登录
7. 如果实数$m,n$满足方程组$\begin{cases}2m - n = 1, \\ m + n = 2,\end{cases}$那么$(m - 2n)^{2025}=$ ______ .
答案
7.-1
解析
【分析】
要计算代数式$(m - 2n)^{2025}$的值，首先需要求出$m$和$n$的取值。题目给出了关于$m$、$n$的二元一次方程组，我们可以用加减消元法先消去一个未知数，求出其中一个未知数的值，再代入方程求出另一个未知数的值，最后把$m$、$n$代入所求代数式，结合乘方的运算性质计算结果即可。
【解析】
先解方程组$\begin{cases}2m - n = 1&① \\ m + n = 2&②\end{cases}$
将①+②，可得：$2m - n + m + n = 1 + 2$，化简得$3m=3$，解得$m=1$。
把$m=1$代入②式，得$1 + n = 2$，解得$n=1$。
将$m=1$，$n=1$代入$(m - 2n)^{2025}$，先算括号内：$m - 2n = 1 - 2×1 = -1$。
因为2025是奇数，根据负数的奇次幂是负数，可得$(-1)^{2025}=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
二元一次方程组的解法；有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是先正确求解二元一次方程组的解，再代入代数式计算，需要注意判断乘方的指数是奇数还是偶数，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.8
要计算代数式$(m - 2n)^{2025}$的值，首先需要求出$m$和$n$的取值。题目给出了关于$m$、$n$的二元一次方程组，我们可以用加减消元法先消去一个未知数，求出其中一个未知数的值，再代入方程求出另一个未知数的值，最后把$m$、$n$代入所求代数式，结合乘方的运算性质计算结果即可。
【解析】
先解方程组$\begin{cases}2m - n = 1&① \\ m + n = 2&②\end{cases}$
将①+②，可得：$2m - n + m + n = 1 + 2$，化简得$3m=3$，解得$m=1$。
把$m=1$代入②式，得$1 + n = 2$，解得$n=1$。
将$m=1$，$n=1$代入$(m - 2n)^{2025}$，先算括号内：$m - 2n = 1 - 2×1 = -1$。
因为2025是奇数，根据负数的奇次幂是负数，可得$(-1)^{2025}=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
二元一次方程组的解法；有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是先正确求解二元一次方程组的解，再代入代数式计算，需要注意判断乘方的指数是奇数还是偶数，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.8
8.定义一种新运算“※”，规定$x※y=ax+by^2$，其中$a,b$为常数，且$1※2=5$，$2※1=3$，则$2※3=$
11
。答案
8.11
解析
【分析】
首先明确新运算“※”的运算规则：x※y等于a乘x加上b乘y的平方，其中a、b是未知常数。我们已知两组运算的结果，可将这两组值分别代入运算规则，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的具体值后，再将x=2、y=3代入运算规则就能算出2※3的结果。
【解析】
根据新运算规定$x※y=ax+by^2$：
1. 将$1※2=5$代入，得：$a×1 + b×2^2 = 5$，整理得：$a + 4b = 5$ ①
2. 将$2※1=3$代入，得：$a×2 + b×1^2 = 3$，整理得：$2a + b = 3$ ②
接下来解二元一次方程组：
由①得：$a = 5 - 4b$，将其代入②：
$2×(5 - 4b) + b = 3$
$10 - 8b + b = 3$
$10 - 7b = 3$
$-7b = -7$
解得：$b = 1$
把$b=1$代入$a = 5 - 4b$，得$a = 5 - 4×1 = 1$
所以新运算规则为：$x※y = x + y^2$
计算$2※3$：$2※3 = 2 + 3^2 = 2 + 9 = 11$
【答案】
11
【知识点】
定义新运算；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查对新运算规则的理解与应用，解题关键是正确将新运算转化为常规的代数运算，通过解方程组求出未知参数后再代入计算，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
首先明确新运算“※”的运算规则：x※y等于a乘x加上b乘y的平方，其中a、b是未知常数。我们已知两组运算的结果，可将这两组值分别代入运算规则，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的具体值后，再将x=2、y=3代入运算规则就能算出2※3的结果。
【解析】
根据新运算规定$x※y=ax+by^2$：
1. 将$1※2=5$代入，得：$a×1 + b×2^2 = 5$，整理得：$a + 4b = 5$ ①
2. 将$2※1=3$代入，得：$a×2 + b×1^2 = 3$，整理得：$2a + b = 3$ ②
接下来解二元一次方程组：
