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9 用配方法解下列方程：
(1) $m^2 = 8m + 20$；
(2) $x^2 - 2 = -10x$；
(3) $y^2 + 1 = -2\sqrt{2}y$；
(4) $x^2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}x$。
(1) $m^2 = 8m + 20$；
(2) $x^2 - 2 = -10x$；
(3) $y^2 + 1 = -2\sqrt{2}y$；
(4) $x^2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}x$。
答案
9. (1) $m_1=-2,m_2=10$ (2) $x_1=-5+3\sqrt{3},x_2=-5-3\sqrt{3}$
(3) $y_1=-\sqrt{2}+1,y_2=-\sqrt{2}-1$ (4) $x_1=\frac{\sqrt{17}}{4}+\frac{5}{4},x_2=-\frac{\sqrt{17}}{4}+\frac{5}{4}$
(3) $y_1=-\sqrt{2}+1,y_2=-\sqrt{2}-1$ (4) $x_1=\frac{\sqrt{17}}{4}+\frac{5}{4},x_2=-\frac{\sqrt{17}}{4}+\frac{5}{4}$
解析
【分析】
解本题首先要明确配方法解二次项系数为1的一元二次方程的通用步骤：①移项：将含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，整理为$x^2+bx=c$的形式；②配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，即$(x+\frac{b}{2})^2 = c+\frac{b^2}{4}$；③开平方：若右边的常数是非负数，直接对两边开平方转化为一元一次方程；④求解：解得到的一元一次方程，即可得到原方程的根。按照这个步骤逐题求解即可。
【解析】
(1) 移项，得$m^2 - 8m = 20$，
配方，两边同时加$(\frac{-8}{2})^2=16$，得$m^2 -8m +16 = 20+16$，
即$(m-4)^2 = 36$，
开平方，得$m-4 = ±6$，
解得$m_1=4-6=-2$，$m_2=4+6=10$。
(2) 移项，得$x^2 +10x = 2$，
配方，两边同时加$(\frac{10}{2})^2=25$，得$x^2+10x+25=2+25$，
即$(x+5)^2=27$，
开平方，得$x+5=±3\sqrt{3}$，
解得$x_1=-5+3\sqrt{3}$，$x_2=-5-3\sqrt{3}$。
(3) 移项，得$y^2 + 2\sqrt{2}y = -1$，
配方，两边同时加$(\frac{2\sqrt{2}}{2})^2=2$，得$y^2+2\sqrt{2}y+2=-1+2$，
即$(y+\sqrt{2})^2=1$，
开平方，得$y+\sqrt{2}=±1$，
解得$y_1=-\sqrt{2}+1$，$y_2=-\sqrt{2}-1$。
(4) 移项，得$x^2 - \frac{5}{2}x = -\frac{1}{2}$，
配方，两边同时加$(\frac{-\frac{5}{2}}{2})^2=\frac{25}{16}$，得$x^2-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{25}{16}$，
即$(x-\frac{5}{4})^2=\frac{17}{16}$，
开平方，得$x-\frac{5}{4}=±\frac{\sqrt{17}}{4}$，
解得$x_1=\frac{5}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5}{4}-\frac{\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1) $m_1=-2,m_2=10$；(2) $x_1=-5+3\sqrt{3},x_2=-5-3\sqrt{3}$；(3) $y_1=-\sqrt{2}+1,y_2=-\sqrt{2}-1$；(4) $x_1=\frac{\sqrt{17}}{4}+\frac{5}{4},x_2=-\frac{\sqrt{17}}{4}+\frac{5}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，核心考查配方的操作方法，解题时要注意移项时的符号变化，配方时必须给方程两边同时加一次项系数一半的平方，开平方时不要漏掉负根，涉及根式的结果要注意化简规范。
【难度系数】
0.8
