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与三角形各边都相切的圆叫作三角形的
内切圆
，内切圆的圆心是三角形三条角平分线
的交点，叫作三角形的内心
，这个三角形叫作圆的外切三角形
。答案
内切圆 三条角平分线 内心 圆的外切三角形
解析
【分析】
本题考查三角形内切圆相关的基础概念，解题时可结合概念的逻辑关联推导记忆：①首先明确与三角形三边都相切的圆的专属名称；②内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，结合角平分线“角平分线上的点到角两边的距离相等”的性质，可推出圆心是三条角平分线的交点；③再记忆该交点的名称，以及三角形与该圆的对应称呼，依次填入对应空即可。
【解析】
根据三角形内切圆的相关定义和性质逐一填空：
1. 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆；
2. 内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，结合角平分线的性质可知，该圆心是三角形三条角平分线的交点；
3. 内切圆的圆心叫作三角形的内心；
4. 三边都和同一个圆相切的三角形，叫作这个圆的外切三角形。
【答案】
内切圆 三条角平分线 内心 圆的外切三角形
【知识点】
三角形内切圆定义；三角形内心定义；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查三角形内切圆相关核心概念的掌握情况，熟练掌握课本基础定义即可快速作答，是圆与三角形结合部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形内切圆相关的基础概念，解题时可结合概念的逻辑关联推导记忆：①首先明确与三角形三边都相切的圆的专属名称；②内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，结合角平分线“角平分线上的点到角两边的距离相等”的性质，可推出圆心是三条角平分线的交点；③再记忆该交点的名称，以及三角形与该圆的对应称呼，依次填入对应空即可。
【解析】
根据三角形内切圆的相关定义和性质逐一填空：
1. 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆；
2. 内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，结合角平分线的性质可知，该圆心是三角形三条角平分线的交点；
3. 内切圆的圆心叫作三角形的内心；
4. 三边都和同一个圆相切的三角形，叫作这个圆的外切三角形。
【答案】
内切圆 三条角平分线 内心 圆的外切三角形
【知识点】
三角形内切圆定义；三角形内心定义；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查三角形内切圆相关核心概念的掌握情况，熟练掌握课本基础定义即可快速作答，是圆与三角形结合部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
1. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，与$AB$，$BC$，$AC$分别相切于点$D$，$E$，$F$。若$\odot O$的半径为2，$AB=6$，$AC=8$，$BC=12$，则$△ ABC$的面积为________。
（第1题）
（第1题）答案
26
解析
【分析】
要求△ABC的面积，结合内切圆的性质思考：三角形的内心（内切圆圆心）到三边的距离都等于内切圆半径r，可将△ABC拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形，三个小三角形的高均为r，底分别为△ABC的三边长，分别计算三个小三角形的面积再求和即可得到△ABC的面积。
【解析】
连接OA、OB、OC，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，且OD=OE=OF=r=2，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}× AB× r + \frac{1}{2}× BC× r + \frac{1}{2}× AC× r$
$=\frac{1}{2}r×(AB+BC+AC)$
代入r=2，AB=6，BC=12，AC=8得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×(6+12+8)=26$
【答案】
26
【知识点】
三角形内切圆性质；三角形面积计算
【点评】
本题是内切圆相关的基础计算题，核心是掌握三角形面积等于内切圆半径与三角形周长乘积的一半这一结论，解题时通过割补法将大三角形拆分为三个等高的小三角形即可快速推导公式求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
