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1.一个正比例函数的图象经过点$(2,-1)$，则它的函数表达式为 （
A.$y=-2x$
B.$y=2x$
C.$y=-\frac{1}{2}x$
D.$y=\frac{1}{2}x$
C
）A.$y=-2x$
B.$y=2x$
C.$y=-\frac{1}{2}x$
D.$y=\frac{1}{2}x$
答案
1.C
解析
【分析】
要确定正比例函数的表达式，首先回忆正比例函数的一般形式为$y = kx$（$k$为常数，且$k ≠ 0$），只需要求出常数$k$的值即可。已知函数图象经过点$(2,-1)$，说明该点的坐标满足函数表达式，因此可以用待定系数法，将点的横、纵坐标代入一般式，解出$k$的值就能得到对应的函数表达式，再匹配选项即可。
【解析】
设该正比例函数的表达式为$y = kx$（$k ≠ 0$），
因为函数图象经过点$(2,-1)$，将$x=2$，$y=-1$代入表达式得：
$-1 = 2k$，
解得$k = -\frac{1}{2}$，
所以该正比例函数的表达式为$y = -\frac{1}{2}x$。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的定义；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是正比例函数的基础题型，核心考查待定系数法的应用，熟练掌握正比例函数的一般形式是解题的前提，这类题型是函数部分的入门基础考点，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
要确定正比例函数的表达式，首先回忆正比例函数的一般形式为$y = kx$（$k$为常数，且$k ≠ 0$），只需要求出常数$k$的值即可。已知函数图象经过点$(2,-1)$，说明该点的坐标满足函数表达式，因此可以用待定系数法，将点的横、纵坐标代入一般式，解出$k$的值就能得到对应的函数表达式，再匹配选项即可。
【解析】
设该正比例函数的表达式为$y = kx$（$k ≠ 0$），
因为函数图象经过点$(2,-1)$，将$x=2$，$y=-1$代入表达式得：
$-1 = 2k$，
解得$k = -\frac{1}{2}$，
所以该正比例函数的表达式为$y = -\frac{1}{2}x$。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的定义；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是正比例函数的基础题型，核心考查待定系数法的应用，熟练掌握正比例函数的一般形式是解题的前提，这类题型是函数部分的入门基础考点，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
2. 在平面直角坐标系中，正比例函数$y=\frac{4}{5}x$的图象大致是（
A
）答案
2.A
解析
【分析】
要判断正比例函数的图象，首先回忆正比例函数的基本性质：正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象是过原点$(0,0)$的直线，且当$k＞0$时，图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，图象经过第二、四象限。解题时先根据“过原点”排除不符合的选项，再根据$k$的符号判断经过的象限，即可选出正确答案。
【解析】
解：首先，正比例函数的图象必过坐标原点$(0,0)$：
观察选项B、C，图象与$y$轴的交点为$(0,1)$，不经过原点，不符合正比例函数的图象特征，排除B、C；
已知该正比例函数为$y=\frac{4}{5}x$，其中$k=\frac{4}{5}＞0$，因此图象经过第一、三象限：
选项D的图象经过第二、四象限，不符合要求，排除D；
只有选项A的图象过原点且经过第一、三象限，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象特征；正比例函数图象与系数的关系
【点评】
本题考查正比例函数的图象性质，是基础类题目，熟练掌握正比例函数图象过原点、$k$的正负对应图象经过的象限这两个核心特征，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
要判断正比例函数的图象，首先回忆正比例函数的基本性质：正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象是过原点$(0,0)$的直线，且当$k＞0$时，图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，图象经过第二、四象限。解题时先根据“过原点”排除不符合的选项，再根据$k$的符号判断经过的象限，即可选出正确答案。
【解析】
解：首先，正比例函数的图象必过坐标原点$(0,0)$：
观察选项B、C，图象与$y$轴的交点为$(0,1)$，不经过原点，不符合正比例函数的图象特征，排除B、C；
已知该正比例函数为$y=\frac{4}{5}x$，其中$k=\frac{4}{5}＞0$，因此图象经过第一、三象限：
选项D的图象经过第二、四象限，不符合要求，排除D；
只有选项A的图象过原点且经过第一、三象限，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象特征；正比例函数图象与系数的关系
