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13.题目:已知有理数$a,b$满足$a+b=2$,且
$\begin{cases}3a+2b=4k-4,\\2a+3b=-2.\end{cases}$求$k$的值.
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路.
甲同学:先解关于$a,b$的方程组$\begin{cases}3a+2b=4k-4,\\2a+3b=-2,\end{cases}$再求$k$的值;
乙同学:先解方程组$\begin{cases}a+b=2,\\2a+3b=-2,\end{cases}$再求$k$的值;
丙同学:将原方程组中的两个方程相加,再求$k$的值.
(1)关于上述三种不同思路,完成下列任务:
①正确的画“√”,错误的画“×”.
甲同学的思路________;乙同学的思路________;丙同学的思路________;
②试选择其中一个你认为正确的思路,解答此题;
(2)在解关于$x,y$的方程组$\begin{cases}(m+1)x-ny=\dfrac{1}{2},①\\(n+2)x+my=8②\end{cases}$时,可以用①×7－②×3消去未知数$x$,也可以用①×2＋②×5消去未知数$y$.求$m$和$n$的值;
(3)在(2)的条件下,直接写出方程组$\begin{cases}(m+1)x-ny=\dfrac{1}{2},\\(n+2)x+my=8\end{cases}$的解为________.
$\begin{cases}3a+2b=4k-4,\\2a+3b=-2.\end{cases}$求$k$的值.
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路.
甲同学:先解关于$a,b$的方程组$\begin{cases}3a+2b=4k-4,\\2a+3b=-2,\end{cases}$再求$k$的值;
乙同学:先解方程组$\begin{cases}a+b=2,\\2a+3b=-2,\end{cases}$再求$k$的值;
丙同学:将原方程组中的两个方程相加,再求$k$的值.
(1)关于上述三种不同思路,完成下列任务:
①正确的画“√”,错误的画“×”.
甲同学的思路________;乙同学的思路________;丙同学的思路________;
②试选择其中一个你认为正确的思路,解答此题;
(2)在解关于$x,y$的方程组$\begin{cases}(m+1)x-ny=\dfrac{1}{2},①\\(n+2)x+my=8②\end{cases}$时,可以用①×7－②×3消去未知数$x$,也可以用①×2＋②×5消去未知数$y$.求$m$和$n$的值;
(3)在(2)的条件下,直接写出方程组$\begin{cases}(m+1)x-ny=\dfrac{1}{2},\\(n+2)x+my=8\end{cases}$的解为________.
答案
13.(1)①√ √ √
②解:选择丙同学的思路:将两个方程相加,得5a+5b=4k-6,$a+b=\frac{4k-6}{5}$,
因为a+b=2,所以$\frac{4k-6}{5}=2$,解得k=4.
(2)解:因为解关于x,y的方程组$\begin{cases}(m+1)x-ny=\frac{1}{2},① \\ (n+2)x+my=8② \end{cases}$时,可以用①×7-②×3消去未知数x,也可以用①×2+②×5消去未知数y,
所以$\begin{cases}7m+7-3(n+2)=0, \\ -2n+5m=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=2, \\ n=5. \end{cases}$
(3)$\begin{cases} x=1, \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$
②解:选择丙同学的思路:将两个方程相加,得5a+5b=4k-6,$a+b=\frac{4k-6}{5}$,
因为a+b=2,所以$\frac{4k-6}{5}=2$,解得k=4.