由①得：$a = 5 - 4b$，将其代入②：
$2×(5 - 4b) + b = 3$
$10 - 8b + b = 3$
$10 - 7b = 3$
$-7b = -7$
解得：$b = 1$
把$b=1$代入$a = 5 - 4b$，得$a = 5 - 4×1 = 1$
所以新运算规则为：$x※y = x + y^2$
计算$2※3$：$2※3 = 2 + 3^2 = 2 + 9 = 11$
【答案】
11
【知识点】
定义新运算；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查对新运算规则的理解与应用，解题关键是正确将新运算转化为常规的代数运算，通过解方程组求出未知参数后再代入计算，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
9. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组
$\begin{cases}x + 2y = -a + 2, \\2x - 3y = 5a - 3\end{cases}$（$a$是常数），若不论$a$取什么实数，代数式$kx + 2y$（$k$是常数）的值始终不变，则$k$的值为__________。
$\begin{cases}x + 2y = -a + 2, \\2x - 3y = 5a - 3\end{cases}$（$a$是常数），若不论$a$取什么实数，代数式$kx + 2y$（$k$是常数）的值始终不变，则$k$的值为__________。
答案
9.2
解析
【分析】
要解决这个问题，我们的解题思路是：首先利用加减消元法解关于x、y的二元一次方程组，将x和y都用含参数a的代数式表示；再把x、y代入kx+2y中合并同类项，将式子整理为“含a的项+常数项”的形式；最后根据“不论a取何值，代数式值始终不变”的条件，可知含a的项的系数必须为0，据此列方程即可求出k的值。
【解析】
记方程组$\begin{cases}x + 2y = -a + 2&① \\2x - 3y = 5a - 3&②\end{cases}$
第一步，消元求y：
将①×2得：$2x + 4y = -2a + 4$ ③
用③-②消去x：
$(2x+4y)-(2x-3y)=(-2a+4)-(5a-3)$
化简得：$7y=-7a+7$，解得$y=-a+1$
第二步，代入求x：
把$y=-a+1$代入①：
$x + 2×(-a+1) = -a + 2$
展开计算：$x - 2a + 2 = -a + 2$
移项合并得：$x=a$
第三步，代入代数式整理，求k：
把$x=a$，$y=-a+1$代入$kx+2y$得：
$ka + 2×(-a+1) = ka - 2a + 2 = (k-2)a + 2$
因为不论a取何值，代数式的值始终不变，即代数式的值与a无关，因此含a的项的系数为0：
$k-2=0$，解得$k=2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程组的解法，代数式求值，参数无关问题
【点评】
本题综合考察二元一次方程组的求解和代数式值与参数无关的应用，解题核心是先通过消元法用参数表示出未知数，再抓住“代数式值与参数无关则参数项系数为0”的要点列式求解，是代数部分的常见综合题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们的解题思路是：首先利用加减消元法解关于x、y的二元一次方程组，将x和y都用含参数a的代数式表示；再把x、y代入kx+2y中合并同类项，将式子整理为“含a的项+常数项”的形式；最后根据“不论a取何值，代数式值始终不变”的条件，可知含a的项的系数必须为0，据此列方程即可求出k的值。
【解析】
记方程组$\begin{cases}x + 2y = -a + 2&① \\2x - 3y = 5a - 3&②\end{cases}$
第一步，消元求y：
将①×2得：$2x + 4y = -2a + 4$ ③
用③-②消去x：
$(2x+4y)-(2x-3y)=(-2a+4)-(5a-3)$
化简得：$7y=-7a+7$，解得$y=-a+1$
第二步，代入求x：
把$y=-a+1$代入①：
$x + 2×(-a+1) = -a + 2$
展开计算：$x - 2a + 2 = -a + 2$
移项合并得：$x=a$
第三步，代入代数式整理，求k：
把$x=a$，$y=-a+1$代入$kx+2y$得：
$ka + 2×(-a+1) = ka - 2a + 2 = (k-2)a + 2$
因为不论a取何值，代数式的值始终不变，即代数式的值与a无关，因此含a的项的系数为0：
$k-2=0$，解得$k=2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程组的解法，代数式求值，参数无关问题
【点评】
本题综合考察二元一次方程组的求解和代数式值与参数无关的应用，解题核心是先通过消元法用参数表示出未知数，再抓住“代数式值与参数无关则参数项系数为0”的要点列式求解，是代数部分的常见综合题型。
【难度系数】
0.6
10. 解方程组$\begin{cases}ax+by=2, \\ cx+7y=8\end{cases}$时，甲同学正确解得$\begin{cases}x=2, \\ y=2,\end{cases}$乙同学因把$c$写错而得到$\begin{cases}x=-1, \\ y=3,\end{cases}$则$a=$ ______ ,$b=$ ______ ,$c=$ ______ .
