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1 将方程$2x^2 + 8x + 3 = 0$变形为$(x+h)^2 = k$的形式，正确的是 （
A.$(x+2)^2 = 1$
B.$(x+2)^2 = \frac{11}{2}$
C.$(x-2)^2 = \frac{5}{2}$
D.$(x+2)^2 = \frac{5}{2}$
D
）A.$(x+2)^2 = 1$
B.$(x+2)^2 = \frac{11}{2}$
C.$(x-2)^2 = \frac{5}{2}$
D.$(x+2)^2 = \frac{5}{2}$
答案
D
解析
【分析】
要将给定的一元二次方程变形为$(x+h)^2=k$的形式，需使用配方法求解。解题思路为：首先把二次项系数化为1，方便后续凑完全平方式；接着将常数项移到等号右侧；再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边凑成完全平方的形式；最后计算右侧的常数，对应选项即可选出正确答案。
【解析】
已知原方程为$2x^2 + 8x + 3 = 0$，按配方法步骤计算：
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以2，得$x^2 + 4x + \frac{3}{2} = 0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 + 4x = -\frac{3}{2}$；
3. 配方：一次项系数为4，其一半的平方为$2^2=4$，等式两边同时加4，得$x^2 + 4x + 4 = -\frac{3}{2} + 4$；
4. 整理：左边写为完全平方形式，右侧计算得$\frac{5}{2}$，即$(x+2)^2 = \frac{5}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，注意当二次项系数不为1时，要先将二次项系数化为1再配方，且配方时需给等式两边同时加同一个数，保证等式成立。
【难度系数】
0.8
要将给定的一元二次方程变形为$(x+h)^2=k$的形式，需使用配方法求解。解题思路为：首先把二次项系数化为1，方便后续凑完全平方式；接着将常数项移到等号右侧；再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边凑成完全平方的形式；最后计算右侧的常数，对应选项即可选出正确答案。
【解析】
已知原方程为$2x^2 + 8x + 3 = 0$，按配方法步骤计算：
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以2，得$x^2 + 4x + \frac{3}{2} = 0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 + 4x = -\frac{3}{2}$；
3. 配方：一次项系数为4，其一半的平方为$2^2=4$，等式两边同时加4，得$x^2 + 4x + 4 = -\frac{3}{2} + 4$；
4. 整理：左边写为完全平方形式，右侧计算得$\frac{5}{2}$，即$(x+2)^2 = \frac{5}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，注意当二次项系数不为1时，要先将二次项系数化为1再配方，且配方时需给等式两边同时加同一个数，保证等式成立。
【难度系数】
0.8
2 对于任意实数$x$，用配方法可以说明代数式$4x^2 -24x +36$的值一定是 （
A.正数
B.负数
C.非负数
D.非正数
C
）A.正数
B.负数
C.非负数
D.非正数
答案
C
解析
【分析】
要判断代数式的取值范围，题目指定用配方法求解，解题思路如下：第一步先提取二次项系数，将二次项和一次项的组合转化为二次项系数为1的形式；第二步给一次项和二次项的组合加上一次项系数一半的平方，凑出完全平方式，同时减去相同的数保证原式值不变；第三步整理式子，结合完全平方的非负性判断整个代数式的符号即可。
【解析】
对代数式$4x^2 -24x +36$用配方法变形：
1. 提取二次项系数4，得：
$4x^2 -24x +36 = 4(x^2 - 6x) + 36$
2. 括号内凑完全平方（一次项系数-6的一半是-3，平方为9），得：
$=4[(x^2 -6x +9) -9] + 36$
3. 展开并整理：
$=4(x-3)^2 - 36 + 36$
$=4(x-3)^2$
∵ 对任意实数$x$，都有$(x-3)^2 ≥ 0$，
∴ $4(x-3)^2 ≥ 0$，即代数式的值一定是非负数。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
配方法；完全平方式的非负性
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题时需注意二次项系数不为1时，要先提取二次项系数再凑完全平方，凑平方的过程中要保证原式的值不发生改变，结合完全平方的非负性即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断代数式的取值范围，题目指定用配方法求解，解题思路如下：第一步先提取二次项系数，将二次项和一次项的组合转化为二次项系数为1的形式；第二步给一次项和二次项的组合加上一次项系数一半的平方，凑出完全平方式，同时减去相同的数保证原式值不变；第三步整理式子，结合完全平方的非负性判断整个代数式的符号即可。
