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15 已知直角三角形纸片的两条直角边的长分别为$m$和$n(m＜n)$，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角形都为等腰三角形，则下列结论正确的是 (
A.$m^2 + 2mn + n^2 = 0$
B.$m^2 - 2mn + n^2 = 0$
C.$m^2 + 2mn - n^2 = 0$
D.$m^2 - 2mn - n^2 = 0$
C
)A.$m^2 + 2mn + n^2 = 0$
B.$m^2 - 2mn + n^2 = 0$
C.$m^2 + 2mn - n^2 = 0$
D.$m^2 - 2mn - n^2 = 0$
答案
15. C
【解析】如图,剪成一个腰长为 $m$ 的等腰直角三角形和一个腰长为 $n-m$ 的等腰三角形. 由题意,得 $m^2+m^2=(n-m)^2$,即 $2m^2=n^2-2mn+m^2,\therefore m^2+2mn-n^2=0$.
16 [2025 广西]如图,点 A,D 在 BC 同侧,$AB=BC=CA=2$,$BD=CD=\sqrt{2}$,则 AD 的长为
（第16题）
$\sqrt{3}-1$
.（第16题）答案
16. $\sqrt{3}-1$
17 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE=1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为
$\sqrt{17}$
。答案
17. $\sqrt{17}$
【解析】连接AF,AE. $\because$ 对角线 BD 所在直线是正方形的对称轴,$\therefore AF=CF$. 根据“两点之间,线段最短”,可知当A,F,E 三点共线时,$AF+EF$ 取得最小值,即 $CF+EF$ 取得最小值. 在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,由勾股定理,得 $AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=$$\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17},\therefore CF+EF$ 的最小值为 $\sqrt{17}$.
【解析】连接AF,AE. $\because$ 对角线 BD 所在直线是正方形的对称轴,$\therefore AF=CF$. 根据“两点之间,线段最短”,可知当A,F,E 三点共线时,$AF+EF$ 取得最小值,即 $CF+EF$ 取得最小值. 在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,由勾股定理,得 $AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=$$\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17},\therefore CF+EF$ 的最小值为 $\sqrt{17}$.
18 方程思想 如图，AC平分∠BAD，AD=BC=CD。若AD=3，AC=5，则AB的长为
$\frac{16}{3}$
。答案
18. $\frac{16}{3}$
【解析】在 AB 上截取 $AE=AD$,连接 CE,过点 C 作$CF⊥ AB$ 于点 F. $\because AC$ 平分$∠ BAD,\therefore ∠ DAC=∠ EAC$. 又$\because AD=AE,AC=AC,\therefore △ DAC≌△ EAC,\therefore CD=CE$.$\because AD=BC=CD=3,\therefore CE=BC=3.\because CF⊥ AB,\therefore EF=BF$. 设 $EF=x$. 在 $\mathrm{Rt}△ AFC$ 中,$AE=AD=3,AC=5,\therefore AF=x+3,\therefore CF^2=5^2-(x+3)^2$. 在 $\mathrm{Rt}△ ECF$ 中,由勾股定理,得$CF^2=3^2-x^2.\therefore 5^2-(x+3)^2=3^2-x^2$,解得 $x=\frac{7}{6},\therefore EF=$$\frac{7}{6},\therefore AB=AE+2EF=3+2×\frac{7}{6}=\frac{16}{3}$.
【解析】在 AB 上截取 $AE=AD$,连接 CE,过点 C 作$CF⊥ AB$ 于点 F. $\because AC$ 平分$∠ BAD,\therefore ∠ DAC=∠ EAC$. 又$\because AD=AE,AC=AC,\therefore △ DAC≌△ EAC,\therefore CD=CE$.$\because AD=BC=CD=3,\therefore CE=BC=3.\because CF⊥ AB,\therefore EF=BF$. 设 $EF=x$. 在 $\mathrm{Rt}△ AFC$ 中,$AE=AD=3,AC=5,\therefore AF=x+3,\therefore CF^2=5^2-(x+3)^2$. 在 $\mathrm{Rt}△ ECF$ 中,由勾股定理,得$CF^2=3^2-x^2.\therefore 5^2-(x+3)^2=3^2-x^2$,解得 $x=\frac{7}{6},\therefore EF=$$\frac{7}{6},\therefore AB=AE+2EF=3+2×\frac{7}{6}=\frac{16}{3}$.