答案
10.0.25 0.75 -3
解析
【分析】
解题思路如下：首先，甲同学的解是正确的，因此他的x、y值代入原方程组的两个方程都成立，我们可以先将甲的解代入含c的第二个方程，直接求出c的值；其次，乙同学仅把c写错，说明他的解满足不含c的第一个方程（因为a、b没有看错），同时甲的解也满足第一个方程，这样我们就能得到两个关于a、b的方程，组成二元一次方程组，解这个方程组就能求出a、b的值。
【解析】
1. 求c的值：
把甲的正确解$\begin{cases}x=2, \\ y=2\end{cases}$代入方程$cx+7y=8$，得：
$2c + 7×2 = 8$
计算得$2c +14 =8$，移项得$2c=8-14=-6$，解得$c=-3$。
2. 求a、b的值：
因为乙仅写错c，所以乙的解$\begin{cases}x=-1, \\ y=3\end{cases}$满足第一个方程$ax+by=2$，代入得：
$-a + 3b = 2$ ①
同时甲的正确解也满足第一个方程，代入得：
$2a + 2b = 2$，两边同时除以2化简得：$a + b =1$ ②
用加减消元法，①+②得：$4b=3$，解得$b=\frac{3}{4}=0.75$。
把$b=0.75$代入②，得$a + 0.75 =1$，解得$a=1-0.75=0.25$。
【答案】
0.25；0.75；-3
【知识点】
二元一次方程组的解；加减消元法；参数求解
【点评】
本题是典型的二元一次方程组错解类题型，解题核心是理解错解的适用范围：抄错某个未知数的系数时，所得的解仍然满足其余系数正确的方程，结合正确解的性质即可列方程求解参数，逻辑清晰，属于常考的基础应用类考题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，甲同学的解是正确的，因此他的x、y值代入原方程组的两个方程都成立，我们可以先将甲的解代入含c的第二个方程，直接求出c的值；其次，乙同学仅把c写错，说明他的解满足不含c的第一个方程（因为a、b没有看错），同时甲的解也满足第一个方程，这样我们就能得到两个关于a、b的方程，组成二元一次方程组，解这个方程组就能求出a、b的值。
【解析】
1. 求c的值：
把甲的正确解$\begin{cases}x=2, \\ y=2\end{cases}$代入方程$cx+7y=8$，得：
$2c + 7×2 = 8$
计算得$2c +14 =8$，移项得$2c=8-14=-6$，解得$c=-3$。
2. 求a、b的值：
因为乙仅写错c，所以乙的解$\begin{cases}x=-1, \\ y=3\end{cases}$满足第一个方程$ax+by=2$，代入得：
$-a + 3b = 2$ ①
同时甲的正确解也满足第一个方程，代入得：
$2a + 2b = 2$，两边同时除以2化简得：$a + b =1$ ②
用加减消元法，①+②得：$4b=3$，解得$b=\frac{3}{4}=0.75$。
把$b=0.75$代入②，得$a + 0.75 =1$，解得$a=1-0.75=0.25$。
【答案】
0.25；0.75；-3
【知识点】
二元一次方程组的解；加减消元法；参数求解
【点评】
本题是典型的二元一次方程组错解类题型，解题核心是理解错解的适用范围：抄错某个未知数的系数时，所得的解仍然满足其余系数正确的方程，结合正确解的性质即可列方程求解参数，逻辑清晰，属于常考的基础应用类考题。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 解方程组：
(1) $\begin{cases} x + y = 4, \\ 2x - y = 5; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x - 2y = 0, \\ 3x + 2y = 8; \end{cases}$
(3) $\begin{cases} 2x - 3y = 7, \\ 4x + 7y = 27. \end{cases}$
11. 解方程组：
(1) $\begin{cases} x + y = 4, \\ 2x - y = 5; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x - 2y = 0, \\ 3x + 2y = 8; \end{cases}$
(3) $\begin{cases} 2x - 3y = 7, \\ 4x + 7y = 27. \end{cases}$
答案
11.解:(1)$\begin{cases} x+y=4,① \\ 2x-y=5,② \end{cases}$
①+②,得3x=9,解得x=3.
把x=3代入①,得y=1,
故原方程组的解是$\begin{cases} x=3, \\ y=1. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x-2y=0,① \\ 3x+2y=8,② \end{cases}$
由①+②,得4x=8,解得x=2.