要求△ABC的面积，结合内切圆的性质思考：三角形的内心（内切圆圆心）到三边的距离都等于内切圆半径r，可将△ABC拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形，三个小三角形的高均为r，底分别为△ABC的三边长，分别计算三个小三角形的面积再求和即可得到△ABC的面积。
【解析】
连接OA、OB、OC，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，且OD=OE=OF=r=2，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}× AB× r + \frac{1}{2}× BC× r + \frac{1}{2}× AC× r$
$=\frac{1}{2}r×(AB+BC+AC)$
代入r=2，AB=6，BC=12，AC=8得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×(6+12+8)=26$
【答案】
26
【知识点】
三角形内切圆性质；三角形面积计算
【点评】
本题是内切圆相关的基础计算题，核心是掌握三角形面积等于内切圆半径与三角形周长乘积的一半这一结论，解题时通过割补法将大三角形拆分为三个等高的小三角形即可快速推导公式求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 如图，点O是$△ ABC$的内心，过点O作$OD ⊥ AB$、$OE ⊥ AC$、$OF ⊥ BC$，垂足分别为D，E，F，下列结论一定成立的是 （
A.点O是$△ DEF$三条高的交点
B.点O是$△ DEF$三条中线的交点
C.点O是$△ DEF$三条角平分线的交点
D.点O是$△ DEF$三边垂直平分线的交点
D
）A.点O是$△ DEF$三条高的交点
B.点O是$△ DEF$三条中线的交点
C.点O是$△ DEF$三条角平分线的交点
D.点O是$△ DEF$三边垂直平分线的交点
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内心的性质：三角形的内心是三个内角的角平分线交点，到三角形三边的距离相等。结合题中OD、OE、OF分别是点O到△ABC三边的垂线段，可先推出OD=OE=OF，即点O到△DEF的三个顶点距离相等。再结合三角形各类特殊交点的性质：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，即可得出正确结论。
【解析】
∵点O是△ABC的内心，
∴点O到△ABC三边的距离相等，
又
∵OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OD = OE = OF，
即点O到△DEF的三个顶点D、E、F的距离相等。
根据三角形外心的定义：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，可知点O是△DEF三边垂直平分线的交点。
对照选项，只有D选项符合结论。
【答案】
D
【知识点】
三角形内心的性质；三角形外心的定义
【点评】
本题主要考查三角形特殊点的性质辨析，解题关键是利用内心到三边距离相等的性质推导出点O到△DEF三顶点的距离相等，再对应外心的特征判断即可，属于基础概念应用题，熟记相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形内心的性质：三角形的内心是三个内角的角平分线交点，到三角形三边的距离相等。结合题中OD、OE、OF分别是点O到△ABC三边的垂线段，可先推出OD=OE=OF，即点O到△DEF的三个顶点距离相等。再结合三角形各类特殊交点的性质：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，即可得出正确结论。
【解析】
∵点O是△ABC的内心，
∴点O到△ABC三边的距离相等，
又
∵OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OD = OE = OF，
即点O到△DEF的三个顶点D、E、F的距离相等。
根据三角形外心的定义：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，可知点O是△DEF三边垂直平分线的交点。
对照选项，只有D选项符合结论。
【答案】
D
【知识点】
三角形内心的性质；三角形外心的定义
【点评】
本题主要考查三角形特殊点的性质辨析，解题关键是利用内心到三边距离相等的性质推导出点O到△DEF三顶点的距离相等，再对应外心的特征判断即可，属于基础概念应用题，熟记相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$△ ABC$的内切圆$\odot I$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，若$\odot I$的半径为$r$，$∠ A=α$，则$∠ FDE$的大小为 （
A.$90° - α$
B.$180° - α$
C.$90° - \frac{α}{2}$
D.$90° + \frac{α}{2}$
