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5. 如图，AM为$\odot O$的切线，A为切点.过$\odot O$上一点B作$BD⊥ AM$于点D，BD交$\odot O$于点C.OC平分$∠ AOB$.
(1) 求$∠ AOB$的度数；
(2) 当$\odot O$的半径为2 cm时，求CD的长.
(1) 求$∠ AOB$的度数；
(2) 当$\odot O$的半径为2 cm时，求CD的长.
答案
5. (1)
∵AM为$\odot O$的切线,
∴OA⊥AM.
∵BD⊥AM,
∴OA//BD,
∴∠AOC=∠OCB.
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC.
∵OC平分∠AOB,
∴∠BOC=∠AOC,
∴∠BOC=∠OCB=∠OBC,
∴∠BOC=60°,
∴∠AOB=120°.
(2) 如图,过点O作OH⊥BC于点H,
∵OA⊥AM,BD⊥AM,OH⊥BC,
∴四边形OADH为矩形,
∴DH=OA=2 cm.在Rt△OCH中,$CH=\frac{1}{2}OC=1$ cm,
∴CD=1 cm.
解析
【分析】
(1) 求解$∠ AOB$的度数：首先根据切线的性质可得$OA⊥ AM$，结合$BD⊥ AM$推出$OA// BD$，得到内错角相等；再利用圆的半径相等得等腰$△ OBC$的底角相等，结合角平分线的性质可推出$△ OBC$是等边三角形，得到$∠ BOC=60°$，即可求出$∠ AOB$的度数。
(2) 求$CD$的长度：过点$O$作$OH⊥ BC$于$H$，先判定四边形$OADH$是矩形，得到$DH$等于圆的半径；再结合直角三角形的性质或垂径定理求出$CH$的长度，用$DH$减去$CH$即可得到$CD$的长。
【解析】
(1) $\because AM$为$\odot O$的切线，$A$为切点，
$\therefore OA⊥ AM$，
$\because BD⊥ AM$，
$\therefore OA// BD$，
$\therefore ∠ AOC=∠ OCB$，
$\because OB=OC$（都是$\odot O$的半径），
$\therefore ∠ OCB=∠ OBC$，
$\because OC$平分$∠ AOB$，
$\therefore ∠ BOC=∠ AOC$，
$\therefore ∠ BOC=∠ OCB=∠ OBC$，
$\therefore △ OBC$为等边三角形，$∠ BOC=60°$，
$\therefore ∠ AOB=2∠ BOC=120°$。
(2) 过点$O$作$OH⊥ BC$于点$H$，
$\because OA⊥ AM$，$BD⊥ AM$，$OH⊥ BC$，
$\therefore ∠ OAD=∠ ADH=∠ OHD=90°$，
$\therefore$四边形$OADH$为矩形，
$\therefore DH=OA=2\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OCH$中，$∠ OCH=60°$，
$\therefore CH=\frac{1}{2}OC=1\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD=DH-CH=2-1=1\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $∠ AOB=120°$；
(2) $CD$的长为$1\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
切线的性质；等边三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是熟练运用切线、等腰三角形、矩形的相关性质，通过平行关系推导角的数量关系，作辅助线构造矩形转化线段长度，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求解$∠ AOB$的度数：首先根据切线的性质可得$OA⊥ AM$，结合$BD⊥ AM$推出$OA// BD$，得到内错角相等；再利用圆的半径相等得等腰$△ OBC$的底角相等，结合角平分线的性质可推出$△ OBC$是等边三角形，得到$∠ BOC=60°$，即可求出$∠ AOB$的度数。
(2) 求$CD$的长度：过点$O$作$OH⊥ BC$于$H$，先判定四边形$OADH$是矩形，得到$DH$等于圆的半径；再结合直角三角形的性质或垂径定理求出$CH$的长度，用$DH$减去$CH$即可得到$CD$的长。
【解析】
(1) $\because AM$为$\odot O$的切线，$A$为切点，
$\therefore OA⊥ AM$，
$\because BD⊥ AM$，
$\therefore OA// BD$，
$\therefore ∠ AOC=∠ OCB$，
$\because OB=OC$（都是$\odot O$的半径），
$\therefore ∠ OCB=∠ OBC$，
$\because OC$平分$∠ AOB$，
$\therefore ∠ BOC=∠ AOC$，
$\therefore ∠ BOC=∠ OCB=∠ OBC$，
$\therefore △ OBC$为等边三角形，$∠ BOC=60°$，
$\therefore ∠ AOB=2∠ BOC=120°$。
(2) 过点$O$作$OH⊥ BC$于点$H$，
$\because OA⊥ AM$，$BD⊥ AM$，$OH⊥ BC$，
$\therefore ∠ OAD=∠ ADH=∠ OHD=90°$，
$\therefore$四边形$OADH$为矩形，
$\therefore DH=OA=2\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OCH$中，$∠ OCH=60°$，
$\therefore CH=\frac{1}{2}OC=1\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD=DH-CH=2-1=1\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $∠ AOB=120°$；
(2) $CD$的长为$1\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
切线的性质；等边三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是熟练运用切线、等腰三角形、矩形的相关性质，通过平行关系推导角的数量关系，作辅助线构造矩形转化线段长度，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图，AB为$\odot O$的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交$\overset{\frown}{AC}$于点D，过点D作$\odot O$的切线，交BA的延长线于点E.