【点评】
本题考查正比例函数的图象性质，是基础类题目，熟练掌握正比例函数图象过原点、$k$的正负对应图象经过的象限这两个核心特征，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
3. 正比例函数 $ y = -5x $ 的图象经过第
二、四
象限。答案
3.二、四
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆正比例函数$y=kx(k\ne 0)$的图象性质：它的图象是过原点的直线，$k$的符号直接决定图象经过的象限。解题时先确定题中函数的$k$值，判断$k$的正负，再对应性质就能得出图象经过的象限。
【解析】
解：正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k\ne 0$），
在函数$y=-5x$中，$k=-5＜0$，
根据正比例函数的图象性质：当$k＜0$时，函数图象经过第二、四象限，且过原点，
因此$y=-5x$的图象经过第二、四象限。
【答案】
二、四
【知识点】
正比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查正比例函数图象性质的直接应用，牢记$k$的正负与图象经过象限的对应规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先回忆正比例函数$y=kx(k\ne 0)$的图象性质：它的图象是过原点的直线，$k$的符号直接决定图象经过的象限。解题时先确定题中函数的$k$值，判断$k$的正负，再对应性质就能得出图象经过的象限。
【解析】
解：正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k\ne 0$），
在函数$y=-5x$中，$k=-5＜0$，
根据正比例函数的图象性质：当$k＜0$时，函数图象经过第二、四象限，且过原点，
因此$y=-5x$的图象经过第二、四象限。
【答案】
二、四
【知识点】
正比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查正比例函数图象性质的直接应用，牢记$k$的正负与图象经过象限的对应规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4.已知正比例函数$y=kx(k≠0)$，点$(2,-3)$在这个函数图象上，则$y$随$x$的增大而
（填“增大”或“减小”）
减小
。（填“增大”或“减小”）
答案
4.减小
解析
【分析】
解题时首先明确：若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式。因此第一步先将已知点的横、纵坐标代入正比例函数解析式，求出比例系数k的取值；再结合正比例函数的增减性规律：k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小，根据k的正负即可得到结论。
【解析】
将点$(2,-3)$代入正比例函数$y=kx(k≠0)$中，可得：
$-3=2k$
解得$k=-\frac{3}{2}$
$\because k=-\frac{3}{2}＜0$
$\therefore$根据正比例函数的性质，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
减小
【知识点】
1. 正比例函数图象上点的坐标特征
2. 正比例函数的增减性
【点评】
本题是正比例函数的基础题，核心考查对正比例函数性质的应用，只需先求出k值再判断增减性即可得分。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确：若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式。因此第一步先将已知点的横、纵坐标代入正比例函数解析式，求出比例系数k的取值；再结合正比例函数的增减性规律：k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小，根据k的正负即可得到结论。
【解析】
将点$(2,-3)$代入正比例函数$y=kx(k≠0)$中，可得：
$-3=2k$
解得$k=-\frac{3}{2}$
$\because k=-\frac{3}{2}＜0$
$\therefore$根据正比例函数的性质，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
减小
【知识点】
1. 正比例函数图象上点的坐标特征
2. 正比例函数的增减性
【点评】
本题是正比例函数的基础题，核心考查对正比例函数性质的应用，只需先求出k值再判断增减性即可得分。
【难度系数】
0.85
5.已知正比例函数$y=kx$.
(1)若函数图象经过第二、四象限,求$k$的取值范围;
(2)若点$(1,-2)$在它的图象上,求此正比例函数的表达式.
(1)若函数图象经过第二、四象限,求$k$的取值范围;
(2)若点$(1,-2)$在它的图象上,求此正比例函数的表达式.
答案
解:(1)
∵函数图象经过第二、四象限,
∴k＜0.
(2)
∵点(1,-2)在它的图象上,
∴-2=k,即k=-2,
∴正比例函数的表达式为y=-2x.
∵函数图象经过第二、四象限,
∴k＜0.
(2)
∵点(1,-2)在它的图象上,
∴-2=k,即k=-2,
∴正比例函数的表达式为y=-2x.
