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10.已知$y$与$x+m$($m$为常数)成正比例，且当$x=3$时，$y=5$；当$x=1$时，$y=1$.
(1)求$y$关于$x$的函数表达式；
(2)若点$P(a,b)$在(1)中函数的图象上，求$4a^2 - b^2 - 2b - 3$的值.
(1)求$y$关于$x$的函数表达式；
(2)若点$P(a,b)$在(1)中函数的图象上，求$4a^2 - b^2 - 2b - 3$的值.
答案
解:(1)设 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=k(x+m)$.
$\because$当 $x=3$ 时,$y=5$,当 $x=1$ 时,$y=1$,
$\therefore \begin{cases}k(3+m)=5,\\k(1+m)=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\m=-\dfrac{1}{2},\end{cases}$
$\therefore y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=2(x-\dfrac{1}{2})=2x-1$.
(2)$\because$点 $P(a,b)$在(1)中函数的图象上,
$\therefore 2a-1=b,\therefore 2a=1+b$,
$\therefore 4a^2-b^2-2b-3=(1+b)^2-b^2-2b-3=-2$.
$\because$当 $x=3$ 时,$y=5$,当 $x=1$ 时,$y=1$,
$\therefore \begin{cases}k(3+m)=5,\\k(1+m)=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\m=-\dfrac{1}{2},\end{cases}$
$\therefore y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=2(x-\dfrac{1}{2})=2x-1$.
(2)$\because$点 $P(a,b)$在(1)中函数的图象上,
$\therefore 2a-1=b,\therefore 2a=1+b$,
$\therefore 4a^2-b^2-2b-3=(1+b)^2-b^2-2b-3=-2$.
解析
【分析】
(1) 已知y与x+m成正比例，根据正比例函数的定义，可设函数表达式为$y=k(x+m)$（$k≠0$，k为常数），将题目给出的两组x、y的对应值代入表达式，即可得到关于k和m的二元一次方程组，解方程组求出k、m的值，代入所设表达式化简就能得到y关于x的函数表达式。
(2) 点P(a,b)在函数图象上，说明点的坐标满足函数表达式，可得b与a的等量关系，将该等量关系变形后整体代入所求代数式，化简即可求出代数式的值，无需单独求解a、b的数值，简化计算过程。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=k(x+m)$（$k≠ 0$）。
根据题意，当$x=3$时，$y=5$；当$x=1$时，$y=1$，代入得：
$\begin{cases}k(3+m)=5\\k(1+m)=1\end{cases}$
两式相减得$2k=4$，解得$k=2$，将$k=2$代入$k(1+m)=1$，得$2(1+m)=1$，解得$m=-\dfrac{1}{2}$。
代入所设表达式化简得$y=2(x-\dfrac{1}{2})=2x-1$。
(2) $\because$点$P(a,b)$在函数$y=2x-1$的图象上，
$\therefore$将$x=a$，$y=b$代入得$b=2a-1$，整理得$2a = b+1$。
将$2a = b+1$代入$4a^2 - b^2 - 2b - 3$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2a)^2 - b^2 - 2b - 3\\&=(b+1)^2 - b^2 - 2b - 3\\&=b^2 + 2b + 1 - b^2 - 2b - 3\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
(1) $y=2x-1$；(2) $-2$
【知识点】
正比例函数定义；待定系数法求解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查了正比例函数的性质与待定系数法求函数解析式，解题时注意利用整体代入的思想求解代数式的值，可避免复杂计算，是函数部分的基础题型，需要熟练掌握相关方法。
【难度系数】
0.75
(1) 已知y与x+m成正比例，根据正比例函数的定义，可设函数表达式为$y=k(x+m)$（$k≠0$，k为常数），将题目给出的两组x、y的对应值代入表达式，即可得到关于k和m的二元一次方程组，解方程组求出k、m的值，代入所设表达式化简就能得到y关于x的函数表达式。
(2) 点P(a,b)在函数图象上，说明点的坐标满足函数表达式，可得b与a的等量关系，将该等量关系变形后整体代入所求代数式，化简即可求出代数式的值，无需单独求解a、b的数值，简化计算过程。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=k(x+m)$（$k≠ 0$）。
根据题意，当$x=3$时，$y=5$；当$x=1$时，$y=1$，代入得：
$\begin{cases}k(3+m)=5\\k(1+m)=1\end{cases}$
两式相减得$2k=4$，解得$k=2$，将$k=2$代入$k(1+m)=1$，得$2(1+m)=1$，解得$m=-\dfrac{1}{2}$。
代入所设表达式化简得$y=2(x-\dfrac{1}{2})=2x-1$。
(2) $\because$点$P(a,b)$在函数$y=2x-1$的图象上，
$\therefore$将$x=a$，$y=b$代入得$b=2a-1$，整理得$2a = b+1$。
将$2a = b+1$代入$4a^2 - b^2 - 2b - 3$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2a)^2 - b^2 - 2b - 3\\&=(b+1)^2 - b^2 - 2b - 3\\&=b^2 + 2b + 1 - b^2 - 2b - 3\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
(1) $y=2x-1$；(2) $-2$
【知识点】
正比例函数定义；待定系数法求解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查了正比例函数的性质与待定系数法求函数解析式，解题时注意利用整体代入的思想求解代数式的值，可避免复杂计算，是函数部分的基础题型，需要熟练掌握相关方法。
【难度系数】
0.75
11.已知$y=y_1+y_2$，其中$y_1$与$x+1$成正比例，$y_2$与$x$成正比例，且当$x=1$时，$y=0$；当$x=4$时，$y=9$.求当$x=2$时，$y$的值.