（1）求证：$AC// DE$；
（2）连接CD，若$OA=AE=a$，写出求四边形ACDE面积的思路.
（1）求证：$AC// DE$；
（2）连接CD，若$OA=AE=a$，写出求四边形ACDE面积的思路.
答案
6. (1) 证明:
∵ED与$\odot O$相切于点D,
∴OD⊥DE.
∵F为弦AC的中点,
∴OD⊥AC,
∴AC//DE.
(2) ① 根据A是OE的中点,AC//ED,可得F是OD的中点,结合其他条件,可证得△AOF≌△CDF,
∴△CDF的面积等于△AOF的面积,问题转化为求△EOD的面积;② 连接AD,易知AD=AO,又OA=OD,
∴可得△AOD是等边三角形,且边长为a,
∴可以进一步求出△AOD的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$;③ 根据A是EO的中点,可知△EOD的面积是△AOD面积的2倍,
∴可得△EOD的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$;④ 等量代换可得四边形ACDE的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$.
∵ED与$\odot O$相切于点D,
∴OD⊥DE.
∵F为弦AC的中点,
∴OD⊥AC,
∴AC//DE.
(2) ① 根据A是OE的中点,AC//ED,可得F是OD的中点,结合其他条件,可证得△AOF≌△CDF,
∴△CDF的面积等于△AOF的面积,问题转化为求△EOD的面积;② 连接AD,易知AD=AO,又OA=OD,
∴可得△AOD是等边三角形,且边长为a,
∴可以进一步求出△AOD的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$;③ 根据A是EO的中点,可知△EOD的面积是△AOD面积的2倍,
∴可得△EOD的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$;④ 等量代换可得四边形ACDE的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$.
解析
【分析】
（1）要证$AC// DE$，可通过证明两条直线均垂直于同一条直线$OD$推导：首先根据切线性质，切线$DE$与$\odot O$相切于$D$，可得$OD⊥ DE$；再结合$F$是弦$AC$中点，由垂径定理推论可得$OD⊥ AC$，两条直线垂直于同一直线即可判定平行。
（2）求不规则四边形$ACDE$的面积，可通过面积转化求解：首先由$OA=AE=a$得$A$是$OE$中点，结合$AC// DE$可推出$F$是$OD$中点，证明$△ AOF≌△ CDF$，将四边形面积转化为$△ EOD$的面积；再根据$Rt△ EOD$的边长关系推出$△ AOD$是等边三角形，求出$△ AOD$面积后，利用$A$是$OE$中点可得$△ EOD$面积是$△ AOD$的2倍，即可得到四边形面积。
【解析】
（1）证明：
∵$ED$与$\odot O$相切于点$D$，
∴$OD⊥ DE$。
∵$F$为弦$AC$的中点，$OD$过圆心$O$，
∴$OD⊥ AC$。
∵$AC$、$DE$均垂直于$OD$，
∴$AC// DE$。
（2）求解思路：
① 由$OA=AE=a$可知$A$为$OE$中点，结合$AC// DE$可得$F$为$OD$中点，又$AF=CF$、$∠ AFO=∠ CFD$，可证$△ AOF≌△ CDF$，即$S_{△ CDF}=S_{△ AOF}$，因此四边形$ACDE$的面积等价于$△ EOD$的面积；
② 连接$AD$，在$Rt△ EOD$中，$A$为斜边$OE$中点，故$AD=AO=OD=a$，可得$△ AOD$是边长为$a$的等边三角形，计算得$S_{△ AOD}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$；
③ 由于$A$是$OE$中点，$△ EOD$与$△ AOD$同高，底$OE=2OA$，故$S_{△ EOD}=2S_{△ AOD}=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$；
④ 经等量代换，四边形$ACDE$的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$。
【答案】
(1) 证明:
∵ED与$\odot O$相切于点D,
∴$OD ⊥ DE$.
