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1. 切线的性质定理:圆的切线
垂直于过切点的半径
.(用反证法证明)答案
垂直于过切点的半径
解析
【分析】
本题考查切线性质定理的内容及反证法的证明逻辑。解题时首先要明确反证法的三步核心思路：第一步反设，即假设待证结论不成立；第二步归谬，通过推导得出与已知条件、定理等矛盾的结果；第三步存真，由矛盾判定假设错误，从而得到原结论成立。针对本题，先明确已知：直线为圆的切线，切点为半径的端点，要证切线与该半径垂直，按照反证法的三步逐步推导即可。
【解析】
先明确已知和求证：
已知：直线$l$是$\odot O$的切线，切点为$A$，$OA$是$\odot O$的半径。
求证：$OA⊥ l$。
证明：
1. 反设：假设$OA$与直线$l$不垂直。
2. 归谬：过点$O$作$OM⊥ l$，垂足为$M$，根据“垂线段最短”可得$OM＜OA$。圆心到直线$l$的距离$d=OM$小于圆的半径$r=OA$，根据直线与圆的位置关系判定，此时直线$l$与$\odot O$相交，这与已知条件“直线$l$是$\odot O$的切线（切线与圆仅有1个公共点）”矛盾。
3. 存真：因此假设不成立，故$OA⊥ l$。
综上可得圆的切线的性质定理内容。
【答案】
垂直于过切点的半径
【知识点】
切线的性质定理；反证法；直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念类题目，既要求准确记忆切线的性质定理，也要求掌握反证法的基本证明逻辑，是后续解决圆的切线相关计算、证明题的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查切线性质定理的内容及反证法的证明逻辑。解题时首先要明确反证法的三步核心思路：第一步反设，即假设待证结论不成立；第二步归谬，通过推导得出与已知条件、定理等矛盾的结果；第三步存真，由矛盾判定假设错误，从而得到原结论成立。针对本题，先明确已知：直线为圆的切线，切点为半径的端点，要证切线与该半径垂直，按照反证法的三步逐步推导即可。
【解析】
先明确已知和求证：
已知：直线$l$是$\odot O$的切线，切点为$A$，$OA$是$\odot O$的半径。
求证：$OA⊥ l$。
证明：
1. 反设：假设$OA$与直线$l$不垂直。
2. 归谬：过点$O$作$OM⊥ l$，垂足为$M$，根据“垂线段最短”可得$OM＜OA$。圆心到直线$l$的距离$d=OM$小于圆的半径$r=OA$，根据直线与圆的位置关系判定，此时直线$l$与$\odot O$相交，这与已知条件“直线$l$是$\odot O$的切线（切线与圆仅有1个公共点）”矛盾。
3. 存真：因此假设不成立，故$OA⊥ l$。
综上可得圆的切线的性质定理内容。
【答案】
垂直于过切点的半径
【知识点】
切线的性质定理；反证法；直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念类题目，既要求准确记忆切线的性质定理，也要求掌握反证法的基本证明逻辑，是后续解决圆的切线相关计算、证明题的基础。
【难度系数】
0.8
1. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分∠DAB. 
（第1题）
（第1题）答案
1. 证明:连接OC,易证AD//OC,
∴∠DAC=∠ACO,而OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠OAC,即AC平分∠DAB.
∴∠DAC=∠ACO,而OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠OAC,即AC平分∠DAB.