解析
【分析】
（1）解题时先回忆正比例函数的图象与系数k的关系：正比例函数y=kx的图象，当k＞0时经过第一、三象限，当k＜0时经过第二、四象限，结合题目给出的图象过第二、四象限的条件，即可直接得出k的取值范围。
（2）根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将已知点的横、纵坐标代入y=kx中，计算得出k的值，即可确定正比例函数的表达式。
【解析】
(1)
∵函数图象经过第二、四象限，
∴k＜0。
(2)
∵点(1,-2)在它的图象上，
∴将x=1，y=-2代入y=kx，得-2=k×1，即k=-2，
∴正比例函数的表达式为y=-2x。
【答案】
(1)k＜0；(2)y=-2x
【知识点】
正比例函数的图象与性质；函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题是正比例函数的基础题型，重点考查对基础性质的识记和简单应用，掌握核心性质和点与解析式的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
（1）解题时先回忆正比例函数的图象与系数k的关系：正比例函数y=kx的图象，当k＞0时经过第一、三象限，当k＜0时经过第二、四象限，结合题目给出的图象过第二、四象限的条件，即可直接得出k的取值范围。
（2）根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将已知点的横、纵坐标代入y=kx中，计算得出k的值，即可确定正比例函数的表达式。
【解析】
(1)
∵函数图象经过第二、四象限，
∴k＜0。
(2)
∵点(1,-2)在它的图象上，
∴将x=1，y=-2代入y=kx，得-2=k×1，即k=-2，
∴正比例函数的表达式为y=-2x。
【答案】
(1)k＜0；(2)y=-2x
【知识点】
正比例函数的图象与性质；函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题是正比例函数的基础题型，重点考查对基础性质的识记和简单应用，掌握核心性质和点与解析式的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
6.关于函数$y=-\frac{1}{2}x$，有下列说法：①函数图象经过点$(0,0)$；②函数图象经过点$(-1,\frac{1}{2})$；③函数图象经过第二、四象限；④$y$随$x$的增大而增大。其中，正确的说法有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
6.C
解析
【分析】
本题考查正比例函数的图象与性质，解题可分两步进行：一是通过代入法验证点是否在函数图象上，将点的横坐标代入函数解析式，若计算得到的y值与点的纵坐标相等，则点在函数图象上，对应说法正确；二是根据正比例函数$y=kx$中比例系数$k$的符号，判断函数图象经过的象限以及增减性：$k＞0$时图象过一、三象限，$y$随$x$增大而增大；$k＜0$时图象过二、四象限，$y$随$x$增大而减小，据此逐个判断四个说法即可。
【解析】
我们逐个判断4个说法的正误：
① 把$x=0$代入$y=-\frac{1}{2}x$，得$y=-\frac{1}{2}×0=0$，因此函数图象经过点$(0,0)$，①正确；
② 把$x=-1$代入$y=-\frac{1}{2}x$，得$y=-\frac{1}{2}×(-1)=\frac{1}{2}$，因此函数图象经过点$(-1,\frac{1}{2})$，②正确；
③ 该函数是正比例函数，比例系数$k=-\frac{1}{2}＜0$，因此函数图象经过第二、四象限，③正确；
④ 由$k=-\frac{1}{2}＜0$可知，$y$随$x$的增大而减小，因此“$y$随$x$的增大而增大”的说法错误，④错误。
综上，正确的说法有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的图象与性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正比例函数的基本性质，熟练掌握比例系数$k$和函数图象位置、增减性的对应关系，会用代入法验证点是否在函数图象上，即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题考查正比例函数的图象与性质，解题可分两步进行：一是通过代入法验证点是否在函数图象上，将点的横坐标代入函数解析式，若计算得到的y值与点的纵坐标相等，则点在函数图象上，对应说法正确；二是根据正比例函数$y=kx$中比例系数$k$的符号，判断函数图象经过的象限以及增减性：$k＞0$时图象过一、三象限，$y$随$x$增大而增大；$k＜0$时图象过二、四象限，$y$随$x$增大而减小，据此逐个判断四个说法即可。
【解析】
我们逐个判断4个说法的正误：
① 把$x=0$代入$y=-\frac{1}{2}x$，得$y=-\frac{1}{2}×0=0$，因此函数图象经过点$(0,0)$，①正确；
② 把$x=-1$代入$y=-\frac{1}{2}x$，得$y=-\frac{1}{2}×(-1)=\frac{1}{2}$，因此函数图象经过点$(-1,\frac{1}{2})$，②正确；
③ 该函数是正比例函数，比例系数$k=-\frac{1}{2}＜0$，因此函数图象经过第二、四象限，③正确；
