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3. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，以$AB$为直径作$\odot O$交$BC$于点$D$，$DE$为$\odot O$的切线. 求证：$DE⊥ AC$. 
（第3题）
（第3题）答案
3. 证明:连接OD,AD.
∵DE切$\odot O$于点D,
∴∠ODE=90°,即∠ODA+∠ADE=90°.而AB为直径,
∴∠BDA=90°,即AD⊥BC.又AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD,而∠ODA=∠OAD=∠DAE,
∴∠EDA+∠DAE=90°,
∴∠AED=90°,
∴DE⊥AC.
∵DE切$\odot O$于点D,
∴∠ODE=90°,即∠ODA+∠ADE=90°.而AB为直径,
∴∠BDA=90°,即AD⊥BC.又AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD,而∠ODA=∠OAD=∠DAE,
∴∠EDA+∠DAE=90°,
∴∠AED=90°,
∴DE⊥AC.
解析
【分析】
要证明$DE⊥AC$，本质是证明$∠AED=90°$，可通过角的等量代换推导：首先遇到圆的切线时，优先连接过切点的半径，利用切线性质得到直角；其次AB是$\odot O$的直径，可连接AD构造直径所对的直角圆周角；再结合等腰三角形三线合一的性质得到角相等关系，最后通过角的转化推导出$△ ADE$中两个锐角互余，即可得到垂直结论。
【解析】
证明:连接OD,AD.
∵DE切$\odot O$于点D,
∴$∠ODE=90°$,即$∠ODA+∠ADE=90°$.
∵AB为直径,
∴$∠BDA=90°$,即$AD⊥BC$.
又
∵$AB=AC$,
∴$∠BAD=∠CAD$,
∵OA=OD,
∴$∠ODA=∠OAD=∠DAE$,
∴$∠EDA+∠DAE=90°$,
∴$∠AED=90°$,
∴$DE⊥AC$.
【答案】
证明:连接OD,AD.
∵DE切$\odot O$于点D,
∴$∠ODE=90°$,即$∠ODA+∠ADE=90°$.而AB为直径,
∴$∠BDA=90°$,即$AD⊥BC$.又$AB=AC$,
∴$∠BAD=∠CAD$,而$∠ODA=∠OAD=∠DAE$,
∴$∠EDA+∠DAE=90°$,
∴$∠AED=90°$,
∴$DE⊥AC$.
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础证明题，核心考查切线性质的应用，解题关键是掌握“遇切线连半径”“见直径构造直角圆周角”的常用辅助线作法，结合角的等量代换即可完成证明，是圆章节的常见考点题型。
【难度系数】
0.7
要证明$DE⊥AC$，本质是证明$∠AED=90°$，可通过角的等量代换推导：首先遇到圆的切线时，优先连接过切点的半径，利用切线性质得到直角；其次AB是$\odot O$的直径，可连接AD构造直径所对的直角圆周角；再结合等腰三角形三线合一的性质得到角相等关系，最后通过角的转化推导出$△ ADE$中两个锐角互余，即可得到垂直结论。
【解析】
证明:连接OD,AD.
∵DE切$\odot O$于点D,
∴$∠ODE=90°$,即$∠ODA+∠ADE=90°$.
∵AB为直径,
∴$∠BDA=90°$,即$AD⊥BC$.
又
∵$AB=AC$,
∴$∠BAD=∠CAD$,
∵OA=OD,
∴$∠ODA=∠OAD=∠DAE$,
∴$∠EDA+∠DAE=90°$,
∴$∠AED=90°$,
∴$DE⊥AC$.
【答案】
证明:连接OD,AD.
∵DE切$\odot O$于点D,
∴$∠ODE=90°$,即$∠ODA+∠ADE=90°$.而AB为直径,
∴$∠BDA=90°$,即$AD⊥BC$.又$AB=AC$,
∴$∠BAD=∠CAD$,而$∠ODA=∠OAD=∠DAE$,
∴$∠EDA+∠DAE=90°$,
∴$∠AED=90°$,
∴$DE⊥AC$.