C
）A.$90° - α$
B.$180° - α$
C.$90° - \frac{α}{2}$
D.$90° + \frac{α}{2}$
答案
C
解析
【分析】
要计算∠FDE的度数，首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此我们可以先求弧FE对应的圆心角∠FIE的度数。已知⊙I是△ABC的内切圆，根据切线的性质，圆心与切点的连线垂直于切线，可得IF⊥AB、IE⊥AC，在四边形AFIE中利用内角和即可求出∠FIE，再结合圆周角定理就能推导得到∠FDE的大小。
【解析】
连接IF、IE，
∵⊙I是△ABC的内切圆，与AB、AC分别相切于点F、E，
∴IF⊥AB，IE⊥AC，即$∠ AFI=∠ AEI=90°$，
在四边形AFIE中，内角和为$360°$，已知$∠ A=α$，
∴$∠ FIE = 360° - ∠ AFI - ∠ AEI - ∠ A = 360° - 90° - 90° - α = 180° - α$，
∵$∠ FDE$和$∠ FIE$都是弧FE所对的角，$∠ FDE$是圆周角，$∠ FIE$是圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ FDE = \frac{1}{2}∠ FIE = \frac{1}{2}(180° - α) = 90° - \frac{α}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是三角形内切圆相关的角度计算类基础题，解题的核心是通过连接圆心与切点构造直角，结合四边形内角和与圆周角定理完成角度转化，需要熟练掌握切线性质和圆周角定理的应用。
【难度系数】
0.7
要计算∠FDE的度数，首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此我们可以先求弧FE对应的圆心角∠FIE的度数。已知⊙I是△ABC的内切圆，根据切线的性质，圆心与切点的连线垂直于切线，可得IF⊥AB、IE⊥AC，在四边形AFIE中利用内角和即可求出∠FIE，再结合圆周角定理就能推导得到∠FDE的大小。
【解析】
连接IF、IE，
∵⊙I是△ABC的内切圆，与AB、AC分别相切于点F、E，
∴IF⊥AB，IE⊥AC，即$∠ AFI=∠ AEI=90°$，
在四边形AFIE中，内角和为$360°$，已知$∠ A=α$，
∴$∠ FIE = 360° - ∠ AFI - ∠ AEI - ∠ A = 360° - 90° - 90° - α = 180° - α$，
∵$∠ FDE$和$∠ FIE$都是弧FE所对的角，$∠ FDE$是圆周角，$∠ FIE$是圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ FDE = \frac{1}{2}∠ FIE = \frac{1}{2}(180° - α) = 90° - \frac{α}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是三角形内切圆相关的角度计算类基础题，解题的核心是通过连接圆心与切点构造直角，结合四边形内角和与圆周角定理完成角度转化，需要熟练掌握切线性质和圆周角定理的应用。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ A=90°$,$\odot O$是它的内切圆,与$AB$,$BC$,$CA$分别切于点$D$,$E$,$F$.
(1)若$∠ DOE=120°$,则$∠ C=$
(2)若$AB=3$,$AC=4$,求$\odot O$的半径.
(1)若$∠ DOE=120°$,则$∠ C=$
30°
;(2)若$AB=3$,$AC=4$,求$\odot O$的半径.
答案
(1) $\because AB,BC$是$\odot O$的切线,$\therefore ∠ BDO=∠ BEO=90°$. 又$∠ DOE=120°$,$\therefore ∠ B=60°$. $\because ∠ A=90°$,$\therefore ∠ C=30°$.
(2) 如图,连接$OF,AO,BO,CO$,
$\because AB,AC,BC$是$\odot O$的切线,$\therefore OD⊥ AB,OF⊥ AC,OE⊥ BC$. $\because AB=3$,$AC=4$,$∠ BAC=90°$,$\therefore BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9+16}=5$. $\because S_{△ ABC}=S_{△ ABO}+S_{△ ACO}+S_{△ BOC}$,$\therefore \frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}× AB× OD+\frac{1}{2}× AC× FO+\frac{1}{2}× BC× OE$,$\therefore 12=12OD$. $\therefore OD=1$,$\therefore \odot O$的半径为1.