解析
【分析】
要证明AC平分∠DAB，只需证明∠DAC=∠OAC即可。题目中给出CD是圆的切线，根据切线的常用辅助线做法，首先连接过切点C的半径OC，可得OC⊥CD；结合已知AD⊥CD，可推出AD与OC平行，利用平行线的性质得到∠DAC=∠ACO；再根据同圆半径相等，得到OA=OC，利用等腰三角形等边对等角的性质可得∠OAC=∠ACO，最后通过等量代换即可得到两个角相等，完成证明。
【解析】
证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥CD，
又
∵AD⊥CD，
∴AD//OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA、OC均为⊙O的半径，
∴OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，
即AC平分∠DAB。
【答案】
证明过程见上述解析，AC平分∠DAB得证。
【知识点】
切线的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆切线相关证明的基础题型，解题核心是掌握“遇切线，连过切点的半径”的常用辅助线思路，结合平行线、等腰三角形的性质推导角的等量关系即可求解，是圆与角平分线结合的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要证明AC平分∠DAB，只需证明∠DAC=∠OAC即可。题目中给出CD是圆的切线，根据切线的常用辅助线做法，首先连接过切点C的半径OC，可得OC⊥CD；结合已知AD⊥CD，可推出AD与OC平行，利用平行线的性质得到∠DAC=∠ACO；再根据同圆半径相等，得到OA=OC，利用等腰三角形等边对等角的性质可得∠OAC=∠ACO，最后通过等量代换即可得到两个角相等，完成证明。
【解析】
证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥CD，
又
∵AD⊥CD，
∴AD//OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA、OC均为⊙O的半径，
∴OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，
即AC平分∠DAB。
【答案】
证明过程见上述解析，AC平分∠DAB得证。
【知识点】
切线的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆切线相关证明的基础题型，解题核心是掌握“遇切线，连过切点的半径”的常用辅助线思路，结合平行线、等腰三角形的性质推导角的等量关系即可求解，是圆与角平分线结合的典型基础题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AB是$\odot O$的直径，AC与$\odot O$相切，切点为A，D为$\odot O$上一点，AD与OC相交于点E，且$∠ DAB=∠ C$. 求证：$OC// BD$.
答案
2. 证明:
∵AC与$\odot O$相切,
∴AC⊥AB,∠DAB+∠CAE=90°.
∵∠DAB=∠C,
∴∠C+∠CAE=90°,
∴∠CEA=90°,即OC⊥AD.又AB是$\odot O$的直径,
∴BD⊥AD,
∴OC//BD.
∵AC与$\odot O$相切,
∴AC⊥AB,∠DAB+∠CAE=90°.
∵∠DAB=∠C,
∴∠C+∠CAE=90°,
∴∠CEA=90°,即OC⊥AD.又AB是$\odot O$的直径,
∴BD⊥AD,
∴OC//BD.
解析
【分析】
要证明$OC// BD$，可利用“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的判定定理推导：首先根据切线的性质得到$AC⊥ AB$，结合已知$∠ DAB=∠ C$可推出$OC⊥ AD$；再根据直径所对的圆周角是直角，得到$BD⊥ AD$，即可证明两条直线平行。
【解析】
证明:
∵AC与$\odot O$相切,
∴$AC⊥ AB$，$∠ DAB+∠ CAE=90°$.
∵$∠ DAB=∠ C$,
∴$∠ C+∠ CAE=90°$,
∴$∠ CEA=90°$，即$OC⊥ AD$.
又
∵AB是$\odot O$的直径,
∴$BD⊥ AD$,
∴$OC// BD$.
【答案】
证明:
∵AC与$\odot O$相切,
∴$AC⊥ AB$，$∠ DAB+∠ CAE=90°$.
∵$∠ DAB=∠ C$,
∴$∠ C+∠ CAE=90°$,
∴$∠ CEA=90°$，即$OC⊥ AD$.
又
∵AB是$\odot O$的直径,
∴$BD⊥ AD$,
∴$OC// BD$.
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是将平行证明转化为证明两条直线垂直于同一直线，需要熟练掌握圆的基本性质和平行线判定定理，理清条件和结论的逻辑关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要证明$OC// BD$，可利用“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的判定定理推导：首先根据切线的性质得到$AC⊥ AB$，结合已知$∠ DAB=∠ C$可推出$OC⊥ AD$；再根据直径所对的圆周角是直角，得到$BD⊥ AD$，即可证明两条直线平行。
【解析】
证明:
∵AC与$\odot O$相切,
∴$AC⊥ AB$，$∠ DAB+∠ CAE=90°$.
∵$∠ DAB=∠ C$,
∴$∠ C+∠ CAE=90°$,
∴$∠ CEA=90°$，即$OC⊥ AD$.
又
∵AB是$\odot O$的直径,
∴$BD⊥ AD$,
∴$OC// BD$.
【答案】
证明:
∵AC与$\odot O$相切,
∴$AC⊥ AB$，$∠ DAB+∠ CAE=90°$.
∵$∠ DAB=∠ C$,
∴$∠ C+∠ CAE=90°$,
∴$∠ CEA=90°$，即$OC⊥ AD$.
又
∵AB是$\odot O$的直径,
∴$BD⊥ AD$,
∴$OC// BD$.
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是将平行证明转化为证明两条直线垂直于同一直线，需要熟练掌握圆的基本性质和平行线判定定理，理清条件和结论的逻辑关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