【解析】
对代数式$4x^2 -24x +36$用配方法变形：
1. 提取二次项系数4，得：
$4x^2 -24x +36 = 4(x^2 - 6x) + 36$
2. 括号内凑完全平方（一次项系数-6的一半是-3，平方为9），得：
$=4[(x^2 -6x +9) -9] + 36$
3. 展开并整理：
$=4(x-3)^2 - 36 + 36$
$=4(x-3)^2$
∵ 对任意实数$x$，都有$(x-3)^2 ≥ 0$，
∴ $4(x-3)^2 ≥ 0$，即代数式的值一定是非负数。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
配方法；完全平方式的非负性
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题时需注意二次项系数不为1时，要先提取二次项系数再凑完全平方，凑平方的过程中要保证原式的值不发生改变，结合完全平方的非负性即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
3 (1) $3x^2 + 2x + \_\_\_\_\_\_ = 3(x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2) $\frac{1}{3}x^2 - 4x + \_\_\_\_\_\_ = \frac{1}{3}(x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
(2) $\frac{1}{3}x^2 - 4x + \_\_\_\_\_\_ = \frac{1}{3}(x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
答案
(1) $\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$ (2) 12，6
解析
【分析】
本题考查二次项系数不为1时的配方技巧，解题思路分为两步：①先将等式左边前两项提取二次项系数，将括号内的二次项系数化为1；②根据完全平方公式“$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$”，括号内的常数项为一次项系数一半的平方，再用提取的二次项系数乘以该常数，即可得到原式需要补充的常数项，括号内的一次项后面的常数就是一次项系数的一半。
【解析】
(1) 先对二次项、一次项提取系数3：
$3x^2+2x = 3(x^2 + \frac{2}{3}x)$
括号内一次项系数为$\frac{2}{3}$，其一半为$\frac{1}{3}$，平方为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，因此括号内需加$\frac{1}{9}$凑完全平方，对应原式需加的常数为$3×\frac{1}{9}=\frac{1}{3}$，此时式子可整理为$3(x+\frac{1}{3})^2$。
(2) 先对二次项、一次项提取系数$\frac{1}{3}$：
$\frac{1}{3}x^2 -4x = \frac{1}{3}(x^2 -12x)$
括号内一次项系数为$-12$，其一半为$-6$，平方为$(-6)^2=36$，因此括号内需加$36$凑完全平方，对应原式需加的常数为$\frac{1}{3}×36=12$，此时式子可整理为$\frac{1}{3}(x-6)^2$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$；(2) $12$，$6$
【知识点】
配方法；完全平方公式；整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础题型，核心易错点是容易忽略提取二次项系数后，括号内增加的常数项需要乘以提取的系数，才是原式需要补充的常数，熟练掌握该技巧是后续用配方法解一元二次方程、求二次函数顶点式的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查二次项系数不为1时的配方技巧，解题思路分为两步：①先将等式左边前两项提取二次项系数，将括号内的二次项系数化为1；②根据完全平方公式“$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$”，括号内的常数项为一次项系数一半的平方，再用提取的二次项系数乘以该常数，即可得到原式需要补充的常数项，括号内的一次项后面的常数就是一次项系数的一半。
【解析】
(1) 先对二次项、一次项提取系数3：
$3x^2+2x = 3(x^2 + \frac{2}{3}x)$
括号内一次项系数为$\frac{2}{3}$，其一半为$\frac{1}{3}$，平方为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，因此括号内需加$\frac{1}{9}$凑完全平方，对应原式需加的常数为$3×\frac{1}{9}=\frac{1}{3}$，此时式子可整理为$3(x+\frac{1}{3})^2$。
(2) 先对二次项、一次项提取系数$\frac{1}{3}$：
$\frac{1}{3}x^2 -4x = \frac{1}{3}(x^2 -12x)$