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础证明题，核心考查切线性质的应用，解题关键是掌握“遇切线连半径”“见直径构造直角圆周角”的常用辅助线作法，结合角的等量代换即可完成证明，是圆章节的常见考点题型。
【难度系数】
0.7
1. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot P$与$x$轴相切,与$y$轴相交于$A(0,2),B(0,8)$,则圆心$P$的坐标是 （
A.$(5,3)$
B.$(5,4)$
C.$(3,5)$
D.$(4,5)$
（第1题）
D
）A.$(5,3)$
B.$(5,4)$
C.$(3,5)$
D.$(4,5)$
（第1题）答案
1. D
解析
【分析】
要确定圆心P的坐标，我们可以按以下思路推导：
1. 首先根据垂径定理，圆心在弦AB的垂直平分线上，先求出AB的中点，即可得到圆心的纵坐标；
2. 再结合圆与x轴相切的性质，可知圆的半径等于圆心的纵坐标；
3. 最后利用半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，结合勾股定理求出圆心的横坐标，即可得到P点坐标。
【解析】
过点P作$PC⊥ AB$于点C，$PD⊥ x$轴于点D。
1. 已知$A(0,2)$，$B(0,8)$，则$AB=8-2=6$，根据垂径定理，$AC=BC=\frac{1}{2}AB=3$，AB的中点C的坐标为$(0,\frac{2+8}{2})=(0,5)$，因此PC平行于x轴，可得圆心P的纵坐标为5；
2. 因为$\odot P$与x轴相切，所以半径$r=PD=5$，即$PA=5$；
3. 在$Rt△ PAC$中，由勾股定理得：$PC=\sqrt{PA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，即P点的横坐标为4。
因此圆心P的坐标为$(4,5)$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质应用的基础典型题，解题的核心是将圆的性质和直角三角形的计算结合，通过弦的垂直平分线确定纵坐标、切线性质得半径、勾股定理求横坐标，逻辑链条清晰，能很好地考查学生对圆基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
要确定圆心P的坐标，我们可以按以下思路推导：
1. 首先根据垂径定理，圆心在弦AB的垂直平分线上，先求出AB的中点，即可得到圆心的纵坐标；
2. 再结合圆与x轴相切的性质，可知圆的半径等于圆心的纵坐标；
3. 最后利用半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，结合勾股定理求出圆心的横坐标，即可得到P点坐标。
【解析】
过点P作$PC⊥ AB$于点C，$PD⊥ x$轴于点D。
1. 已知$A(0,2)$，$B(0,8)$，则$AB=8-2=6$，根据垂径定理，$AC=BC=\frac{1}{2}AB=3$，AB的中点C的坐标为$(0,\frac{2+8}{2})=(0,5)$，因此PC平行于x轴，可得圆心P的纵坐标为5；
2. 因为$\odot P$与x轴相切，所以半径$r=PD=5$，即$PA=5$；
3. 在$Rt△ PAC$中，由勾股定理得：$PC=\sqrt{PA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，即P点的横坐标为4。
因此圆心P的坐标为$(4,5)$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质应用的基础典型题，解题的核心是将圆的性质和直角三角形的计算结合，通过弦的垂直平分线确定纵坐标、切线性质得半径、勾股定理求横坐标，逻辑链条清晰，能很好地考查学生对圆基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图，AB是$\odot O$的直径，直线PA与$\odot O$相切于点A，PO交$\odot O$于点C，连接BC，若$∠ P = 40°$，则$∠ ABC$的度数为（
A.$20°$
B.$25°$
C.$40°$
D.$50°$
B
）A.$20°$
B.$25°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先根据切线的性质得到直角：切线垂直于过切点的半径，因此$PA⊥ OA$，得到$\mathrm{Rt}△ PAO$；再结合已知$∠ P$的度数，利用直角三角形两锐角互余求出圆心角$∠ POA$的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出$∠ ABC$的度数。
【解析】
∵直线PA与$\odot O$相切于点A，
∴$OA⊥ PA$，即$∠ PAO=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PAO$中，$∠ P=40°$，
∴$∠ POA=90°-∠ P=90°-40°=50°$，
∵$∠ POA$是弧$AC$所对的圆心角，$∠ ABC$是弧$AC$所对的圆周角，