解析
【分析】
(1) 首先依据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，可得$OD⊥AB$、$OE⊥BC$，即四边形$BDOE$有两个内角为直角；再结合四边形内角和为$360°$与已知的$∠ DOE=120°$，可算出$∠ B$的度数；最后利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出$∠ C$的度数。
(2) 先用勾股定理求出$Rt△ ABC$的斜边$BC$的长度；再连接$AO、BO、CO$，将$△ ABC$分割为3个小三角形，根据切线性质可知3个小三角形的高都等于内切圆半径，利用“大三角形面积等于3个小三角形面积之和”列等式，代入数值计算即可求出内切圆半径。
【解析】
(1) $\because AB、BC$是$\odot O$的切线，$D、E$为切点，$\therefore OD⊥AB$，$OE⊥BC$，即$∠ BDO=∠ BEO=90°$。
在四边形$BDOE$中，内角和为$360°$，已知$∠ DOE=120°$，
$\therefore ∠ B=360°-∠ BDO-∠ BEO-∠ DOE=360°-90°-90°-120°=60°$。
又$\because Rt△ ABC$中$∠ A=90°$，$∠ B+∠ C=90°$，
$\therefore ∠ C=90°-60°=30°$。
(2) 如图，连接$OF、AO、BO、CO$，
$\because AB、AC、BC$是$\odot O$的切线，$D、F、E$为切点，$\therefore OD⊥AB,OF⊥AC,OE⊥BC$，且$OD=OE=OF=r$（$r$为$\odot O$的半径）。
$\because Rt△ ABC$中$AB=3,AC=4,∠ BAC=90°$，
$\therefore$由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABO}+S_{△ ACO}+S_{△ BOC}$，
$\therefore \frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}× AB× r+\frac{1}{2}× AC× r+\frac{1}{2}× BC× r$，
代入数值化简得：$6=6r$，解得$r=1$。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$
(2) $\odot O$的半径为$\boxed{1}$
【知识点】
切线的性质；三角形内切圆；勾股定理
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题型，第一问结合切线性质和多边形内角和求解角度，第二问考查内切圆半径的常用求法（面积法），解题时要熟练运用切线的性质，掌握面积法分割图形求半径的思路。
【难度系数】
0.8
(1) 首先依据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，可得$OD⊥AB$、$OE⊥BC$，即四边形$BDOE$有两个内角为直角；再结合四边形内角和为$360°$与已知的$∠ DOE=120°$，可算出$∠ B$的度数；最后利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出$∠ C$的度数。
(2) 先用勾股定理求出$Rt△ ABC$的斜边$BC$的长度；再连接$AO、BO、CO$，将$△ ABC$分割为3个小三角形，根据切线性质可知3个小三角形的高都等于内切圆半径，利用“大三角形面积等于3个小三角形面积之和”列等式，代入数值计算即可求出内切圆半径。
【解析】
(1) $\because AB、BC$是$\odot O$的切线，$D、E$为切点，$\therefore OD⊥AB$，$OE⊥BC$，即$∠ BDO=∠ BEO=90°$。
在四边形$BDOE$中，内角和为$360°$，已知$∠ DOE=120°$，
$\therefore ∠ B=360°-∠ BDO-∠ BEO-∠ DOE=360°-90°-90°-120°=60°$。
又$\because Rt△ ABC$中$∠ A=90°$，$∠ B+∠ C=90°$，
$\therefore ∠ C=90°-60°=30°$。
(2) 如图，连接$OF、AO、BO、CO$，
$\because AB、AC、BC$是$\odot O$的切线，$D、F、E$为切点，$\therefore OD⊥AB,OF⊥AC,OE⊥BC$，且$OD=OE=OF=r$（$r$为$\odot O$的半径）。
$\because Rt△ ABC$中$AB=3,AC=4,∠ BAC=90°$，
$\therefore$由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABO}+S_{△ ACO}+S_{△ BOC}$，
$\therefore \frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}× AB× r+\frac{1}{2}× AC× r+\frac{1}{2}× BC× r$，
代入数值化简得：$6=6r$，解得$r=1$。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$
(2) $\odot O$的半径为$\boxed{1}$
【知识点】
切线的性质；三角形内切圆；勾股定理
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题型，第一问结合切线性质和多边形内角和求解角度，第二问考查内切圆半径的常用求法（面积法），解题时要熟练运用切线的性质，掌握面积法分割图形求半径的思路。
【难度系数】
0.8