括号内一次项系数为$-12$，其一半为$-6$，平方为$(-6)^2=36$，因此括号内需加$36$凑完全平方，对应原式需加的常数为$\frac{1}{3}×36=12$，此时式子可整理为$\frac{1}{3}(x-6)^2$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$；(2) $12$，$6$
【知识点】
配方法；完全平方公式；整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础题型，核心易错点是容易忽略提取二次项系数后，括号内增加的常数项需要乘以提取的系数，才是原式需要补充的常数，熟练掌握该技巧是后续用配方法解一元二次方程、求二次函数顶点式的基础。
【难度系数】
0.8
4 用配方法解一元二次方程 $5x^2 -20x +3=0$ 时，将它化为 $(x+h)^2 =k$ 的形式，则 $h +k$ 的值为
$\frac{7}{5}$
。答案
$\frac{7}{5}$
解析
【分析】
本题考查用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，解题思路如下：第一步，先通过移项将常数项移到方程右侧；第二步，方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；第三步，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧化为完全平方式，右侧合并为常数，得到$(x+h)^2=k$的形式；第四步，对应得到$h$、$k$的值，代入计算$h+k$即可。
【解析】
解：对原方程$5x^2 -20x +3=0$进行配方：
1. 移项，得：$5x^2 -20x = -3$
2. 二次项系数化为1，两边同时除以5，得：$x^2 -4x = -\frac{3}{5}$
3. 配方，两边同时加上一次项系数$-4$一半的平方$(-2)^2=4$，得：
$x^2 -4x +4 = -\frac{3}{5} + 4$
左侧写成完全平方式，右侧合并常数项，得：
$(x - 2)^2 = \frac{17}{5}$
对比$(x+h)^2 =k$的形式，可得$h=-2$，$k=\frac{17}{5}$
则$h +k = -2 + \frac{17}{5} = \frac{-10 +17}{5} = \frac{7}{5}$
【答案】
$\frac{7}{5}$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 等式的性质
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，解题的关键是严格遵循配方法的步骤操作，尤其注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时等式两边需同时加同一个数，避免漏加或符号错误。
【难度系数】
0.7
本题考查用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，解题思路如下：第一步，先通过移项将常数项移到方程右侧；第二步，方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；第三步，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧化为完全平方式，右侧合并为常数，得到$(x+h)^2=k$的形式；第四步，对应得到$h$、$k$的值，代入计算$h+k$即可。
【解析】
解：对原方程$5x^2 -20x +3=0$进行配方：
1. 移项，得：$5x^2 -20x = -3$
2. 二次项系数化为1，两边同时除以5，得：$x^2 -4x = -\frac{3}{5}$
3. 配方，两边同时加上一次项系数$-4$一半的平方$(-2)^2=4$，得：
$x^2 -4x +4 = -\frac{3}{5} + 4$
左侧写成完全平方式，右侧合并常数项，得：
$(x - 2)^2 = \frac{17}{5}$
对比$(x+h)^2 =k$的形式，可得$h=-2$，$k=\frac{17}{5}$
则$h +k = -2 + \frac{17}{5} = \frac{-10 +17}{5} = \frac{7}{5}$
【答案】
$\frac{7}{5}$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 等式的性质
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，解题的关键是严格遵循配方法的步骤操作，尤其注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时等式两边需同时加同一个数，避免漏加或符号错误。
【难度系数】
0.7
5 教材变式题 用配方法解下列方程：
(1)$[2025\mathrm{宿豫期中}]4x^2 -12x -7=0$；
(2)$-3x^2 +6x +2=0$；
(3)$2x^2 +x -2=0$；
(4)$2y^2 -2=3y$。
(1)$[2025\mathrm{宿豫期中}]4x^2 -12x -7=0$；
(2)$-3x^2 +6x +2=0$；
(3)$2x^2 +x -2=0$；
(4)$2y^2 -2=3y$。
答案
(1) $x_1=\frac{7}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