解本题首先要明确配方法解二次项系数为1的一元二次方程的通用步骤：①移项：将含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，整理为$x^2+bx=c$的形式；②配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，即$(x+\frac{b}{2})^2 = c+\frac{b^2}{4}$；③开平方：若右边的常数是非负数，直接对两边开平方转化为一元一次方程；④求解：解得到的一元一次方程，即可得到原方程的根。按照这个步骤逐题求解即可。
【解析】
(1) 移项，得$m^2 - 8m = 20$，
配方，两边同时加$(\frac{-8}{2})^2=16$，得$m^2 -8m +16 = 20+16$，
即$(m-4)^2 = 36$，
开平方，得$m-4 = ±6$，
解得$m_1=4-6=-2$，$m_2=4+6=10$。
(2) 移项，得$x^2 +10x = 2$，
配方，两边同时加$(\frac{10}{2})^2=25$，得$x^2+10x+25=2+25$，
即$(x+5)^2=27$，
开平方，得$x+5=±3\sqrt{3}$，
解得$x_1=-5+3\sqrt{3}$，$x_2=-5-3\sqrt{3}$。
(3) 移项，得$y^2 + 2\sqrt{2}y = -1$，
配方，两边同时加$(\frac{2\sqrt{2}}{2})^2=2$，得$y^2+2\sqrt{2}y+2=-1+2$，
即$(y+\sqrt{2})^2=1$，
开平方，得$y+\sqrt{2}=±1$，
解得$y_1=-\sqrt{2}+1$，$y_2=-\sqrt{2}-1$。
(4) 移项，得$x^2 - \frac{5}{2}x = -\frac{1}{2}$，
配方，两边同时加$(\frac{-\frac{5}{2}}{2})^2=\frac{25}{16}$，得$x^2-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{25}{16}$，
即$(x-\frac{5}{4})^2=\frac{17}{16}$，
开平方，得$x-\frac{5}{4}=±\frac{\sqrt{17}}{4}$，
解得$x_1=\frac{5}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5}{4}-\frac{\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1) $m_1=-2,m_2=10$；(2) $x_1=-5+3\sqrt{3},x_2=-5-3\sqrt{3}$；(3) $y_1=-\sqrt{2}+1,y_2=-\sqrt{2}-1$；(4) $x_1=\frac{\sqrt{17}}{4}+\frac{5}{4},x_2=-\frac{\sqrt{17}}{4}+\frac{5}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，核心考查配方的操作方法，解题时要注意移项时的符号变化，配方时必须给方程两边同时加一次项系数一半的平方，开平方时不要漏掉负根，涉及根式的结果要注意化简规范。
【难度系数】
0.8
10 有$n$个关于$x$的一元二次方程：$x^2+2x-8=0$；$x^2+2×2x-8×2^2=0$；…；$x^2+2nx-8n^2=0$。小静同学解第1个方程$x^2+2x-8=0$的步骤如下：① $x^2+2x=8$；② $x^2+2x+1=8+1$；③ $(x+1)^2=9$；④ $x+1=\pm3$；⑤ $x=1\pm3$；⑥ $x_1=4,x_2=-2$。
（1）小静同学的解法是从步骤
（2）用配方法解第$n$个方程$x^2+2nx-8n^2=0$（用含$n$的式子表示方程的根）。
（1）小静同学的解法是从步骤
⑤
开始出现错误的（填序号）；（2）用配方法解第$n$个方程$x^2+2nx-8n^2=0$（用含$n$的式子表示方程的根）。
答案
10. (1) ⑤ (2) $\because x^2 +2nx -8n^2=0,\therefore x^2 +2nx=8n^2,\therefore x^2 +2nx +n^2=8n^2 +n^2,\therefore (x +n)^2=9n^2,\therefore x +n=\pm 3n,\therefore x=-n\pm 3n,\therefore x_1=-4n,x_2=2n$
解析
【分析】
（1）解决第一问需先回忆配方法解一元二次方程的完整步骤：移项→配方→写成完全平方形式→开平方→移项求根，其中移项时要注意符号变化。逐一审视小静的解题步骤，步骤④得到$x+1=\pm3$，接下来移项应该是将等号左侧的$+1$移到右侧变为$-1$，即$x=-1\pm3$，对比小静的步骤可找出错误步骤。