19 如图,在△ABC中,AB=8,AC=17,AD是边BC上的中线$,AD=\frac{15}{2},$求△ABC的面积.
答案
19. 如图,延长 AD 至点 E,使得 $ED=AD$,连接 CE. $\because AD$ 是边 BC 上的中线, $\therefore BD=CD$. 在$△ ABD$ 和$△ ECD$ 中,
$\begin{cases}AD=ED, \\∠ ADB=∠ EDC, \\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ECD,\therefore AB = EC = 8$,$S_{△ ABD}=S_{△ ECD}.\because S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC} , S_{△ AEC}=S_{△ ECD}+S_{△ ADC},\therefore S_{△ ABC}=S_{△ AEC}.\because AD=\frac{15}{2} ,\therefore AE=AD+DE=15$.又$\because AC=17,\therefore AE^2+EC^2=AC^2,\therefore ∠ E=90°,\therefore S_{△ ABC} = S_{△ AEC} = \frac{1}{2} AE · EC = \frac{1}{2} ×15×8=60$
20 如图,在一张长方形纸片ABCD中,AB=8 cm,BC=6 cm,P为AD上的一点,将△ABP沿BP折叠至△EBP处,PE与CD相交于点O,且OE=OD,求AP的长.
答案
20. 设 DC 与 BE 相交于点 G. $\because$ 四边形 ABCD 是长方形,$\therefore ∠ D=∠ A=∠ C=90°,AD=BC=6\ \mathrm{cm},CD=AB=8\ \mathrm{cm}$.根据折叠的特征,得$△ EBP≌△ ABP,\therefore EP = AP$,$∠ E =∠ A=90°,BE=BA=8\ \mathrm{cm},\therefore ∠ D=∠ E$. 在$△ ODP$ 和$△ OEG$中,$\begin{cases}∠ D=∠ E, \\OD=OE, \\∠ DOP=∠ EOG,\end{cases}$
$\therefore △ ODP≌△ OEG,\therefore OP=OG,PD=GE$,$\therefore OP+OE=OG+OD$,即 $EP=DG$. 设 $AP=x\ \mathrm{cm}$,则$PD=GE=(6-x)\ \mathrm{cm},EP=DG=x\ \mathrm{cm}.\therefore CG=CD-DG=$$(8-x)\ \mathrm{cm},BG=BE-GE=8-(6-x)=(2+x)\ \mathrm{cm}$. 在$\mathrm{Rt}△ BCG$ 中,由勾股定理,得 $BC^2+CG^2=BG^2$,即 $6^2+(8-x)^2=(2+x)^2$,解得 $x=4.8.\therefore AP$ 的长为 $4.8\ \mathrm{cm}$
$\therefore △ ODP≌△ OEG,\therefore OP=OG,PD=GE$,$\therefore OP+OE=OG+OD$,即 $EP=DG$. 设 $AP=x\ \mathrm{cm}$,则$PD=GE=(6-x)\ \mathrm{cm},EP=DG=x\ \mathrm{cm}.\therefore CG=CD-DG=$$(8-x)\ \mathrm{cm},BG=BE-GE=8-(6-x)=(2+x)\ \mathrm{cm}$. 在$\mathrm{Rt}△ BCG$ 中,由勾股定理,得 $BC^2+CG^2=BG^2$,即 $6^2+(8-x)^2=(2+x)^2$,解得 $x=4.8.\therefore AP$ 的长为 $4.8\ \mathrm{cm}$