(2) $x_1=\frac{\sqrt{15}}{3}+1,x_2=-\frac{\sqrt{15}}{3}+1$
(3) $x_1=-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4},x_2=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{17}}{4}$
(4) $y_1=2,y_2=-\frac{1}{2}$
(2) $x_1=\frac{\sqrt{15}}{3}+1,x_2=-\frac{\sqrt{15}}{3}+1$
(3) $x_1=-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4},x_2=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{17}}{4}$
(4) $y_1=2,y_2=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，遵循固定解题步骤：①先化二次项系数为1，给方程两边同时除以二次项系数；②移项，将常数项移到等号右侧；③配方，给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程；⑤求解一元一次方程得到原方程的解，所有题目均按此步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 解方程$4x^2 -12x -7=0$
① 二次项系数化为1，两边同除以4：$x^2 - 3x - \frac{7}{4}=0$
② 移项：$x^2 - 3x = \frac{7}{4}$
③ 配方，两边加$(\frac{-3}{2})^2=\frac{9}{4}$：$x^2 -3x + \frac{9}{4} = \frac{7}{4} + \frac{9}{4}$，即$(x-\frac{3}{2})^2=4$
④ 开平方：$x-\frac{3}{2}=\pm2$
⑤ 求解：$x=\frac{3}{2}\pm2$，得两个解。
(2) 解方程$-3x^2 +6x +2=0$
① 二次项系数化为1，两边同除以-3：$x^2 -2x - \frac{2}{3}=0$
② 移项：$x^2 -2x = \frac{2}{3}$
③ 配方，两边加$(\frac{-2}{2})^2=1$：$x^2 -2x +1 = \frac{2}{3} +1$，即$(x-1)^2=\frac{5}{3}$
④ 开平方：$x-1=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}=\pm\frac{\sqrt{15}}{3}$
⑤ 求解：$x=1\pm\frac{\sqrt{15}}{3}$，得两个解。
(3) 解方程$2x^2 +x -2=0$
① 二次项系数化为1，两边同除以2：$x^2 + \frac{1}{2}x -1=0$
② 移项：$x^2 + \frac{1}{2}x =1$
③ 配方，两边加$(\frac{\frac{1}{2}}{2})^2=\frac{1}{16}$：$x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}=1+\frac{1}{16}$，即$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{17}{16}$
④ 开平方：$x+\frac{1}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$
⑤ 求解：$x=-\frac{1}{4}\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$，得两个解。
(4) 解方程$2y^2 -2=3y$
① 整理为标准形式$2y^2 -3y -2=0$，二次项系数化为1，两边同除以2：$y^2 - \frac{3}{2}y -1=0$
② 移项：$y^2 - \frac{3}{2}y =1$
③ 配方，两边加$(\frac{-\frac{3}{2}}{2})^2=\frac{9}{16}$：$y^2 - \frac{3}{2}y + \frac{9}{16}=1+\frac{9}{16}$，即$(y-\frac{3}{4})^2=\frac{25}{16}$
④ 开平方：$y-\frac{3}{4}=\pm\frac{5}{4}$
⑤ 求解：$y=\frac{3}{4}\pm\frac{5}{4}$，得两个解。
【答案】
(1) $x_1=\frac{7}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
(2) $x_1=1+\frac{\sqrt{15}}{3},x_2=1-\frac{\sqrt{15}}{3}$
(3) $x_1=-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4},x_2=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{17}}{4}$
(4) $y_1=2,y_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；平方根运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础练习，核心是牢记配方法的固定操作步骤，需注意二次项系数化为1时的符号变化，配方时等号两边要同时加一次项系数一半的平方，避免漏加或符号错误。
