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判断下列说法是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
1. $π + x + y = 6$ 是三元一次方程. （）
2. $\begin{cases}x=4, \\ x + y - z = 3\end{cases}$ 是三元一次方程组. （ ）
3. 已知方程组$\begin{cases}x + y = 3, \\ y + z = -6, \\ z + x = 9,\end{cases}$则$x + y + z$的值是4. （ ）
4. 轮船顺流航行时的速度是$m$ km/h，逆流航行时的速度是$(m - 6)$ km/h，则水流的速度是6 km/h. （）
5. 能找出实际问题中的已知量和未知量，分析它们之间的数量关系，是列方程组解应用题的关键. （）
1. $π + x + y = 6$ 是三元一次方程. （）
2. $\begin{cases}x=4, \\ x + y - z = 3\end{cases}$ 是三元一次方程组. （ ）
3. 已知方程组$\begin{cases}x + y = 3, \\ y + z = -6, \\ z + x = 9,\end{cases}$则$x + y + z$的值是4. （ ）
4. 轮船顺流航行时的速度是$m$ km/h，逆流航行时的速度是$(m - 6)$ km/h，则水流的速度是6 km/h. （）
5. 能找出实际问题中的已知量和未知量，分析它们之间的数量关系，是列方程组解应用题的关键. （）
答案
1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√
解析
【分析】
本题围绕方程相关定义、方程组求解、行程问题公式及应用题解题要点设置题目，解题时可逐个结合对应知识点分析：①判断三元一次方程/方程组时，紧扣定义里的未知数个数、次数、整式方程三个要求；②求三个未知数的和时可利用整体相加的技巧简化计算；③顺逆流速度问题结合“顺速=船速+水速，逆速=船速-水速”推导水速；④列方程解应用题的核心是找准数量关系。
【解析】
1. 三元一次方程要求含有3个不同的未知数，本题中π是常数，方程仅含x、y两个未知数，属于二元一次方程，故说法错误。
2. 三元一次方程组要求整个方程组中共含有3个不同的未知数，且每个含未知数的项的次数都是1，该方程组含x、y、z三个未知数，符合三元一次方程组的定义，故说法正确。
3. 将三个方程左右两边分别相加可得：$2(x+y+z)=3+(-6)+9=6$，解得$x+y+z=3≠4$，故说法错误。
4. 设水流速度为$u$，船在静水中速度为$v$，则顺流速度$m=v+u$，逆流速度$m-6=v-u$，两式相减得$6=2u$，解得$u=3\ \mathrm{km/h}$，不是6km/h，故说法错误。
5. 列方程组解应用题的关键就是梳理已知量、未知量，分析数量关系后列方程，故说法正确。
【答案】
1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√
【知识点】
三元一次方程（组）定义，顺逆流速度公式，列方程组解应用题
【点评】
本题侧重考查基础概念辨析和简单应用，要准确记忆相关定义，区分常量和未知数，同时掌握整体法求解代数式值的技巧，不要混淆顺逆流速度与水速、船速的关系。
【难度系数】
0.7
本题围绕方程相关定义、方程组求解、行程问题公式及应用题解题要点设置题目，解题时可逐个结合对应知识点分析：①判断三元一次方程/方程组时，紧扣定义里的未知数个数、次数、整式方程三个要求；②求三个未知数的和时可利用整体相加的技巧简化计算；③顺逆流速度问题结合“顺速=船速+水速，逆速=船速-水速”推导水速；④列方程解应用题的核心是找准数量关系。
【解析】
1. 三元一次方程要求含有3个不同的未知数，本题中π是常数，方程仅含x、y两个未知数，属于二元一次方程，故说法错误。
2. 三元一次方程组要求整个方程组中共含有3个不同的未知数，且每个含未知数的项的次数都是1，该方程组含x、y、z三个未知数，符合三元一次方程组的定义，故说法正确。
3. 将三个方程左右两边分别相加可得：$2(x+y+z)=3+(-6)+9=6$，解得$x+y+z=3≠4$，故说法错误。
4. 设水流速度为$u$，船在静水中速度为$v$，则顺流速度$m=v+u$，逆流速度$m-6=v-u$，两式相减得$6=2u$，解得$u=3\ \mathrm{km/h}$，不是6km/h，故说法错误。
5. 列方程组解应用题的关键就是梳理已知量、未知量，分析数量关系后列方程，故说法正确。
【答案】
1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√
【知识点】
三元一次方程（组）定义，顺逆流速度公式，列方程组解应用题
【点评】
本题侧重考查基础概念辨析和简单应用，要准确记忆相关定义，区分常量和未知数，同时掌握整体法求解代数式值的技巧，不要混淆顺逆流速度与水速、船速的关系。
【难度系数】
0.7
1.手工课上,同学们用图1中的彩色和白色正方形纸片拼成如图2中的甲、乙两种图案.现有50个彩色正方形纸片和130个白色正方形纸片,若拼成两种图案(两种图案都要拼)若干个,恰好将所有正方形纸片用完,设拼成了x个甲图案,y个乙图案,则所列方程组为 (
A.$\begin{cases}4x + 5y = 50, \\x + 8y = 130\end{cases}$
B.$\begin{cases}4x + y = 50, \\5x + 8y = 130\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + 4y = 50, \\5x + y = 130\end{cases}$
D.$\begin{cases}4x + y = 50, \\8x + 5y = 130\end{cases}$
B
)A.$\begin{cases}4x + 5y = 50, \\x + 8y = 130\end{cases}$
B.$\begin{cases}4x + y = 50, \\5x + 8y = 130\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + 4y = 50, \\5x + y = 130\end{cases}$
