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10.如图,点 A 的坐标为$(4,2)$,将点 A 绕坐标原点 O 旋转$90°$后,再向左平移 1 个单位长度得到点$A'$,则过点$A'$的正比例函数的表达式为
$y=-\frac{4}{3}x$或$y=-4x$
。答案
10.$y=-\frac{4}{3}x$或$y=-4x$
解析
【分析】
解题需分类讨论点A的旋转方向：①绕原点逆时针旋转90°；②绕原点顺时针旋转90°。首先根据点绕原点旋转90°的坐标变化规律，求出旋转后的点坐标；再依据“向左平移横坐标减，纵坐标不变”的平移规则得到点$A'$的坐标；最后设正比例函数解析式为$y=kx$，将$A'$坐标代入求解$k$值，即可得到函数表达式。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 点A绕原点O逆时针旋转90°：
点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后坐标为$(-y,x)$，则$A(4,2)$旋转后坐标为$(-2,4)$，再向左平移1个单位长度，横坐标减1，纵坐标不变，得$A'$坐标为$(-2-1,4)$即$(-3,4)$。
设过$A'$的正比例函数为$y=kx$，将$(-3,4)$代入得：$4 = -3k$，解得$k=-\frac{4}{3}$，对应函数为$y=-\frac{4}{3}x$。
2. 点A绕原点O顺时针旋转90°：
点$(x,y)$绕原点顺时针旋转90°后坐标为$(y,-x)$，则$A(4,2)$旋转后坐标为$(2,-4)$，再向左平移1个单位长度，横坐标减1，纵坐标不变，得$A'$坐标为$(2-1,-4)$即$(1,-4)$。
将$(1,-4)$代入$y=kx$得：$-4 = k×1$，解得$k=-4$，对应函数为$y=-4x$。
综上，过点$A'$的正比例函数表达式为$y=-\frac{4}{3}x$或$y=-4x$。
【答案】
$y=-\frac{4}{3}x$或$y=-4x$
【知识点】
坐标旋转变化规律，坐标平移变换，待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题易错点是忽略旋转方向的两种可能性，造成漏解。解题时要树立分类讨论的意识，熟练掌握图形变换对应的坐标变化规律，以及待定系数法求函数解析式的基本步骤。
【难度系数】
0.6
解题需分类讨论点A的旋转方向：①绕原点逆时针旋转90°；②绕原点顺时针旋转90°。首先根据点绕原点旋转90°的坐标变化规律，求出旋转后的点坐标；再依据“向左平移横坐标减，纵坐标不变”的平移规则得到点$A'$的坐标；最后设正比例函数解析式为$y=kx$，将$A'$坐标代入求解$k$值，即可得到函数表达式。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 点A绕原点O逆时针旋转90°：
点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后坐标为$(-y,x)$，则$A(4,2)$旋转后坐标为$(-2,4)$，再向左平移1个单位长度，横坐标减1，纵坐标不变，得$A'$坐标为$(-2-1,4)$即$(-3,4)$。
设过$A'$的正比例函数为$y=kx$，将$(-3,4)$代入得：$4 = -3k$，解得$k=-\frac{4}{3}$，对应函数为$y=-\frac{4}{3}x$。
2. 点A绕原点O顺时针旋转90°：
点$(x,y)$绕原点顺时针旋转90°后坐标为$(y,-x)$，则$A(4,2)$旋转后坐标为$(2,-4)$，再向左平移1个单位长度，横坐标减1，纵坐标不变，得$A'$坐标为$(2-1,-4)$即$(1,-4)$。
将$(1,-4)$代入$y=kx$得：$-4 = k×1$，解得$k=-4$，对应函数为$y=-4x$。
综上，过点$A'$的正比例函数表达式为$y=-\frac{4}{3}x$或$y=-4x$。
【答案】
$y=-\frac{4}{3}x$或$y=-4x$
【知识点】
坐标旋转变化规律，坐标平移变换，待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题易错点是忽略旋转方向的两种可能性，造成漏解。解题时要树立分类讨论的意识，熟练掌握图形变换对应的坐标变化规律，以及待定系数法求函数解析式的基本步骤。
【难度系数】
0.6
11.已知正比例函数$y=kx$的图象经过点$A$，点$A$在第四象限，过点$A$作$AH ⊥ x$轴，垂足为$H$，点$A$的横坐标为3，且$△ AOH$的面积为3.