【难度系数】
0.7
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，遵循固定解题步骤：①先化二次项系数为1，给方程两边同时除以二次项系数；②移项，将常数项移到等号右侧；③配方，给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程；⑤求解一元一次方程得到原方程的解，所有题目均按此步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 解方程$4x^2 -12x -7=0$
① 二次项系数化为1，两边同除以4：$x^2 - 3x - \frac{7}{4}=0$
② 移项：$x^2 - 3x = \frac{7}{4}$
③ 配方，两边加$(\frac{-3}{2})^2=\frac{9}{4}$：$x^2 -3x + \frac{9}{4} = \frac{7}{4} + \frac{9}{4}$，即$(x-\frac{3}{2})^2=4$
④ 开平方：$x-\frac{3}{2}=\pm2$
⑤ 求解：$x=\frac{3}{2}\pm2$，得两个解。
(2) 解方程$-3x^2 +6x +2=0$
① 二次项系数化为1，两边同除以-3：$x^2 -2x - \frac{2}{3}=0$
② 移项：$x^2 -2x = \frac{2}{3}$
③ 配方，两边加$(\frac{-2}{2})^2=1$：$x^2 -2x +1 = \frac{2}{3} +1$，即$(x-1)^2=\frac{5}{3}$
④ 开平方：$x-1=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}=\pm\frac{\sqrt{15}}{3}$
⑤ 求解：$x=1\pm\frac{\sqrt{15}}{3}$，得两个解。
(3) 解方程$2x^2 +x -2=0$
① 二次项系数化为1，两边同除以2：$x^2 + \frac{1}{2}x -1=0$
② 移项：$x^2 + \frac{1}{2}x =1$
③ 配方，两边加$(\frac{\frac{1}{2}}{2})^2=\frac{1}{16}$：$x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}=1+\frac{1}{16}$，即$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{17}{16}$
④ 开平方：$x+\frac{1}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$
⑤ 求解：$x=-\frac{1}{4}\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$，得两个解。
(4) 解方程$2y^2 -2=3y$
① 整理为标准形式$2y^2 -3y -2=0$，二次项系数化为1，两边同除以2：$y^2 - \frac{3}{2}y -1=0$
② 移项：$y^2 - \frac{3}{2}y =1$
③ 配方，两边加$(\frac{-\frac{3}{2}}{2})^2=\frac{9}{16}$：$y^2 - \frac{3}{2}y + \frac{9}{16}=1+\frac{9}{16}$，即$(y-\frac{3}{4})^2=\frac{25}{16}$
④ 开平方：$y-\frac{3}{4}=\pm\frac{5}{4}$
⑤ 求解：$y=\frac{3}{4}\pm\frac{5}{4}$，得两个解。
【答案】
(1) $x_1=\frac{7}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
(2) $x_1=1+\frac{\sqrt{15}}{3},x_2=1-\frac{\sqrt{15}}{3}$
(3) $x_1=-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4},x_2=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{17}}{4}$
(4) $y_1=2,y_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；平方根运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础练习，核心是牢记配方法的固定操作步骤，需注意二次项系数化为1时的符号变化，配方时等号两边要同时加一次项系数一半的平方，避免漏加或符号错误。
【难度系数】
0.7
6 若方程$4x^2-(m+2)x+1=0$的左边可以写成一个完全平方式，则实数$m$的值为 （
A.2或－2
B.6或－6
C.2或－6
D.－2或6
C
）A.2或－2
B.6或－6
C.2或－6
D.－2或6
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2$，先对应题干给出的二次三项式找到首项、尾项对应的平方项，再根据中间项存在正负两种情况列等式求解即可，注意不要遗漏中间项为负的情况。
【解析】
解：