D.$\begin{cases}4x + y = 50, \\8x + 5y = 130\end{cases}$
答案
1.B
解析
【分析】
解这道题的思路很清晰：第一步先观察图形，分别数出1个甲图案、1个乙图案里彩色、白色正方形的个数；第二步找两个等量关系：①x个甲消耗的彩色正方形数量 + y个乙消耗的彩色正方形数量 = 彩色正方形总数量50；②x个甲消耗的白色正方形数量 + y个乙消耗的白色正方形数量 = 白色正方形总数量130；第三步根据等量关系列出方程组，匹配选项得到答案即可。
【解析】
首先观察图形计数：
1个甲图案包含4个彩色正方形、5个白色正方形；
1个乙图案包含1个彩色正方形、8个白色正方形。
拼成x个甲图案和y个乙图案时，彩色正方形总用量为$(4x+y)$个，白色正方形总用量为$(5x+8y)$个。
结合已知“彩色共50个、白色共130个”，可列方程组：
$\begin{cases}4x + y = 50, \\5x + 8y = 130\end{cases}$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组应用，图形计数
【点评】
本题是典型的结合图形的方程类应用题，解题核心是准确计数每个图案中两类正方形的数量，再结合总数量列方程组即可，做题时注意细心计数，避免看错图形数错数量。
【难度系数】
0.8
解这道题的思路很清晰：第一步先观察图形，分别数出1个甲图案、1个乙图案里彩色、白色正方形的个数；第二步找两个等量关系：①x个甲消耗的彩色正方形数量 + y个乙消耗的彩色正方形数量 = 彩色正方形总数量50；②x个甲消耗的白色正方形数量 + y个乙消耗的白色正方形数量 = 白色正方形总数量130；第三步根据等量关系列出方程组，匹配选项得到答案即可。
【解析】
首先观察图形计数：
1个甲图案包含4个彩色正方形、5个白色正方形；
1个乙图案包含1个彩色正方形、8个白色正方形。
拼成x个甲图案和y个乙图案时，彩色正方形总用量为$(4x+y)$个，白色正方形总用量为$(5x+8y)$个。
结合已知“彩色共50个、白色共130个”，可列方程组：
$\begin{cases}4x + y = 50, \\5x + 8y = 130\end{cases}$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组应用，图形计数
【点评】
本题是典型的结合图形的方程类应用题，解题核心是准确计数每个图案中两类正方形的数量，再结合总数量列方程组即可，做题时注意细心计数，避免看错图形数错数量。
【难度系数】
0.8
2. 今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求今年哥哥和妹妹的年龄.设哥哥今年$x$岁，妹妹今年$y$岁，得到的方程组为 （
A.$\begin{cases} x+2=3(y+2), \\ x=2y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x-2=3(y-2), \\ x=2y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+2=2(y+2), \\ x=3y \end{cases}$
D.$\begin{cases} x-2=3(y-2), \\ x=3y \end{cases}$
B
）A.$\begin{cases} x+2=3(y+2), \\ x=2y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x-2=3(y-2), \\ x=2y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+2=2(y+2), \\ x=3y \end{cases}$
D.$\begin{cases} x-2=3(y-2), \\ x=3y \end{cases}$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先要找准题目中的两个等量关系：①今年哥哥的年龄=妹妹年龄的2倍；②2年前哥哥的年龄=2年前妹妹年龄的3倍。然后结合年龄问题的规律：时间往前推n年，每个人的年龄都要减去n，分别表示出两人2年前的年龄，再对应两个等量关系列方程，最后联立成方程组匹配选项即可。
【解析】
第一步：根据“今年哥哥的年龄是妹妹的2倍”，已知哥哥今年x岁，妹妹今年y岁，可得第一个方程：$x=2y$。
第二步：计算2年前两人的年龄，哥哥2年前年龄为$(x-2)$岁，妹妹2年前年龄为$(y-2)$岁，再根据“2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍”，可得第二个方程：$x-2=3(y-2)$。
第三步：联立两个方程，得到方程组$\begin{cases} x-2=3(y-2) \\ x=2y \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用，年龄问题的数量关系
【点评】
本题是列二元一次方程组的基础题型，解题核心是准确找到不同时间下的年龄对应的倍数等量关系，需要注意计算过往或未来年龄时，所有主体的年龄都要同步减去或加上对应年数，避免出现仅修改单人年龄的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要找准题目中的两个等量关系：①今年哥哥的年龄=妹妹年龄的2倍；②2年前哥哥的年龄=2年前妹妹年龄的3倍。然后结合年龄问题的规律：时间往前推n年，每个人的年龄都要减去n，分别表示出两人2年前的年龄，再对应两个等量关系列方程，最后联立成方程组匹配选项即可。
【解析】
第一步：根据“今年哥哥的年龄是妹妹的2倍”，已知哥哥今年x岁，妹妹今年y岁，可得第一个方程：$x=2y$。
第二步：计算2年前两人的年龄，哥哥2年前年龄为$(x-2)$岁，妹妹2年前年龄为$(y-2)$岁，再根据“2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍”，可得第二个方程：$x-2=3(y-2)$。
