17.(9分)如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AD=2,BC=8,AB=CD=5,求BD的长. 第17题图

17. 如图,分别过点A,点D作AE⊥BC于点E,DF⊥BC于点F,则AE//DF.

∴∠AEF=∠DFE=90°.
∵AD//BC,
∴四边形AEFD为矩形.
∴EF=AD=2,AE=DF.(3分)
在Rt△ABE和Rt△DCF中, $\begin{cases} AE=DF, \\ AB=DC, \end{cases}$
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL).
∴BE=CF.(6分)
∵BC=BE+EF+CF=8,即BE+2+BE=8,
∴BE=3.
∴CF=3,BF=BE+EF=5.
∴在Rt△DCF中,$DF= \sqrt{CD^2-CF^2} = \sqrt{5^2-3^2} =4$.
∴在Rt△BDF中,$BD= \sqrt{DF^2+BF^2} = \sqrt{4^2+5^2} = \sqrt{41}$.(9分)

18.(9分)如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,DF⊥BC,垂足为点F,点G在DE的延长线上,DG=FC.
(1)求证:四边形DFCG是矩形;

(2)若∠B=45°,DF=3,DG=5,求BC和AC的长.

18. (1)
∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE//BC.
∵DG=FC,
∴四边形DFCG是平行四边形.
∵DF⊥BC,
∴∠DFC=90°.
∴平行四边形DFCG是矩形.(4分)
(2)
∵DF⊥BC,
∴∠DFB=90°.
∵∠B=45°,
∴△BDF是等腰直角三角形.
∴BF=DF=3.
∵FC=DG=5,
∴BC=BF+FC=3+5=8.
由(1)可知,DE是△ABC的中位线,四边形DFCG是矩形,
∴$DE=\dfrac{1}{2}BC=4$,$CG=DF=3$,$∠G=90°$.
∴EG=DG-DE=5-4=1.
∴$CE= \sqrt{CG^2+EG^2} = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}$ .
∵E为AC的中点,
∴$AC=2CE=2 \sqrt{10}$.(9分)