∴$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ POA=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；直角三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题关键是熟练掌握切线性质和圆周角定理，结合三角形内角相关性质即可快速求解，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
解题时先根据切线的性质得到直角：切线垂直于过切点的半径，因此$PA⊥ OA$，得到$\mathrm{Rt}△ PAO$；再结合已知$∠ P$的度数，利用直角三角形两锐角互余求出圆心角$∠ POA$的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出$∠ ABC$的度数。
【解析】
∵直线PA与$\odot O$相切于点A，
∴$OA⊥ PA$，即$∠ PAO=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PAO$中，$∠ P=40°$，
∴$∠ POA=90°-∠ P=90°-40°=50°$，
∵$∠ POA$是弧$AC$所对的圆心角，$∠ ABC$是弧$AC$所对的圆周角，
∴$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ POA=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；直角三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题关键是熟练掌握切线性质和圆周角定理，结合三角形内角相关性质即可快速求解，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图，AP为$\odot O$的切线，P为切点，若$∠ A=20°$，C，D为圆周上两点，且$∠ PDC=60°$，则$∠ OBC$的度数为 （
A.$55°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$
B
）A.$55°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$
答案
3. B
解析
【分析】
遇到切线条件时，首先连接过切点的半径，利用切线的性质得到直角三角形，结合已知的∠A的度数可求出∠POA的大小；再根据圆周角定理，由已知圆周角∠PDC求出同弧所对的圆心角∠POC的度数，作差可得∠BOC的度数；最后利用半径相等得到△OBC为等腰三角形，结合三角形内角和即可求出∠OBC的度数。
【解析】
解：连接OP、OC。
∵ AP为⊙O的切线，P为切点，
∴ OP⊥AP，即∠APO=90°，
在Rt△APO中，∠A=20°，
∴ ∠POA=90°-∠A=90°-20°=70°，
∵ ∠PDC是弧PC所对的圆周角，∠POC是弧PC所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理得：∠POC=2∠PDC=2×60°=120°，
∴ ∠BOC=∠POC - ∠POA=120°-70°=50°，
又
∵ OB=OC（都是⊙O的半径），
∴ △OBC为等腰三角形，∠OBC=∠OCB，
∴ ∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-50°)÷2=65°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的角度计算类基础题，解题的关键是合理作出辅助线，将切线性质、圆周角定理、等腰三角形性质串联起来逐步推导角度，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
遇到切线条件时，首先连接过切点的半径，利用切线的性质得到直角三角形，结合已知的∠A的度数可求出∠POA的大小；再根据圆周角定理，由已知圆周角∠PDC求出同弧所对的圆心角∠POC的度数，作差可得∠BOC的度数；最后利用半径相等得到△OBC为等腰三角形，结合三角形内角和即可求出∠OBC的度数。
【解析】
解：连接OP、OC。
∵ AP为⊙O的切线，P为切点，
∴ OP⊥AP，即∠APO=90°，
在Rt△APO中，∠A=20°，
∴ ∠POA=90°-∠A=90°-20°=70°，
∵ ∠PDC是弧PC所对的圆周角，∠POC是弧PC所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理得：∠POC=2∠PDC=2×60°=120°，
∴ ∠BOC=∠POC - ∠POA=120°-70°=50°，
又
∵ OB=OC（都是⊙O的半径），
∴ △OBC为等腰三角形，∠OBC=∠OCB，
∴ ∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-50°)÷2=65°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的角度计算类基础题，解题的关键是合理作出辅助线，将切线性质、圆周角定理、等腰三角形性质串联起来逐步推导角度，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AB为$\odot O$的直径，$AB=6$，$AB⊥$弦$CD$，垂足为$G$，$EF$切$\odot O$于点$B$，$∠ A=30°$，连接$AD$，$OC$，$BC$，下列结论不正确的是（
A.$EF// CD$