(1)求正比例函数的表达式；
(2)在$x$轴上能否找到一点$P$，使$△ AOP$的面积为5？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.
(1)求正比例函数的表达式；
(2)在$x$轴上能否找到一点$P$，使$△ AOP$的面积为5？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
解:(1)
∵点A在第四象限,它的横坐标为3,且△AOH的面积为3,
∴点A的纵坐标为-2,
∴点A的坐标为(3,-2).
∵正比例函数y=kx的图象经过点A,
∴3k=-2,解得$k=-\frac{2}{3}$,
∴正比例函数的表达式是$y=-\frac{2}{3}x$.
(2)
∵△AOP的面积为5,点A的坐标为(3,-2),
∴OP=5,
∴点P的坐标为(5,0)或(-5,0).
∵点A在第四象限,它的横坐标为3,且△AOH的面积为3,
∴点A的纵坐标为-2,
∴点A的坐标为(3,-2).
∵正比例函数y=kx的图象经过点A,
∴3k=-2,解得$k=-\frac{2}{3}$,
∴正比例函数的表达式是$y=-\frac{2}{3}x$.
(2)
∵△AOP的面积为5,点A的坐标为(3,-2),
∴OP=5,
∴点P的坐标为(5,0)或(-5,0).
解析
【分析】
(1) 要求正比例函数表达式，需先确定点A的坐标：已知点A横坐标为3，AH⊥x轴可得OH=3，结合△AOH的面积可求出AH的长度，再根据点A在第四象限确定纵坐标的符号，得到点A坐标后代入y=kx，用待定系数法即可求出k值，得到函数表达式。
(2) 要判断x轴上是否存在点P使△AOP面积为5，可将OP作为三角形的底，点A纵坐标的绝对值作为高，根据面积公式列方程求出OP的长度，再结合点P在x轴上，分点P在原点左侧、右侧两种情况讨论，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1)
∵点A在第四象限，横坐标为3，AH⊥x轴，垂足为H，
∴OH=3。
∵$S_{△AOH}=\frac{1}{2} · OH · |y_A|=3$，代入OH=3得：$\frac{1}{2} × 3 × |y_A|=3$，解得$|y_A|=2$。
∵点A在第四象限，纵坐标为负，
∴$y_A=-2$，即点A的坐标为$(3,-2)$。
将$A(3,-2)$代入正比例函数$y=kx$得：$3k=-2$，解得$k=-\frac{2}{3}$。
∴正比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x$。
(2) 存在。设点P的坐标为$(x,0)$，则$OP=|x|$。
△AOP中，底为OP，高为点A纵坐标的绝对值，即高为$|-2|=2$。
∵$S_{△AOP}=\frac{1}{2} · OP · 2=OP=5$，
∴$|x|=5$，解得$x=5$或$x=-5$。
∴点P的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$。
【答案】
(1) $y=-\frac{2}{3}x$；(2) 存在，点P的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$
【知识点】
待定系数法求解析式，坐标系内面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题是正比例函数与平面几何结合的基础应用题，既考察了正比例函数解析式的求解方法，也考察了坐标系中图形面积的计算，解题时注意第二问点P的位置有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 要求正比例函数表达式，需先确定点A的坐标：已知点A横坐标为3，AH⊥x轴可得OH=3，结合△AOH的面积可求出AH的长度，再根据点A在第四象限确定纵坐标的符号，得到点A坐标后代入y=kx，用待定系数法即可求出k值，得到函数表达式。
(2) 要判断x轴上是否存在点P使△AOP面积为5，可将OP作为三角形的底，点A纵坐标的绝对值作为高，根据面积公式列方程求出OP的长度，再结合点P在x轴上，分点P在原点左侧、右侧两种情况讨论，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1)
∵点A在第四象限，横坐标为3，AH⊥x轴，垂足为H，
∴OH=3。
∵$S_{△AOH}=\frac{1}{2} · OH · |y_A|=3$，代入OH=3得：$\frac{1}{2} × 3 × |y_A|=3$，解得$|y_A|=2$。
∵点A在第四象限，纵坐标为负，