把x=2代入①,得2-2y=0,解得y=1,
故原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=1. \end{cases}$
(3)$\begin{cases} 2x-3y=7,① \\ 4x+7y=27,② \end{cases}$
将①变形为$x=\frac{7+3y}{2},③$
把③代入②,得$4×\frac{7+3y}{2}+7y=27$,解得y=1.
将y=1代入③,得x=5,
所以方程组的解为$\begin{cases} x=5, \\ y=1. \end{cases}$
①+②,得3x=9,解得x=3.
把x=3代入①,得y=1,
故原方程组的解是$\begin{cases} x=3, \\ y=1. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x-2y=0,① \\ 3x+2y=8,② \end{cases}$
由①+②,得4x=8,解得x=2.
把x=2代入①,得2-2y=0,解得y=1,
故原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=1. \end{cases}$
(3)$\begin{cases} 2x-3y=7,① \\ 4x+7y=27,② \end{cases}$
将①变形为$x=\frac{7+3y}{2},③$
把③代入②,得$4×\frac{7+3y}{2}+7y=27$,解得y=1.
将y=1代入③,得x=5,
所以方程组的解为$\begin{cases} x=5, \\ y=1. \end{cases}$
解析
【分析】
这三道题均为二元一次方程组求解，核心解题思路是消元，将二元方程转化为一元方程求解：
1. 观察第(1)(2)个方程组，y的系数互为相反数，优先选择加减消元法，将两个方程相加即可直接消去y，先求出x的值，再代入任意一个原方程求出y的值；
2. 第(3)个方程组可先将第一个方程变形，用含y的式子表示x，采用代入消元法代入第二个方程消去x，先求出y的值，再回代求出x的值；
求出解后可代入两个原方程验证是否同时成立，确保结果正确。
【解析】
(1) $\begin{cases} x+y=4,① \\ 2x-y=5,② \end{cases}$
①+②，得3x=9，解得x=3。
把x=3代入①，得y=1，
故原方程组的解是$\begin{cases} x=3, \\ y=1. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x-2y=0,① \\ 3x+2y=8,② \end{cases}$
由①+②，得4x=8，解得x=2。
把x=2代入①，得2-2y=0，解得y=1，
故原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=1. \end{cases}$
(3) $\begin{cases} 2x-3y=7,① \\ 4x+7y=27,② \end{cases}$
将①变形为$x=\frac{7+3y}{2},③$
把③代入②，得$4×\frac{7+3y}{2}+7y=27$，解得y=1。
将y=1代入③，得x=5，
所以方程组的解为$\begin{cases} x=5, \\ y=1. \end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
(3) $\begin{cases} x=5 \\ y=1 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，解题时可先观察未知数的系数特征，灵活选择消元方法能简化计算过程，计算时要注意符号问题，得到结果后可代入原方程组快速验证对错。
【难度系数】
0.85
这三道题均为二元一次方程组求解，核心解题思路是消元，将二元方程转化为一元方程求解：
1. 观察第(1)(2)个方程组，y的系数互为相反数，优先选择加减消元法，将两个方程相加即可直接消去y，先求出x的值，再代入任意一个原方程求出y的值；
2. 第(3)个方程组可先将第一个方程变形，用含y的式子表示x，采用代入消元法代入第二个方程消去x，先求出y的值，再回代求出x的值；
求出解后可代入两个原方程验证是否同时成立，确保结果正确。
【解析】
(1) $\begin{cases} x+y=4,① \\ 2x-y=5,② \end{cases}$
①+②，得3x=9，解得x=3。
把x=3代入①，得y=1，
故原方程组的解是$\begin{cases} x=3, \\ y=1. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x-2y=0,① \\ 3x+2y=8,② \end{cases}$
由①+②，得4x=8，解得x=2。
把x=2代入①，得2-2y=0，解得y=1，
故原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=1. \end{cases}$
(3) $\begin{cases} 2x-3y=7,① \\ 4x+7y=27,② \end{cases}$
将①变形为$x=\frac{7+3y}{2},③$
把③代入②，得$4×\frac{7+3y}{2}+7y=27$，解得y=1。
将y=1代入③，得x=5，
所以方程组的解为$\begin{cases} x=5, \\ y=1. \end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
(3) $\begin{cases} x=5 \\ y=1 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，解题时可先观察未知数的系数特征，灵活选择消元方法能简化计算过程，计算时要注意符号问题，得到结果后可代入原方程组快速验证对错。
【难度系数】
0.85
12. 二元一次方程组$\begin{cases}2x+3y=2k+3,①\\3x+2y=k-2②\end{cases}$的解满足$x+y=2$.
(1)求$k$的值；
(2)求原方程组的解.