(2)解:因为解关于x,y的方程组$\begin{cases}(m+1)x-ny=\frac{1}{2},① \\ (n+2)x+my=8② \end{cases}$时,可以用①×7-②×3消去未知数x,也可以用①×2+②×5消去未知数y,
所以$\begin{cases}7m+7-3(n+2)=0, \\ -2n+5m=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=2, \\ n=5. \end{cases}$
(3)$\begin{cases} x=1, \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$
解析
【分析】
(1)①判断思路正确性：甲同学先解含参数k的a、b方程组，用k表示a、b后代入a+b=2可求k，思路可行；乙同学先用已知的a+b=2和不含k的方程2a+3b=-2求出a、b的具体值，再代入含k的方程即可求k，思路可行；丙同学将两个方程相加得到5(a+b)与k的关系式，直接代入a+b=2的整体值即可求k，思路更简便，因此三种思路均正确。②可任选一种正确思路求解，推荐丙同学的整体法更简便。
(2)加减消元法的核心是消去某一未知数时，需使两个方程中该未知数的系数变为相等或互为相反数，操作后该未知数的系数为0。根据题目给出的消元操作，分别列出关于m、n的方程，联立求解即可。
(3)将(2)求出的m、n代入原方程组，用加减消元法求解即可得到方程组的解。
【解析】
(1)①三个思路均正确，依次填√；√；√。
②选择丙同学的思路解答：
将方程组$\begin{cases}3a+2b=4k-4\\2a+3b=-2\end{cases}$的两个方程左右两边相加，得：
$5a+5b=4k-6$，
两边同时除以5得$a+b=\frac{4k-6}{5}$，
已知$a+b=2$，代入得$\frac{4k-6}{5}=2$，
去分母得$4k-6=10$，
解得$k=4$。
(2)根据题意：
用①×7－②×3消去x，可得x的系数为0，即：
$7(m+1)-3(n+2)=0$，整理得$7m-3n=-1$ ③；
用①×2＋②×5消去y，可得y的系数为0，即：
$2×(-n)+5m=0$，整理得$5m-2n=0$ ④；
联立③④得$\begin{cases}7m-3n=-1\\5m-2n=0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}m=2\\n=5\end{cases}$。
(3)将$m=2,n=5$代入原方程组得$\begin{cases}3x-5y=\frac{1}{2}\\7x+2y=8\end{cases}$，
用加减消元法解得$\begin{cases}x=1\\y=\frac{1}{2}\end{cases}$。
【答案】
(1)①√；√；√
②$k=4$
(2)$\begin{cases}m=2\\n=5\end{cases}$
(3)$\begin{cases}x=1\\y=\frac{1}{2}\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，加减消元法，整体代入思想
【点评】
本题综合考查二元一次方程组的多种求解思路，既可以用常规消元法计算，也可利用整体思想简化步骤，解题时可根据题目特征灵活选择方法，同时考查了加减消元法的原理应用，能有效锻炼学生的运算能力和逻辑思维。
【难度系数】
0.7
(1)①判断思路正确性：甲同学先解含参数k的a、b方程组，用k表示a、b后代入a+b=2可求k，思路可行；乙同学先用已知的a+b=2和不含k的方程2a+3b=-2求出a、b的具体值，再代入含k的方程即可求k，思路可行；丙同学将两个方程相加得到5(a+b)与k的关系式，直接代入a+b=2的整体值即可求k，思路更简便，因此三种思路均正确。②可任选一种正确思路求解，推荐丙同学的整体法更简便。
(2)加减消元法的核心是消去某一未知数时，需使两个方程中该未知数的系数变为相等或互为相反数，操作后该未知数的系数为0。根据题目给出的消元操作，分别列出关于m、n的方程，联立求解即可。
(3)将(2)求出的m、n代入原方程组，用加减消元法求解即可得到方程组的解。
【解析】
(1)①三个思路均正确，依次填√；√；√。
②选择丙同学的思路解答：
将方程组$\begin{cases}3a+2b=4k-4\\2a+3b=-2\end{cases}$的两个方程左右两边相加，得：
$5a+5b=4k-6$，
两边同时除以5得$a+b=\frac{4k-6}{5}$，
已知$a+b=2$，代入得$\frac{4k-6}{5}=2$，
去分母得$4k-6=10$，
解得$k=4$。
(2)根据题意：
用①×7－②×3消去x，可得x的系数为0，即：
$7(m+1)-3(n+2)=0$，整理得$7m-3n=-1$ ③；
用①×2＋②×5消去y，可得y的系数为0，即：
$2×(-n)+5m=0$，整理得$5m-2n=0$ ④；
联立③④得$\begin{cases}7m-3n=-1\\5m-2n=0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}m=2\\n=5\end{cases}$。
(3)将$m=2,n=5$代入原方程组得$\begin{cases}3x-5y=\frac{1}{2}\\7x+2y=8\end{cases}$，
用加减消元法解得$\begin{cases}x=1\\y=\frac{1}{2}\end{cases}$。