④ 由$k=-\frac{1}{2}＜0$可知，$y$随$x$的增大而减小，因此“$y$随$x$的增大而增大”的说法错误，④错误。
综上，正确的说法有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的图象与性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正比例函数的基本性质，熟练掌握比例系数$k$和函数图象位置、增减性的对应关系，会用代入法验证点是否在函数图象上，即可快速解题。
【难度系数】
0.7
7.若点$P(a,b)$在第二象限,则正比例函数$y=(a-b)x$的图象经过 （
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、四象限
D.第二、三象限
B
）A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、四象限
D.第二、三象限
答案
7.B
解析
【分析】
解题时按照以下思路推导：第一步，根据第二象限内点的坐标符号特征，确定a、b的正负性；第二步，结合有理数减法的运算规则，判断正比例函数的比例系数$k=a-b$的正负；第三步，根据正比例函数的图象性质，由k的正负确定函数图象经过的象限，即可选出正确答案。
【解析】
解：
∵点$P(a,b)$在第二象限，
∴第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，即$a＜0$，$b＞0$，
∴$a-b＜0$（负数减正数的结果为负数），
对于正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象性质：当$k＞0$时，图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，图象经过第二、四象限。
本题中比例系数$k=a-b＜0$，因此该正比例函数的图象经过第二、四象限。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
象限内点的坐标特征、正比例函数的图象与性质、有理数的减法法则
【点评】
本题属于基础题型，综合考查了平面直角坐标系和正比例函数的基础知识点，解题的核心是准确判断正比例函数比例系数的正负，熟练掌握相关基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时按照以下思路推导：第一步，根据第二象限内点的坐标符号特征，确定a、b的正负性；第二步，结合有理数减法的运算规则，判断正比例函数的比例系数$k=a-b$的正负；第三步，根据正比例函数的图象性质，由k的正负确定函数图象经过的象限，即可选出正确答案。
【解析】
解：
∵点$P(a,b)$在第二象限，
∴第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，即$a＜0$，$b＞0$，
∴$a-b＜0$（负数减正数的结果为负数），
对于正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象性质：当$k＞0$时，图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，图象经过第二、四象限。
本题中比例系数$k=a-b＜0$，因此该正比例函数的图象经过第二、四象限。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
象限内点的坐标特征、正比例函数的图象与性质、有理数的减法法则
【点评】
本题属于基础题型，综合考查了平面直角坐标系和正比例函数的基础知识点，解题的核心是准确判断正比例函数比例系数的正负，熟练掌握相关基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
8.如果一个正比例函数$y=kx$的图象经过不同象限的两点$(m,1),(2,n)$，那么一定有（
A.$m＞0,n＞0$
B.$m＜0,n＜0$
C.$m＞0,n＜0$
D.$m＜0,n＞0$
B
）A.$m＞0,n＞0$
B.$m＜0,n＜0$
C.$m＞0,n＜0$
D.$m＜0,n＞0$
答案
8.B
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例函数的图像性质：正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图像是过原点的直线，仅能同时经过第一、三象限（$k＞0$）或第二、四象限（$k＜0$）。已知两点在不同象限，说明两点分别位于直线经过的两个象限，我们可以先通过分类讨论$k$的正负，结合两点已知的坐标符号排除不符合题意的情况，最终推导$m$、$n$的符号。
【解析】
1. 分析$k＞0$的情况：
若$k＞0$，正比例函数图像过第一、三象限，此时函数上所有点的横纵坐标符号相同（同正或同负）。
点$(m,1)$的纵坐标为$1＞0$，可得$m＞0$，该点在第一象限；
点$(2,n)$的横坐标为$2＞0$，可得$n＞0$，该点也在第一象限，两点同象限，不符合“不同象限”的要求，故$k＞0$不成立。
2. 分析$k＜0$的情况：
若$k＜0$，正比例函数图像过第二、四象限，此时函数上所有点的横纵坐标符号相反。
点$(m,1)$的纵坐标为$1＞0$，可得横坐标$m＜0$，该点在第二象限；