∵F为弦AC的中点,
∴$OD ⊥ AC$,
∴$AC // DE$.
(2) ① 根据A是OE的中点,$AC // ED$,可得F是OD的中点,结合其他条件,可证得$△ AOF ≌ △ CDF$,
∴$△ CDF$的面积等于$△ AOF$的面积,问题转化为求$△ EOD$的面积;
② 连接AD,易知$AD=AO$,又$OA=OD$,
∴可得$△ AOD$是等边三角形,且边长为a,
∴可以进一步求出$△ AOD$的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$;
③ 根据A是EO的中点,可知$△ EOD$的面积是$△ AOD$面积的2倍,
∴可得$△ EOD$的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$;
④ 等量代换可得四边形ACDE的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$.
【知识点】
切线的性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与几何面积计算，将切线、垂径定理、全等三角形、面积转化等知识点结合，解题关键是熟练掌握圆的基础性质，学会通过等价转化简化不规则图形的面积求解。
【难度系数】
0.6
（1）要证$AC// DE$，可通过证明两条直线均垂直于同一条直线$OD$推导：首先根据切线性质，切线$DE$与$\odot O$相切于$D$，可得$OD⊥ DE$；再结合$F$是弦$AC$中点，由垂径定理推论可得$OD⊥ AC$，两条直线垂直于同一直线即可判定平行。
（2）求不规则四边形$ACDE$的面积，可通过面积转化求解：首先由$OA=AE=a$得$A$是$OE$中点，结合$AC// DE$可推出$F$是$OD$中点，证明$△ AOF≌△ CDF$，将四边形面积转化为$△ EOD$的面积；再根据$Rt△ EOD$的边长关系推出$△ AOD$是等边三角形，求出$△ AOD$面积后，利用$A$是$OE$中点可得$△ EOD$面积是$△ AOD$的2倍，即可得到四边形面积。
【解析】
（1）证明：
∵$ED$与$\odot O$相切于点$D$，
∴$OD⊥ DE$。
∵$F$为弦$AC$的中点，$OD$过圆心$O$，
∴$OD⊥ AC$。
∵$AC$、$DE$均垂直于$OD$，
∴$AC// DE$。
（2）求解思路：
① 由$OA=AE=a$可知$A$为$OE$中点，结合$AC// DE$可得$F$为$OD$中点，又$AF=CF$、$∠ AFO=∠ CFD$，可证$△ AOF≌△ CDF$，即$S_{△ CDF}=S_{△ AOF}$，因此四边形$ACDE$的面积等价于$△ EOD$的面积；
② 连接$AD$，在$Rt△ EOD$中，$A$为斜边$OE$中点，故$AD=AO=OD=a$，可得$△ AOD$是边长为$a$的等边三角形，计算得$S_{△ AOD}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$；
③ 由于$A$是$OE$中点，$△ EOD$与$△ AOD$同高，底$OE=2OA$，故$S_{△ EOD}=2S_{△ AOD}=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$；
④ 经等量代换，四边形$ACDE$的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$。
【答案】
(1) 证明:
∵ED与$\odot O$相切于点D,
∴$OD ⊥ DE$.
∵F为弦AC的中点,
∴$OD ⊥ AC$,
∴$AC // DE$.
(2) ① 根据A是OE的中点,$AC // ED$,可得F是OD的中点,结合其他条件,可证得$△ AOF ≌ △ CDF$,
∴$△ CDF$的面积等于$△ AOF$的面积,问题转化为求$△ EOD$的面积;
② 连接AD,易知$AD=AO$,又$OA=OD$,
∴可得$△ AOD$是等边三角形,且边长为a,
∴可以进一步求出$△ AOD$的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$;
③ 根据A是EO的中点,可知$△ EOD$的面积是$△ AOD$面积的2倍,
∴可得$△ EOD$的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$;
④ 等量代换可得四边形ACDE的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$.
【知识点】
切线的性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与几何面积计算，将切线、垂径定理、全等三角形、面积转化等知识点结合，解题关键是熟练掌握圆的基础性质，学会通过等价转化简化不规则图形的面积求解。
【难度系数】
0.6