B.$△ COB$是等边三角形
C.$CG=DG$
D.$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{3}{2}π$
D
）A.$EF// CD$
B.$△ COB$是等边三角形
C.$CG=DG$
D.$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{3}{2}π$
答案
4. D
解析
【分析】
我们通过逐个判断选项的正误来解题：①先根据切线性质，切线垂直于过切点的直径，可得AB⊥EF，结合已知AB⊥CD，可推出EF与CD平行，判断A正确；②根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，由∠A=30°得弧BC对应的圆心角∠COB=60°，结合OC=OB都是半径，可判断△COB是等边三角形，B正确；③根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，AB⊥CD可得CG=DG，C正确；④用弧长公式计算弧BC的长度，半径为3，圆心角60°，代入公式计算后可判断D错误，即可选出答案。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 选项A：
∵EF切$\odot O$于点B，AB是$\odot O$的直径，
∴$AB⊥EF$（圆的切线垂直于过切点的半径），又
∵$AB⊥CD$，
∴$EF// CD$（垂直于同一直线的两条直线互相平行），A结论正确，不符合题意；
2. 选项B：∠A是弧BC所对的圆周角，∠COB是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理得$∠ COB=2∠ A=2×30°=60°$，又
∵$OC=OB$（都是$\odot O$的半径），
∴$△ COB$是有一个内角为60°的等腰三角形，即等边三角形，B结论正确，不符合题意；
3. 选项C：
∵AB是$\odot O$的直径，且$AB⊥CD$，根据垂径定理可得$CG=DG$，C结论正确，不符合题意；
4. 选项D：由$AB=6$得$\odot O$的半径$r=3$，弧BC对应的圆心角$∠ COB=60°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入得$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{60π×3}{180}=π$，不等于$\frac{3}{2}π$，D结论错误，符合题意。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，垂径定理，弧长计算
【点评】
本题综合考查圆的基础性质，属于常规基础题型，解题时需逐一验证每个选项，熟练掌握相关定理和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
我们通过逐个判断选项的正误来解题：①先根据切线性质，切线垂直于过切点的直径，可得AB⊥EF，结合已知AB⊥CD，可推出EF与CD平行，判断A正确；②根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，由∠A=30°得弧BC对应的圆心角∠COB=60°，结合OC=OB都是半径，可判断△COB是等边三角形，B正确；③根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，AB⊥CD可得CG=DG，C正确；④用弧长公式计算弧BC的长度，半径为3，圆心角60°，代入公式计算后可判断D错误，即可选出答案。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 选项A：
∵EF切$\odot O$于点B，AB是$\odot O$的直径，
∴$AB⊥EF$（圆的切线垂直于过切点的半径），又
∵$AB⊥CD$，
∴$EF// CD$（垂直于同一直线的两条直线互相平行），A结论正确，不符合题意；
2. 选项B：∠A是弧BC所对的圆周角，∠COB是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理得$∠ COB=2∠ A=2×30°=60°$，又
∵$OC=OB$（都是$\odot O$的半径），
∴$△ COB$是有一个内角为60°的等腰三角形，即等边三角形，B结论正确，不符合题意；
3. 选项C：
∵AB是$\odot O$的直径，且$AB⊥CD$，根据垂径定理可得$CG=DG$，C结论正确，不符合题意；
4. 选项D：由$AB=6$得$\odot O$的半径$r=3$，弧BC对应的圆心角$∠ COB=60°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入得$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{60π×3}{180}=π$，不等于$\frac{3}{2}π$，D结论错误，符合题意。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，垂径定理，弧长计算
【点评】
本题综合考查圆的基础性质，属于常规基础题型，解题时需逐一验证每个选项，熟练掌握相关定理和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