点$(2,n)$的横坐标为$2＞0$，可得纵坐标$n＜0$，该点在第四象限，两点在不同象限，符合题意。
因此$m＜0$，$n＜0$。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象与性质；点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用题型，解题核心是先判断比例系数$k$的正负，再结合象限内点的坐标符号规律推导未知坐标的符号，熟练掌握正比例函数的图像特点是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正比例函数的图像性质：正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图像是过原点的直线，仅能同时经过第一、三象限（$k＞0$）或第二、四象限（$k＜0$）。已知两点在不同象限，说明两点分别位于直线经过的两个象限，我们可以先通过分类讨论$k$的正负，结合两点已知的坐标符号排除不符合题意的情况，最终推导$m$、$n$的符号。
【解析】
1. 分析$k＞0$的情况：
若$k＞0$，正比例函数图像过第一、三象限，此时函数上所有点的横纵坐标符号相同（同正或同负）。
点$(m,1)$的纵坐标为$1＞0$，可得$m＞0$，该点在第一象限；
点$(2,n)$的横坐标为$2＞0$，可得$n＞0$，该点也在第一象限，两点同象限，不符合“不同象限”的要求，故$k＞0$不成立。
2. 分析$k＜0$的情况：
若$k＜0$，正比例函数图像过第二、四象限，此时函数上所有点的横纵坐标符号相反。
点$(m,1)$的纵坐标为$1＞0$，可得横坐标$m＜0$，该点在第二象限；
点$(2,n)$的横坐标为$2＞0$，可得纵坐标$n＜0$，该点在第四象限，两点在不同象限，符合题意。
因此$m＜0$，$n＜0$。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象与性质；点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用题型，解题核心是先判断比例系数$k$的正负，再结合象限内点的坐标符号规律推导未知坐标的符号，熟练掌握正比例函数的图像特点是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
9.若函数$y=(m+1)x^{m^2 -3}$是正比例函数，且它的图象经过第一、三象限，则$m$的值是
2
。答案
9.2
解析
【分析】
要解决这道题，需分两步思考：首先回忆正比例函数的定义，明确正比例函数需要满足两个核心条件：一是自变量x的次数为1，二是自变量的系数不为0；其次结合正比例函数图象的性质，图象过第一、三象限说明系数为正数。我们先根据定义列方程求出m的可能取值，再结合系数的正负要求筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
∵函数$y=(m+1)x^{m^2 -3}$是正比例函数
∴根据正比例函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 - 3 = 1 \quad \mathrm{①} \\m + 1 ≠ 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解①式：$m^2=4$，得$m=2$或$m=-2$
解②式：得$m ≠ -1$
又
∵函数图象经过第一、三象限，正比例函数过一、三象限时系数大于0
∴$m+1＞0$，即$m＞-1$
综上，只有$m=2$满足所有条件。
【答案】
2
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的图象与性质
【点评】
本题考查正比例函数的概念与性质的综合应用，解题时要注意同时兼顾函数形式的要求和图象性质对应的系数符号限制，避免遗漏条件出现多解错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需分两步思考：首先回忆正比例函数的定义，明确正比例函数需要满足两个核心条件：一是自变量x的次数为1，二是自变量的系数不为0；其次结合正比例函数图象的性质，图象过第一、三象限说明系数为正数。我们先根据定义列方程求出m的可能取值，再结合系数的正负要求筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
∵函数$y=(m+1)x^{m^2 -3}$是正比例函数
∴根据正比例函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 - 3 = 1 \quad \mathrm{①} \\m + 1 ≠ 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解①式：$m^2=4$，得$m=2$或$m=-2$
解②式：得$m ≠ -1$
又
∵函数图象经过第一、三象限，正比例函数过一、三象限时系数大于0
∴$m+1＞0$，即$m＞-1$
综上，只有$m=2$满足所有条件。
【答案】
2
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的图象与性质
【点评】
本题考查正比例函数的概念与性质的综合应用，解题时要注意同时兼顾函数形式的要求和图象性质对应的系数符号限制，避免遗漏条件出现多解错误。
【难度系数】
0.7