（2）解决第二问按照配方法的标准步骤操作即可：先将常数项移到等号右侧，再给方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方形式，再开平方、移项即可求出方程的根。
【解析】
（1）观察小静的解题过程：步骤④为$x+1=\pm3$，移项时$+1$移到等号右侧应变号为$-1$，正确结果应为$x=-1\pm3$，小静步骤⑤写为$x=1\pm3$，因此从步骤⑤开始出错。
（2）用配方法解第$n$个方程：
$\because x^2 +2nx -8n^2=0$
$\therefore$ 移项得 $x^2 +2nx=8n^2$
配方，等号两边同时加一次项系数一半的平方$n^2$，得 $x^2 +2nx +n^2=8n^2 +n^2$
整理得 $(x +n)^2=9n^2$
开平方得 $x +n=\pm 3n$
移项得 $x=-n\pm 3n$
$\therefore x_1=-n+3n=2n$，$x_2=-n-3n=-4n$
【答案】
(1) $\boldsymbol{⑤}$
(2) $\boldsymbol{x_1=2n,x_2=-4n}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的应用，第一问针对配方法的易错点（移项变号）设置，第二问考查含参数的一元二次方程配方法求解，熟练掌握配方法的基本步骤，注意计算过程中的符号问题就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问需先回忆配方法解一元二次方程的完整步骤：移项→配方→写成完全平方形式→开平方→移项求根，其中移项时要注意符号变化。逐一审视小静的解题步骤，步骤④得到$x+1=\pm3$，接下来移项应该是将等号左侧的$+1$移到右侧变为$-1$，即$x=-1\pm3$，对比小静的步骤可找出错误步骤。
（2）解决第二问按照配方法的标准步骤操作即可：先将常数项移到等号右侧，再给方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方形式，再开平方、移项即可求出方程的根。
【解析】
（1）观察小静的解题过程：步骤④为$x+1=\pm3$，移项时$+1$移到等号右侧应变号为$-1$，正确结果应为$x=-1\pm3$，小静步骤⑤写为$x=1\pm3$，因此从步骤⑤开始出错。
（2）用配方法解第$n$个方程：
$\because x^2 +2nx -8n^2=0$
$\therefore$ 移项得 $x^2 +2nx=8n^2$
配方，等号两边同时加一次项系数一半的平方$n^2$，得 $x^2 +2nx +n^2=8n^2 +n^2$
整理得 $(x +n)^2=9n^2$
开平方得 $x +n=\pm 3n$
移项得 $x=-n\pm 3n$
$\therefore x_1=-n+3n=2n$，$x_2=-n-3n=-4n$
【答案】
(1) $\boldsymbol{⑤}$
(2) $\boldsymbol{x_1=2n,x_2=-4n}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的应用，第一问针对配方法的易错点（移项变号）设置，第二问考查含参数的一元二次方程配方法求解，熟练掌握配方法的基本步骤，注意计算过程中的符号问题就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
11 先阅读下面的材料，再解决问题.
例题:若$m^2 +6mn +10n^2 -8n +16=0$,求$m$和$n$的值.
解:$\because m^2 +6mn +10n^2 -8n +16=0,\therefore m^2 +6mn +9n^2 +n^2 -8n +16=0,\therefore (m+3n)^2 +(n-4)^2=0,\therefore m+3n=0,n-4=0,\therefore m=-12,n=4.$
(1)若$x^2 +2y^2 -2xy -4y +4=0$,求$x^y$的值;
(2)已知整数$a,b,c$是不等边三角形$ABC$的三边长,满足$a^2 +b^2=8a +10b -41$,且$c$是$△ ABC$中最短边的长,求$c$的值.
例题:若$m^2 +6mn +10n^2 -8n +16=0$,求$m$和$n$的值.
解:$\because m^2 +6mn +10n^2 -8n +16=0,\therefore m^2 +6mn +9n^2 +n^2 -8n +16=0,\therefore (m+3n)^2 +(n-4)^2=0,\therefore m+3n=0,n-4=0,\therefore m=-12,n=4.$
(1)若$x^2 +2y^2 -2xy -4y +4=0$,求$x^y$的值;
(2)已知整数$a,b,c$是不等边三角形$ABC$的三边长,满足$a^2 +b^2=8a +10b -41$,且$c$是$△ ABC$中最短边的长,求$c$的值.