【答案】
(1)①√；√；√
②$k=4$
(2)$\begin{cases}m=2\\n=5\end{cases}$
(3)$\begin{cases}x=1\\y=\frac{1}{2}\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，加减消元法，整体代入思想
【点评】
本题综合考查二元一次方程组的多种求解思路，既可以用常规消元法计算，也可利用整体思想简化步骤，解题时可根据题目特征灵活选择方法，同时考查了加减消元法的原理应用，能有效锻炼学生的运算能力和逻辑思维。
【难度系数】
0.7
争强斗胜
八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒。两处争强来斗胜，二相胜负正交加。三十六头齐出动，一百八手乱相抓。旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？注：“一百八手”指108只手。
（选自明朝数学家吴敬《九章算法比类大全》）
答案：10个哪吒，6个夜叉。
八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒。两处争强来斗胜，二相胜负正交加。三十六头齐出动，一百八手乱相抓。旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？注：“一百八手”指108只手。
（选自明朝数学家吴敬《九章算法比类大全》）
答案：10个哪吒，6个夜叉。
答案
解：设夜叉的数量为$x$个，哪吒的数量为$y$个。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + 3y = 36 \\8x + 6y = 108\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2，得：$2x + 6y = 72$
用第二个方程减去上式，得：$6x = 36$
解得：$x = 6$
把$x=6$代入$x + 3y = 36$，得：$6 + 3y = 36$
解得：$y = 10$
答：有6个夜叉，10个哪吒。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + 3y = 36 \\8x + 6y = 108\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2，得：$2x + 6y = 72$
用第二个方程减去上式，得：$6x = 36$
解得：$x = 6$
把$x=6$代入$x + 3y = 36$，得：$6 + 3y = 36$
解得：$y = 10$
答：有6个夜叉，10个哪吒。
解析
【分析】
这是典型的二元一次方程组应用类问题，解题思路如下：首先确定两个未知量，即夜叉的数量和哪吒的数量；其次从题目中提取两个核心等量关系：一是夜叉总头数加哪吒总头数等于36（每个夜叉1个头、每个哪吒3个头），二是夜叉总手数加哪吒总手数等于108（每个夜叉8只手、每个哪吒6只手）；最后设未知数列方程组，用消元法求解即可得到结果。
【解析】
解：设夜叉的数量为$x$个，哪吒的数量为$y$个。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + 3y = 36 \\8x + 6y = 108\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2，得：$2x + 6y = 72$
用第二个方程减去上式，得：$6x = 36$
解得：$x = 6$
把$x=6$代入$x + 3y = 36$，得：$6 + 3y = 36$
解得：$y = 10$
答：有6个夜叉，10个哪吒。
【答案】
6个夜叉，10个哪吒
【知识点】
二元一次方程组的应用；加减消元法解方程组
【点评】
本题是我国古代经典的趣味数学题，本质属于鸡兔同笼类问题，解题核心是找准题目中的等量关系建立方程，既考查了方程组的实际应用能力，也能让学生体会传统数学文化的魅力。
【难度系数】
0.7
这是典型的二元一次方程组应用类问题，解题思路如下：首先确定两个未知量，即夜叉的数量和哪吒的数量；其次从题目中提取两个核心等量关系：一是夜叉总头数加哪吒总头数等于36（每个夜叉1个头、每个哪吒3个头），二是夜叉总手数加哪吒总手数等于108（每个夜叉8只手、每个哪吒6只手）；最后设未知数列方程组，用消元法求解即可得到结果。
【解析】
解：设夜叉的数量为$x$个，哪吒的数量为$y$个。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + 3y = 36 \\8x + 6y = 108\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2，得：$2x + 6y = 72$
用第二个方程减去上式，得：$6x = 36$
解得：$x = 6$
把$x=6$代入$x + 3y = 36$，得：$6 + 3y = 36$
解得：$y = 10$
答：有6个夜叉，10个哪吒。
【答案】
6个夜叉，10个哪吒
【知识点】
二元一次方程组的应用；加减消元法解方程组
【点评】
本题是我国古代经典的趣味数学题，本质属于鸡兔同笼类问题，解题核心是找准题目中的等量关系建立方程，既考查了方程组的实际应用能力，也能让学生体会传统数学文化的魅力。
【难度系数】
0.7
