}{0.318}≈3.14$。
【答案】
0.318，3.14
【知识点】
频率估计概率，概率公式应用，代数式化简
【点评】
本题结合经典的布丰投针试验设计问题，既考查了核心知识点的应用，也让学生体会到数学试验的实用价值，解题关键是掌握频率稳定性定理，同时能正确代入公式进行代数运算。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆用频率估计概率的知识：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率的估计值，据此可求解第一空。第二空只需将已知的l与d的关系、第一空求得的概率估计值代入题目给出的概率公式，化简计算即可求出π的近似值。
【解析】
1. 估计针与直线相交的概率：
观察表格中的相交频率，随着试验次数不断增加，相交频率逐渐稳定在0.318附近，根据频率估计概率的原理，可估计针与直线相交的概率为0.318。
2. 估计π的近似值：
已知$l=\frac{1}{2}d$，相交概率$P=\frac{2l}{π d}$，将$l=\frac{1}{2}d$和$P≈0.318$代入公式：
$0.318=\frac{2× \frac{1}{2}d}{π d}$
约分化简后可得$0.318=\frac{1}{π}$，解得$π≈\frac{1}{0.318}≈3.14$。
【答案】
0.318，3.14
【知识点】
频率估计概率，概率公式应用，代数式化简
【点评】
本题结合经典的布丰投针试验设计问题，既考查了核心知识点的应用，也让学生体会到数学试验的实用价值，解题关键是掌握频率稳定性定理，同时能正确代入公式进行代数运算。
【难度系数】
0.7