答案
11. (1) 由条件可得 $x^2 + y^2 -2xy + y^2 -4y +4=0,\therefore (x - y)^2 +(y - 2)^2=0,\therefore x - y=0,y - 2=0,\therefore x=y=2,\therefore x^y=2^2=4$
(2) 由条件可得 $a^2 -8a +16 +b^2 -10b +25=0,\therefore (a - 4)^2 +(b -5)^2=0,\therefore a -4=0,b -5=0,\therefore a=4,b=5,\therefore 5-4＜c＜5+4$,即$1＜c＜9. \because$ 整数 $a,b,c$ 是不等边三角形 $ABC$ 的三边长,$c$ 是$△ ABC$中最短边的长,$\therefore c=2$ 或 $c=3$,$\therefore c$ 的值是 2 或 3
(2) 由条件可得 $a^2 -8a +16 +b^2 -10b +25=0,\therefore (a - 4)^2 +(b -5)^2=0,\therefore a -4=0,b -5=0,\therefore a=4,b=5,\therefore 5-4＜c＜5+4$,即$1＜c＜9. \because$ 整数 $a,b,c$ 是不等边三角形 $ABC$ 的三边长,$c$ 是$△ ABC$中最短边的长,$\therefore c=2$ 或 $c=3$,$\therefore c$ 的值是 2 或 3
解析
【分析】
本题属于材料阅读类问题，解题核心是运用配方法将等式转化为几个非负数和为0的形式，再结合相关性质求解。①求解第一问时，先将2y²拆分为两个y²，分别和x²-2xy、-4y+4分组，配成完全平方式，利用非负数的性质求出x、y的值，再代入计算x^y即可；②求解第二问时，先将等式右边的项移到左边，拆分项分别配成关于a、b的完全平方式，求出a、b的值，再结合三角形三边关系、“c是最短边”“不等边三角形”“整数”这几个限定条件，筛选得到c的取值。
【解析】
(1) 对已知等式变形：
$\because x^2 +2y^2 -2xy -4y +4=0$
将$2y^2$拆分为$y^2+y^2$，分组得：
$x^2 - 2xy + y^2 + y^2 - 4y + 4 = 0$
由完全平方公式得：
$(x - y)^2 + (y - 2)^2 = 0$
∵平方具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0
$\therefore x - y = 0, y - 2 = 0$
解得$x=y=2$
$\therefore x^y = 2^2 = 4$
(2) 对已知等式移项变形：
$\because a^2 + b^2 = 8a + 10b - 41$
移项得：$a^2 - 8a + b^2 - 10b + 41 = 0$
将41拆分为16和25，分组配完全平方：
$a^2 - 8a + 16 + b^2 - 10b + 25 = 0$
即$(a - 4)^2 + (b - 5)^2 = 0$
由非负数的性质得：
$\therefore a - 4 = 0, b - 5 = 0$
解得$a=4, b=5$
根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和
$\therefore 5 - 4 ＜ c ＜ 5 + 4$，即$1 ＜ c ＜ 9$
又
∵a、b、c是不等边三角形的三边长，c是最短边，且c为整数
$\therefore c ＜ 4$，且$c ≠ 4, c ≠ 5$，c为正整数
∴c的取值为2或3
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{2}$或$\boxed{3}$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题重在考查知识迁移应用能力，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构，准确拆项配出完全平方式，第二问求解时要注意梳理全所有限定条件，避免漏条件导致多解或错解。
【难度系数】
0.7
本题属于材料阅读类问题，解题核心是运用配方法将等式转化为几个非负数和为0的形式，再结合相关性质求解。①求解第一问时，先将2y²拆分为两个y²，分别和x²-2xy、-4y+4分组，配成完全平方式，利用非负数的性质求出x、y的值，再代入计算x^y即可；②求解第二问时，先将等式右边的项移到左边，拆分项分别配成关于a、b的完全平方式，求出a、b的值，再结合三角形三边关系、“c是最短边”“不等边三角形”“整数”这几个限定条件，筛选得到c的取值。
【解析】
(1) 对已知等式变形：
$\because x^2 +2y^2 -2xy -4y +4=0$
将$2y^2$拆分为$y^2+y^2$，分组得：
$x^2 - 2xy + y^2 + y^2 - 4y + 4 = 0$
由完全平方公式得：
$(x - y)^2 + (y - 2)^2 = 0$
∵平方具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0
$\therefore x - y = 0, y - 2 = 0$
解得$x=y=2$
$\therefore x^y = 2^2 = 4$
(2) 对已知等式移项变形：
$\because a^2 + b^2 = 8a + 10b - 41$
移项得：$a^2 - 8a + b^2 - 10b + 41 = 0$
将41拆分为16和25，分组配完全平方：
$a^2 - 8a + 16 + b^2 - 10b + 25 = 0$
即$(a - 4)^2 + (b - 5)^2 = 0$
由非负数的性质得：
$\therefore a - 4 = 0, b - 5 = 0$
解得$a=4, b=5$
根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和
$\therefore 5 - 4 ＜ c ＜ 5 + 4$，即$1 ＜ c ＜ 9$
又
∵a、b、c是不等边三角形的三边长，c是最短边，且c为整数
$\therefore c ＜ 4$，且$c ≠ 4, c ≠ 5$，c为正整数
∴c的取值为2或3
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{2}$或$\boxed{3}$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题重在考查知识迁移应用能力，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构，准确拆项配出完全平方式，第二问求解时要注意梳理全所有限定条件，避免漏条件导致多解或错解。
【难度系数】
0.7