答案
解:设 $y_1=k_1(x+1),y_2=k_2x$,则 $y=k_1(x+1)+k_2x$.
根据题意,得 $\begin{cases}2k_1+k_2=0,\\5k_1+4k_2=9,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=-3,\\k_2=6.\end{cases}$
$\therefore y=-3(x+1)+6x=3x-3$.
当 $x=2$ 时,$y=3× 2-3=3$.
根据题意,得 $\begin{cases}2k_1+k_2=0,\\5k_1+4k_2=9,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=-3,\\k_2=6.\end{cases}$
$\therefore y=-3(x+1)+6x=3x-3$.
当 $x=2$ 时,$y=3× 2-3=3$.
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例的定义：若两个量成正比例，可表示为$A=kB$（$k$为常数，且$k≠0$）的形式。第一步，根据$y_1$与$x+1$成正比例、$y_2$与$x$成正比例，分别设两个比例系数为$k_1$、$k_2$，写出$y_1$、$y_2$的表达式，再结合$y=y_1+y_2$得到$y$关于$x$的含参表达式；第二步，将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入含参表达式，得到关于$k_1$、$k_2$的二元一次方程组；第三步，解方程组求出$k_1$、$k_2$的值，即可确定$y$与$x$的函数关系式；第四步，将$x=2$代入确定的函数式，计算得到对应的$y$值即可。
【解析】
解：设$y_1=k_1(x+1)$（$k_1≠0$），$y_2=k_2x$（$k_2≠0$），
由$y=y_1+y_2$可得：$y=k_1(x+1)+k_2x$。
将$x=1,y=0$和$x=4,y=9$分别代入上式，得：
$\begin{cases}2k_1 + k_2 = 0 \\5k_1 + 4k_2 = 9 \end{cases}$
由第一个方程得$k_2=-2k_1$，代入第二个方程得：
$5k_1+4×(-2k_1)=9$，解得$k_1=-3$，
将$k_1=-3$代入$k_2=-2k_1$，得$k_2=6$。
$\therefore y=-3(x+1)+6x=3x-3$，
当$x=2$时，$y=3× 2 - 3=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
正比例函数概念，待定系数法，求函数值
【点评】
本题是待定系数法求函数解析式的基础应用，解题关键是准确根据正比例关系设出含参数的表达式，再结合已知条件列方程组求解，掌握基础概念和运算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正比例的定义：若两个量成正比例，可表示为$A=kB$（$k$为常数，且$k≠0$）的形式。第一步，根据$y_1$与$x+1$成正比例、$y_2$与$x$成正比例，分别设两个比例系数为$k_1$、$k_2$，写出$y_1$、$y_2$的表达式，再结合$y=y_1+y_2$得到$y$关于$x$的含参表达式；第二步，将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入含参表达式，得到关于$k_1$、$k_2$的二元一次方程组；第三步，解方程组求出$k_1$、$k_2$的值，即可确定$y$与$x$的函数关系式；第四步，将$x=2$代入确定的函数式，计算得到对应的$y$值即可。
【解析】
解：设$y_1=k_1(x+1)$（$k_1≠0$），$y_2=k_2x$（$k_2≠0$），
由$y=y_1+y_2$可得：$y=k_1(x+1)+k_2x$。
将$x=1,y=0$和$x=4,y=9$分别代入上式，得：
$\begin{cases}2k_1 + k_2 = 0 \\5k_1 + 4k_2 = 9 \end{cases}$
由第一个方程得$k_2=-2k_1$，代入第二个方程得：
$5k_1+4×(-2k_1)=9$，解得$k_1=-3$，
将$k_1=-3$代入$k_2=-2k_1$，得$k_2=6$。
$\therefore y=-3(x+1)+6x=3x-3$，
当$x=2$时，$y=3× 2 - 3=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
正比例函数概念，待定系数法，求函数值
【点评】
本题是待定系数法求函数解析式的基础应用，解题关键是准确根据正比例关系设出含参数的表达式，再结合已知条件列方程组求解，掌握基础概念和运算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
12. 跨学科题 小林同学在保养自己的山地自行车时发现，自行车每节链条的长度为2.5 cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8 cm。
(1)观察图形填写下表：
(2)如果x节链条的总长度是y cm，那么y与x之间的函数表达式为
(3)如果小林同学的自行车的链条(安装前)由80节这样的链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是多少？
(1)观察图形填写下表：
(2)如果x节链条的总长度是y cm，那么y与x之间的函数表达式为
$y=1.7x+0.8$
；(3)如果小林同学的自行车的链条(安装前)由80节这样的链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是多少？
答案
12.(1)4.2 5.9 11
(2)$y=1.7x+0.8$
(3)解:$\because$自行车上的链条为环形,在展直的基础上还要缩短 0.8 cm,
$\therefore$这辆自行车链条的总长为 $1.7× 80=136(\mathrm{cm}).$
答:这根链条安装到自行车上后,总长度是 136 cm.