∵ 方程左边的二次三项式$4x^2-(m+2)x+1$可以写成完全平方式，
且$4x^2=(2x)^2$，常数项$1=1^2$，
∴ 一次项系数满足$-(m+2)=\pm2×2×1=\pm4$，分两种情况讨论：
① 当$-(m+2)=4$时，解得$m=-6$；
② 当$-(m+2)=-4$时，解得$m=2$。
综上，实数$m$的值为2或-6，故选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方式的特征；配方法的应用
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构规律，易错点是容易忽略中间项的正负两种情况导致漏解，属于配方法相关的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2$，先对应题干给出的二次三项式找到首项、尾项对应的平方项，再根据中间项存在正负两种情况列等式求解即可，注意不要遗漏中间项为负的情况。
【解析】
解：
∵ 方程左边的二次三项式$4x^2-(m+2)x+1$可以写成完全平方式，
且$4x^2=(2x)^2$，常数项$1=1^2$，
∴ 一次项系数满足$-(m+2)=\pm2×2×1=\pm4$，分两种情况讨论：
① 当$-(m+2)=4$时，解得$m=-6$；
② 当$-(m+2)=-4$时，解得$m=2$。
综上，实数$m$的值为2或-6，故选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方式的特征；配方法的应用
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构规律，易错点是容易忽略中间项的正负两种情况导致漏解，属于配方法相关的基础题型。
【难度系数】
0.7
7 不论$x$，$y$为何值，用配方法可说明代数式$x^2 + 4y^2 + 6x - 4y + 11$的值（
A.总不小于1
B.总不小于11
C.可以为任何实数
D.可以为负数
A
）A.总不小于1
B.总不小于11
C.可以为任何实数
D.可以为负数
答案
A
【解析】$x^2 + 4y^2 + 6x - 4y + 11 = (x^2 + 6x + 9) + (4y^2 -4y +1)+1=(x+3)^2+(2y-1)^2+1. \because (x+3)^2\ge0,(2y-1)^2\ge0, \therefore (x+3)^2+(2y-1)^2+1\ge1,即x^2 + 4y^2 + 6x - 4y + 11\ge1.$
【解析】$x^2 + 4y^2 + 6x - 4y + 11 = (x^2 + 6x + 9) + (4y^2 -4y +1)+1=(x+3)^2+(2y-1)^2+1. \because (x+3)^2\ge0,(2y-1)^2\ge0, \therefore (x+3)^2+(2y-1)^2+1\ge1,即x^2 + 4y^2 + 6x - 4y + 11\ge1.$
解析
【分析】
要判断该代数式的取值范围，需先利用配方法将代数式变形。首先将含x的项、含y的项分别分组，再根据完全平方公式的结构特征拆分常数项，把每组分别配成完全平方式，最后结合完全平方的非负性即可确定代数式的最小值，进而判断选项。
【解析】
对代数式分组并配方：
$\begin{aligned}x^2 + 4y^2 + 6x - 4y + 11&=(x^2 + 6x + 9) + (4y^2 -4y +1)+1\\&=(x+3)^2+(2y-1)^2+1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(x+3)^2\ge0$，$(2y-1)^2\ge0$，
因此$(x+3)^2+(2y-1)^2+1\ge0+0+1=1$，
即代数式$x^2 + 4y^2 + 6x - 4y + 11$的值总不小于1。
【答案】
A
【知识点】
配方法的应用，完全平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，正确对代数式进行分组、拆分常数项完成配方，再结合非负性判断代数式的取值范围，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断该代数式的取值范围，需先利用配方法将代数式变形。首先将含x的项、含y的项分别分组，再根据完全平方公式的结构特征拆分常数项，把每组分别配成完全平方式，最后结合完全平方的非负性即可确定代数式的最小值，进而判断选项。
【解析】
对代数式分组并配方：
$\begin{aligned}x^2 + 4y^2 + 6x - 4y + 11&=(x^2 + 6x + 9) + (4y^2 -4y +1)+1\\&=(x+3)^2+(2y-1)^2+1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(x+3)^2\ge0$，$(2y-1)^2\ge0$，
因此$(x+3)^2+(2y-1)^2+1\ge0+0+1=1$，
即代数式$x^2 + 4y^2 + 6x - 4y + 11$的值总不小于1。
【答案】
A
【知识点】
配方法的应用，完全平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，正确对代数式进行分组、拆分常数项完成配方，再结合非负性判断代数式的取值范围，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