第三步：联立两个方程，得到方程组$\begin{cases} x-2=3(y-2) \\ x=2y \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用，年龄问题的数量关系
【点评】
本题是列二元一次方程组的基础题型，解题核心是准确找到不同时间下的年龄对应的倍数等量关系，需要注意计算过往或未来年龄时，所有主体的年龄都要同步减去或加上对应年数，避免出现仅修改单人年龄的错误。
【难度系数】
0.8
3.《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及
之?”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走$ m $步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了$ n $步，则可列方程组为（
A.$\begin{cases} m = n + 100, \\ \dfrac{m}{100} = \dfrac{n}{60} \end{cases}$
B.$\begin{cases} m = n + 100, \\ \dfrac{m}{60} = \dfrac{n}{100} \end{cases}$
C.$\begin{cases} m = n - 100, \\ \dfrac{m}{100} = \dfrac{n}{60} \end{cases}$
D.$\begin{cases} m = n - 100, \\ \dfrac{m}{60} = \dfrac{n}{100} \end{cases}$
之?”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走$ m $步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了$ n $步，则可列方程组为（
A
）A.$\begin{cases} m = n + 100, \\ \dfrac{m}{100} = \dfrac{n}{60} \end{cases}$
B.$\begin{cases} m = n + 100, \\ \dfrac{m}{60} = \dfrac{n}{100} \end{cases}$
C.$\begin{cases} m = n - 100, \\ \dfrac{m}{100} = \dfrac{n}{60} \end{cases}$
D.$\begin{cases} m = n - 100, \\ \dfrac{m}{60} = \dfrac{n}{100} \end{cases}$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先明确这是追及类的行程问题，需要找到两个核心等量关系列方程组：第一，从快行者开始追赶到追上的这段时间里，两人的运动时间相等；第二，追上时快行者走的总步数，比慢行者在这段追及时间里走的步数多100步（因为慢行者先走了100步）。先推导时间相等对应的方程：已知相同时间内快行者走100步、慢行者走60步，所以快行者走m步的时间为$\frac{m}{100}$，慢行者走n步的时间为$\frac{n}{60}$，二者相等即可得到第一个方程；再根据追及时的步数差得到第二个方程，联立后匹配选项即可。
【解析】
第一步：找时间相等的等量关系
追及过程中两人运动时间相同，已知相同时间内快行者走100步，慢行者走60步，因此快行者走m步的时间$\frac{m}{100}$和慢行者走n步的时间$\frac{n}{60}$相等，可得方程：$\frac{m}{100}=\frac{n}{60}$。
第二步：找步数差的等量关系
慢行者先走了100步，快行者追上慢行者时，快行者走的总步数比慢行者在追及阶段走的步数多100步，可得方程：$m = n + 100$。
第三步：联立方程组得到$\begin{cases} m = n + 100, \\ \dfrac{m}{100} = \dfrac{n}{60} \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 追及问题
3. 行程等量关系
【点评】
本题结合我国古代数学著作《九章算术》的内容出题，既考查了用二元一次方程组解决实际问题的能力，也需要准确理解题目中用步数比体现的速度关系，找准等量关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确这是追及类的行程问题，需要找到两个核心等量关系列方程组：第一，从快行者开始追赶到追上的这段时间里，两人的运动时间相等；第二，追上时快行者走的总步数，比慢行者在这段追及时间里走的步数多100步（因为慢行者先走了100步）。先推导时间相等对应的方程：已知相同时间内快行者走100步、慢行者走60步，所以快行者走m步的时间为$\frac{m}{100}$，慢行者走n步的时间为$\frac{n}{60}$，二者相等即可得到第一个方程；再根据追及时的步数差得到第二个方程，联立后匹配选项即可。
【解析】
第一步：找时间相等的等量关系
追及过程中两人运动时间相同，已知相同时间内快行者走100步，慢行者走60步，因此快行者走m步的时间$\frac{m}{100}$和慢行者走n步的时间$\frac{n}{60}$相等，可得方程：$\frac{m}{100}=\frac{n}{60}$。
第二步：找步数差的等量关系
慢行者先走了100步，快行者追上慢行者时，快行者走的总步数比慢行者在追及阶段走的步数多100步，可得方程：$m = n + 100$。
第三步：联立方程组得到$\begin{cases} m = n + 100, \\ \dfrac{m}{100} = \dfrac{n}{60} \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 追及问题
3. 行程等量关系
【点评】
本题结合我国古代数学著作《九章算术》的内容出题，既考查了用二元一次方程组解决实际问题的能力，也需要准确理解题目中用步数比体现的速度关系，找准等量关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