(2)$y=1.7x+0.8$
(3)解:$\because$自行车上的链条为环形,在展直的基础上还要缩短 0.8 cm,
$\therefore$这辆自行车链条的总长为 $1.7× 80=136(\mathrm{cm}).$
答:这根链条安装到自行车上后,总长度是 136 cm.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 解决表格填空问题时，需明确多节链条的总长度计算逻辑：每多1节链条，会新增1处交叉重叠，总长度=单节长度×节数 - 重叠部分直径×重叠次数，n节展直的链条重叠次数为(n-1)次，据此可计算对应节数的长度。2. 推导函数表达式时，将节数设为x，根据上述长度计算逻辑列代数式，化简即可得到y与x的函数关系。3. 解决环形链条长度问题时，注意安装到自行车上的链条为环形，首尾会额外多1处重叠，因此需要在展直链条长度的基础上再减去1个重叠部分的直径，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 2节链条总长度：$2.5×2 - 0.8×1=5-0.8=4.2\ \mathrm{cm}$；
3节链条总长度：$2.5×3 - 0.8×2=7.5-1.6=5.9\ \mathrm{cm}$；
6节链条总长度：$2.5×6 - 0.8×5=15-4=11\ \mathrm{cm}$；
(2) x节展直的链条重叠次数为$(x-1)$次，因此总长度：
$y=2.5x - 0.8(x-1)$
化简得：$y=1.7x+0.8$；
(3) 解：
∵自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要额外缩短0.8 cm，
∴总长度为$1.7×80 + 0.8 - 0.8=1.7×80=136(\mathrm{cm})$。
答：这根链条安装到自行车上后，总长度是136 cm。
【答案】
(1)$4.2$，$5.9$，$11$；
(2)$y=1.7x+0.8$；
(3)$136\ \mathrm{cm}$
【知识点】
一次函数的应用，规律探究，代数式化简
【点评】
本题结合生活实际命题，既考查学生观察归纳规律的能力，也考查一次函数的实际应用，解题的核心是准确判断不同形态下链条的重叠次数，尤其要注意环形链条比展直链条多1处重叠的特殊情况，避免漏算重叠长度导致错误。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：1. 解决表格填空问题时，需明确多节链条的总长度计算逻辑：每多1节链条，会新增1处交叉重叠，总长度=单节长度×节数 - 重叠部分直径×重叠次数，n节展直的链条重叠次数为(n-1)次，据此可计算对应节数的长度。2. 推导函数表达式时，将节数设为x，根据上述长度计算逻辑列代数式，化简即可得到y与x的函数关系。3. 解决环形链条长度问题时，注意安装到自行车上的链条为环形，首尾会额外多1处重叠，因此需要在展直链条长度的基础上再减去1个重叠部分的直径，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 2节链条总长度：$2.5×2 - 0.8×1=5-0.8=4.2\ \mathrm{cm}$；
3节链条总长度：$2.5×3 - 0.8×2=7.5-1.6=5.9\ \mathrm{cm}$；
6节链条总长度：$2.5×6 - 0.8×5=15-4=11\ \mathrm{cm}$；
(2) x节展直的链条重叠次数为$(x-1)$次，因此总长度：
$y=2.5x - 0.8(x-1)$
化简得：$y=1.7x+0.8$；
(3) 解：
∵自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要额外缩短0.8 cm，
∴总长度为$1.7×80 + 0.8 - 0.8=1.7×80=136(\mathrm{cm})$。
答：这根链条安装到自行车上后，总长度是136 cm。
【答案】
(1)$4.2$，$5.9$，$11$；
(2)$y=1.7x+0.8$；
(3)$136\ \mathrm{cm}$
【知识点】
一次函数的应用，规律探究，代数式化简
【点评】
本题结合生活实际命题，既考查学生观察归纳规律的能力，也考查一次函数的实际应用，解题的核心是准确判断不同形态下链条的重叠次数，尤其要注意环形链条比展直链条多1处重叠的特殊情况，避免漏算重叠长度导致错误。
【难度系数】
0.65