(1)求$k$的值；
(2)求原方程组的解.
答案
12.解:(1)$\begin{cases} 2x+3y=2k+3,① \\ 3x+2y=k-2,② \end{cases}$
①+②,得5(x+y)=3k+1.
因为x+y=2,所以3k+1=10,解得k=3.
(2)把k = 3代入原方程组,
得$\begin{cases} 2x+3y=9,③ \\ 3x+2y=1,④ \end{cases}$
③×2-④×3,得-5x=15,解得x=-3.
把x=-3代入③,得y=5,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=-3, \\ y=5. \end{cases}$
①+②,得5(x+y)=3k+1.
因为x+y=2,所以3k+1=10,解得k=3.
(2)把k = 3代入原方程组,
得$\begin{cases} 2x+3y=9,③ \\ 3x+2y=1,④ \end{cases}$
③×2-④×3,得-5x=15,解得x=-3.
把x=-3代入③,得y=5,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=-3, \\ y=5. \end{cases}$
解析
【分析】
(1)求k的值时，观察原方程组两个方程的系数特点，将两个方程左右两边分别相加，可得到含x+y的整体式子，结合题目给出的x+y=2，直接代入即可快速求出k的值，无需先单独求解x、y，简化计算步骤。
(2)求出k的值后，将其代入原方程组，得到只含x、y的二元一次方程组，利用加减消元法消去其中一个未知数，先求出一个未知数的值，再代入方程求出另一个未知数的值，即可得到原方程组的解。
【解析】
(1) 已知方程组$\begin{cases}2x+3y=2k+3,①\\3x+2y=k-2②\end{cases}$
将①+②，左边相加得$2x+3y+3x+2y=5x+5y=5(x+y)$，右边相加得$2k+3+k-2=3k+1$，即$5(x+y)=3k+1$。
因为已知$x+y=2$，代入上式得$5×2=3k+1$，即$10=3k+1$，移项解得$k=3$。
(2) 把$k=3$代入原方程组，可得新的方程组：
$\begin{cases}2x+3y=9,③\\3x+2y=1,④\end{cases}$
用加减消元法，③$×2$得：$4x+6y=18$ ⑤，④$×3$得：$9x+6y=3$ ⑥
用⑤-⑥，得：$4x+6y-(9x+6y)=18-3$，化简得$-5x=15$，解得$x=-3$。
将$x=-3$代入③，得$2×(-3)+3y=9$，即$-6+3y=9$，移项得$3y=15$，解得$y=5$。
【答案】
(1) $k=3$；
(2) $\begin{cases}x=-3\\y=5\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，整体代入法，加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的相关计算，第一问运用整体代入思想可大幅简化计算过程，降低运算量，也可通过联立$x+y=2$与原方程组求解，第二问是常规的加减消元法应用，掌握整体思想和消元方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1)求k的值时，观察原方程组两个方程的系数特点，将两个方程左右两边分别相加，可得到含x+y的整体式子，结合题目给出的x+y=2，直接代入即可快速求出k的值，无需先单独求解x、y，简化计算步骤。
(2)求出k的值后，将其代入原方程组，得到只含x、y的二元一次方程组，利用加减消元法消去其中一个未知数，先求出一个未知数的值，再代入方程求出另一个未知数的值，即可得到原方程组的解。
【解析】
(1) 已知方程组$\begin{cases}2x+3y=2k+3,①\\3x+2y=k-2②\end{cases}$
将①+②，左边相加得$2x+3y+3x+2y=5x+5y=5(x+y)$，右边相加得$2k+3+k-2=3k+1$，即$5(x+y)=3k+1$。
因为已知$x+y=2$，代入上式得$5×2=3k+1$，即$10=3k+1$，移项解得$k=3$。
(2) 把$k=3$代入原方程组，可得新的方程组：
$\begin{cases}2x+3y=9,③\\3x+2y=1,④\end{cases}$
用加减消元法，③$×2$得：$4x+6y=18$ ⑤，④$×3$得：$9x+6y=3$ ⑥
用⑤-⑥，得：$4x+6y-(9x+6y)=18-3$，化简得$-5x=15$，解得$x=-3$。
将$x=-3$代入③，得$2×(-3)+3y=9$，即$-6+3y=9$，移项得$3y=15$，解得$y=5$。
【答案】
(1) $k=3$；
(2) $\begin{cases}x=-3\\y=5\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，整体代入法，加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的相关计算，第一问运用整体代入思想可大幅简化计算过程，降低运算量，也可通过联立$x+y=2$与原方程组求解，第二问是常规的加减消元法应用，掌握整体思想和消元方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