∴$y_A=-2$，即点A的坐标为$(3,-2)$。
将$A(3,-2)$代入正比例函数$y=kx$得：$3k=-2$，解得$k=-\frac{2}{3}$。
∴正比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x$。
(2) 存在。设点P的坐标为$(x,0)$，则$OP=|x|$。
△AOP中，底为OP，高为点A纵坐标的绝对值，即高为$|-2|=2$。
∵$S_{△AOP}=\frac{1}{2} · OP · 2=OP=5$，
∴$|x|=5$，解得$x=5$或$x=-5$。
∴点P的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$。
【答案】
(1) $y=-\frac{2}{3}x$；(2) 存在，点P的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$
【知识点】
待定系数法求解析式，坐标系内面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题是正比例函数与平面几何结合的基础应用题，既考察了正比例函数解析式的求解方法，也考察了坐标系中图形面积的计算，解题时注意第二问点P的位置有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
12.探究函数$y=|x|$的图象与性质，下表是$y$与$x$的几组对应值。
(1)如图，在平面直角坐标系$xOy$中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，请你先描出点$(-2,m)$，然后画出该函数的图象；
(2)观察图象，写出函数$y=|x|$的一条性质。
(1)如图，在平面直角坐标系$xOy$中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，请你先描出点$(-2,m)$，然后画出该函数的图象；
(2)观察图象，写出函数$y=|x|$的一条性质。
答案
解:(1)如答图.
(2)答案不唯一,如图象关于y轴对称.
解析
【分析】
（1）要完成作图，首先需要确定点$(-2,m)$的坐标：将$x=-2$代入函数$y=|x|$即可求出$m$的值，得到对应点坐标后描点，再分别顺次连接$x≤0$、$x≥0$区间的所有点，就能得到完整的函数图象；
（2）观察画好的V型图象，可从对称性、增减性、最值等角度总结函数性质，写出任意1条符合图象特征的性质即可。
【解析】
(1) 把$x=-2$代入$y=|x|$，得$m=|-2|=2$，即待描点为$(-2,2)$。在坐标系中描出$(-2,2)$后，先顺次连接$x$负半轴的各点，再顺次连接$x$正半轴的各点，即可得到$y=|x|$的图象。
(2) 观察图象可总结得到多个性质，例如：图象关于$y$轴对称；当$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，当$x＜0$时$y$随$x$增大而减小；函数的最小值为$0$等，任选其一作答即可。
【答案】
(1) 如答图.
(2) 图象关于y轴对称（答案不唯一）
【知识点】
描点法画函数图象，绝对值函数的性质，函数图象的对称性
【点评】
本题考查函数作图的基本方法和观察图象总结性质的能力，解题核心是正确求出未知点坐标、准确绘制图象，是函数学习的基础题型。
【难度系数】
0.9
（1）要完成作图，首先需要确定点$(-2,m)$的坐标：将$x=-2$代入函数$y=|x|$即可求出$m$的值，得到对应点坐标后描点，再分别顺次连接$x≤0$、$x≥0$区间的所有点，就能得到完整的函数图象；
（2）观察画好的V型图象，可从对称性、增减性、最值等角度总结函数性质，写出任意1条符合图象特征的性质即可。
【解析】
(1) 把$x=-2$代入$y=|x|$，得$m=|-2|=2$，即待描点为$(-2,2)$。在坐标系中描出$(-2,2)$后，先顺次连接$x$负半轴的各点，再顺次连接$x$正半轴的各点，即可得到$y=|x|$的图象。
(2) 观察图象可总结得到多个性质，例如：图象关于$y$轴对称；当$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，当$x＜0$时$y$随$x$增大而减小；函数的最小值为$0$等，任选其一作答即可。
【答案】
(1) 如答图.
(2) 图象关于y轴对称（答案不唯一）
【知识点】
描点法画函数图象，绝对值函数的性质，函数图象的对称性
【点评】
本题考查函数作图的基本方法和观察图象总结性质的能力，解题核心是正确求出未知点坐标、准确绘制图象，是函数学习的基础题型。
【难度系数】
0.9
