3. 如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$BC=3$，$AC=4$，线段$AB$与以点$C$为圆心的圆相切，则$\odot C$的半径为（）

A.2.3
B.2.4
C.2.5
D.2.6

3. B

【分析】
首先观察△ABC的三边长度，3、4、5是常见的勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形；再根据直线与圆相切的性质：圆心到切线的距离等于圆的半径，可知⊙C的半径等于点C到AB的距离，即AB边上的高；最后利用直角三角形的两种面积计算方式，用等面积法即可求出半径长度。
【解析】
解：在△ABC中，
∵AC=4，BC=3，AB=5，
∴$AC^2+BC^2=4^2+3^2=25=5^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
设⊙C的半径为r，
∵AB与⊙C相切，
∴圆心C到AB的距离等于半径r，即AB边上的高为r。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· r$
代入数值：$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5×r$
化简得：$12=5r$，解得$r=\frac{12}{5}=2.4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股逆定理，切线的性质，等面积法
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是结合切线性质将求半径的问题转化为求直角三角形斜边上的高，通过等面积法快速求解，是圆的性质与直角三角形结合的典型考题。
【难度系数】
0.8

4. 如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是（）

A.$8≤ AB≤ 10$
B.$8＜ AB≤ 10$
C.$4≤ AB≤ 5$
D.$4＜ AB≤ 5$

4. A

【分析】
要解决这个问题，我们先明确弦AB与小圆有公共点的含义：即AB与小圆相交或相切，圆心O到AB的距离d≤小圆半径3。首先确定弦长的最大值：大圆中最长的弦是直径，因此AB的最大值为大圆的直径10；再确定弦长的最小值：根据大圆弦长的变化规律，圆心到弦的距离越大，弦长越短，因此当d取最大值3（即AB与小圆相切）时，弦长最短，结合垂径定理和勾股定理即可算出最短弦长，最终得到AB的取值范围。
【解析】
解：① 当弦AB与小圆相切时，AB最短，此时圆心O到AB的距离等于小圆半径3。
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，
∴ OC=3，OA=5（大圆半径），
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25-9}=4$，
由垂径定理得$AB=2AC=8$，此时AB与小圆有1个公共点，符合题意。
② 当弦AB为大圆的直径时，AB最长，长度为$2×5=10$，此时AB与小圆有2个公共点，符合题意。
综上，弦AB的取值范围是$8≤ AB≤ 10$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆的位置关系
【点评】
本题解题的关键是找到弦长的两个临界情况：与小圆相切时取最短弦长，为大圆直径时取最长弦长，要注意两种临界情况都满足“与小圆有公共点”的要求，所以取值范围两端都可取等号，避免错选不带等号的选项。
【难度系数】
0.7

5. 在平面直角坐标系中，已知$A(5,2),B(2,5)$，求作以点A为圆心，AB为半径的圆，并判断x轴、y轴与$\odot A$的位置关系。

5. $AB=3\sqrt{2}$,$\because$点$A$到$x$轴的距离为2,到$y$轴的距离为5,又$2＜3\sqrt{2}$,$5＞3\sqrt{2}$,$\therefore x$与$\odot A$轴相交,$y$轴与$\odot A$相离.

【分析】
要判断直线和圆的位置关系，首先需明确判定规则：比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小，若d＜r则直线与圆相交，d=r则相切，d＞r则相离。解题可按三步开展：第一步，利用两点间距离公式求出半径AB的长度；第二步，求出圆心A到x轴、y轴的距离（点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值）；第三步，分别将两个距离与半径比较大小，即可得出对应位置关系。
【解析】
1. 计算半径AB的长度：
根据两点间距离公式，若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离为$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，代入$A(5,2)$、$B(2,5)$得：
$AB=\sqrt{(5-2)^2+(2-5)^2}=\sqrt{3^2+(-3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
2. 求圆心A到坐标轴的距离：
点A到x轴的距离$d_x=|y_A|=2$，点A到y轴的距离$d_y=|x_A|=5$
3. 比较距离与半径的大小判断位置关系：
∵$2＜3\sqrt{2}$，即$d_x＜r$，
∴x轴与$\odot A$相交；
∵$5＞3\sqrt{2}$，即$d_y＞r$，
∴y轴与$\odot A$相离。
【答案】
$AB=3\sqrt{2}$，$\because$点$A$到$x$轴的距离为$2$，到$y$轴的距离为$5$，又$2＜3\sqrt{2}$，$5＞3\sqrt{2}$，$\therefore x$轴与$\odot A$相交，$y$轴与$\odot A$相离。
【知识点】
两点间距离公式；直线与圆的位置关系判定；点到坐标轴的距离计算
【点评】
本题属于直线与圆位置关系判定的基础题型，核心是掌握“比较圆心到直线的距离与半径大小”的判定逻辑，同时要求能熟练计算两点间距离和点到坐标轴的距离，熟练掌握相关规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

6. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，若以点$C$为圆心，$r$为半径作圆，且边$AB$与$\odot C$只有一个交点，试求半径$r$的取值范围。

6. 当$r=\dfrac{60}{13}\ \mathrm{cm}$或$5\ \mathrm{cm}＜r≤ 12\ \mathrm{cm}$时,$\odot C$与边$AB$只有一个交点.

【分析】
解决本题首先要明确“边AB是线段而非直线”，因此线段AB与⊙C只有一个交点分两种情况：①⊙C与直线AB相切，此时仅切点在线段AB上；②⊙C与直线AB相交，但仅1个交点落在线段AB上。解题步骤为：首先用勾股定理求出斜边AB的长度，再用面积法求出点C到AB的垂线段长度（即相切时的半径），最后结合点A、B与圆心C的距离分析相交时的半径范围即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$：
1. 求斜边$AB$的长度：
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
2. 求点$C$到直线$AB$的距离：
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，代入数据得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{5×12}{13}=\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$
3. 分情况讨论半径$r$的取值：
情况1：$\odot C$与直线$AB$相切，此时线段$AB$与$\odot C$仅有1个切点，即$r=CD=\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$；
情况2：$\odot C$与直线$AB$相交，且仅1个交点在线段$AB$上：
此时需满足点$A$在$\odot C$内，点$B$在$\odot C$上或$\odot C$外，即$AC＜r≤ BC$，代入得$5\ \mathrm{cm}＜r≤12\ \mathrm{cm}$。
综上，半径$r$的取值为$r=\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$或$5\ \mathrm{cm}＜r≤12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
当$r=\dfrac{60}{13}\ \mathrm{cm}$或$5\ \mathrm{cm}＜r≤ 12\ \mathrm{cm}$时,$\odot C$与边$AB$只有一个交点。
【知识点】
勾股定理；直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系
【点评】
本题的易错点是忽略“边AB是线段”的条件，仅考虑相切的情况导致漏解，解题时需分类讨论所有可能的情况，同时要熟练掌握用面积法求直角三角形斜边上的高的方法。
【难度系数】
0.6

7. 如图,半径为2的$\odot P$的圆心在直线$y=2x-1$上运动.
(1) 当$x$轴与$\odot P$相切时,写出点$P$的坐标;
(2) 当$y$轴与$\odot P$相切时,写出点$P$的坐标;
(3) $x$轴和$y$轴是否能同时与$\odot P$相切?若能,写出点$P$的坐标;若不能,说明理由.

7. 由题意设$P(x,2x-1)$.
(1) $P(-0.5,-2)$或$P(\dfrac{3}{2},2)$.
(2) $P(2,3)$或$P(-2,-5)$
(3) 不能,理由:如果$x$轴和$y$轴同时与$\odot P$相切,即横、纵坐标相等,即$x=2x-1$,即$x=1$,$\therefore$此时圆的半径为1,与已知圆的半径为2相矛盾.

【分析】
解题时首先利用圆心在直线$y=2x-1$上的条件，设圆心$P$的坐标为$(x, 2x-1)$，再结合直线与圆相切的核心性质：圆心到切线的距离等于圆的半径（本题半径为2），分情况讨论：
1. 与$x$轴相切时，点到$x$轴的距离为纵坐标的绝对值，据此列方程求解；
2. 与$y$轴相切时，点到$y$轴的距离为横坐标的绝对值，据此列方程求解；
3. 若同时与$x$、$y$轴相切，需同时满足横坐标、纵坐标的绝对值都等于2，验证是否存在符合条件的$x$即可判断是否成立。
【解析】
∵ 圆心$P$在直线$y=2x-1$上，
∴ 设点$P$的坐标为$\boldsymbol{(x, 2x-1)}$。
(1) 当$x$轴与$\odot P$相切时，圆心$P$到$x$轴的距离等于半径2，即点$P$的纵坐标的绝对值为2：
$\left|2x-1\right|=2$
分两种情况：
① $2x-1=2$，解得$x=\dfrac{3}{2}$，此时$y=2×\dfrac{3}{2}-1=2$，即$P(\dfrac{3}{2},2)$；
② $2x-1=-2$，解得$x=-0.5$，此时$y=2×(-0.5)-1=-2$，即$P(-0.5,-2)$。
(2) 当$y$轴与$\odot P$相切时，圆心$P$到$y$轴的距离等于半径2，即点$P$的横坐标的绝对值为2：
$\left|x\right|=2$
分两种情况：
① $x=2$，此时$y=2×2-1=3$，即$P(2,3)$；
② $x=-2$，此时$y=2×(-2)-1=-5$，即$P(-2,-5)$。
(3) 不能，理由如下：
若$x$轴和$y$轴同时与$\odot P$相切，则圆心到两轴的距离都等于半径2，即$|x|=|y|=2$，将$y=2x-1$代入验证：当$x=2$时$y=3≠\pm2$，当$x=-2$时$y=-5≠\pm2$，无符合条件的解；或此时若满足$x=y$，解得$x=1$，半径为1，与已知半径为2矛盾，因此不能同时相切。
【答案】
(1) $P(-\dfrac{1}{2},-2)$或$P(\dfrac{3}{2},2)$
(2) $P(2,3)$或$P(-2,-5)$
(3) 不能，理由见解析
【知识点】
直线与圆相切的性质；一次函数坐标特征；绝对值方程求解
【点评】
本题结合一次函数考查直线与圆相切的性质，解题核心是理解“相切时圆心到直线的距离等于半径”，求解过程中注意绝对值方程的多解性，避免漏解，第三问可通过验证法判断是否成立，难度适中。
【难度系数】
0.7