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5. 如图，点 E 是$△ ABC$的内心，AE 的延长线和$△ ABC$的外接圆$\odot O$相交于点 D.
（1）若$∠ BAC=50°$，求$∠ CBD$的度数；
（2）求证：$DB=DE$.
（1）若$∠ BAC=50°$，求$∠ CBD$的度数；
（2）求证：$DB=DE$.
答案
(1) $\because$ 点 E 是$△ ABC$的内心,$∠ BAC=50°$,$\therefore ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=25°$,由圆周角定理,得$∠ CBD=∠ CAD=25°$.
(2) 证明:$\because$ 点 E 是$△ ABC$的内心,$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$,$∠ ABE=∠ CBE$,由圆周角定理,得$∠ CBD=∠ CAD$,$\therefore ∠ BAD=∠ CBD$,$\therefore ∠ BED=∠ BAD+∠ ABE=∠ CBD+∠ CBE=∠ DBE$,$\therefore DB=DE$.
(2) 证明:$\because$ 点 E 是$△ ABC$的内心,$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$,$∠ ABE=∠ CBE$,由圆周角定理,得$∠ CBD=∠ CAD$,$\therefore ∠ BAD=∠ CBD$,$\therefore ∠ BED=∠ BAD+∠ ABE=∠ CBD+∠ CBE=∠ DBE$,$\therefore DB=DE$.
解析
【分析】
（1）求解∠CBD的度数时，首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此AE平分∠BAC，可先算出∠CAD的度数；再结合圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，可知∠CBD与∠CAD均对应弧CD，二者相等，即可求出∠CBD的度数。
（2）要证明DB=DE，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明∠DBE=∠DEB即可。首先利用内心性质得到两组相等的角：∠BAD=∠CAD、∠ABE=∠CBE；再结合圆周角定理得∠CBD=∠CAD，完成等量代换：将∠BED利用三角形外角性质转化为∠BAD+∠ABE，将∠DBE转化为∠CBD+∠CBE，可证两个角相等，即可推出对应边相等。
【解析】
（1）解：
∵点E是△ABC的内心，∠BAC=50°，
∴AE平分∠BAC，即$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
由圆周角定理可知，同弧所对的圆周角相等，$∠ CBD$和$∠ CAD$均为弧CD所对的圆周角，
∴$∠ CBD=∠ CAD=25°$。
（2）证明：
∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，即$∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ABE=∠ CBE$，
由圆周角定理得$∠ CBD=∠ CAD$，
∴$∠ BAD=∠ CBD$，
∵$∠ BED$是△ABE的外角，
∴$∠ BED=∠ BAD+∠ ABE$，
又
∵$∠ DBE=∠ CBD+∠ CBE$，
∴$∠ BED=∠ DBE$，
∴$DB=DE$。
【答案】
(1) $\boxed{25°}$
(2) 证明成立，$DB=DE$
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于圆与三角形的基础综合题，解题的关键是熟练掌握三角形内心的角平分线性质、圆周角定理，通过角的等量代换完成角度计算和等角证明，侧重考查基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）求解∠CBD的度数时，首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此AE平分∠BAC，可先算出∠CAD的度数；再结合圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，可知∠CBD与∠CAD均对应弧CD，二者相等，即可求出∠CBD的度数。
（2）要证明DB=DE，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明∠DBE=∠DEB即可。首先利用内心性质得到两组相等的角：∠BAD=∠CAD、∠ABE=∠CBE；再结合圆周角定理得∠CBD=∠CAD，完成等量代换：将∠BED利用三角形外角性质转化为∠BAD+∠ABE，将∠DBE转化为∠CBD+∠CBE，可证两个角相等，即可推出对应边相等。
【解析】
（1）解：
∵点E是△ABC的内心，∠BAC=50°，
∴AE平分∠BAC，即$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
由圆周角定理可知，同弧所对的圆周角相等，$∠ CBD$和$∠ CAD$均为弧CD所对的圆周角，
∴$∠ CBD=∠ CAD=25°$。
（2）证明：
∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，即$∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ABE=∠ CBE$，
由圆周角定理得$∠ CBD=∠ CAD$，
∴$∠ BAD=∠ CBD$，
∵$∠ BED$是△ABE的外角，
∴$∠ BED=∠ BAD+∠ ABE$，
又
∵$∠ DBE=∠ CBD+∠ CBE$，
∴$∠ BED=∠ DBE$，
∴$DB=DE$。
【答案】
(1) $\boxed{25°}$
(2) 证明成立，$DB=DE$
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于圆与三角形的基础综合题，解题的关键是熟练掌握三角形内心的角平分线性质、圆周角定理，通过角的等量代换完成角度计算和等角证明，侧重考查基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，分别切$AB,BC,AC$于点$D,E,F,∠ B=42°,P$是$\odot O$上一点，则$∠ DPE$的度数是________。
答案
$69°$
解析
【分析】
要求∠DPE的度数，观察可知它是⊙O上弧DE所对的圆周角，根据圆周角定理，只需要先求出弧DE所对的圆心角∠DOE的度数即可。首先连接圆心O和切点D、E，利用切线的性质可得OD⊥AB、OE⊥BC，再结合四边形内角和为360°，代入已知的∠B的度数就能算出∠DOE，最后根据圆周角和圆心角的数量关系求出∠DPE。
【解析】
连接OD、OE，
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E分别是AB、BC边上的切点，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，即$∠ ODB=∠ OEB=90°$，
在四边形ODBE中，内角和为$360°$，已知$∠ B=42°$，
∴$∠ DOE=360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ B=360°-90°-90°-42°=138°$，
∵∠DPE是⊙O中弧DE所对的圆周角，∠DOE是弧DE所对的圆心角，
∴根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
可得$∠ DPE=\frac{1}{2}∠ DOE=\frac{1}{2}×138°=69°$。
【答案】
$69°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，解题的核心是通过连接圆心和切点构造直角，利用四边形内角和求出圆心角，再转化为所求的圆周角，思路清晰，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.75
要求∠DPE的度数，观察可知它是⊙O上弧DE所对的圆周角，根据圆周角定理，只需要先求出弧DE所对的圆心角∠DOE的度数即可。首先连接圆心O和切点D、E，利用切线的性质可得OD⊥AB、OE⊥BC，再结合四边形内角和为360°，代入已知的∠B的度数就能算出∠DOE，最后根据圆周角和圆心角的数量关系求出∠DPE。
【解析】
连接OD、OE，
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E分别是AB、BC边上的切点，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，即$∠ ODB=∠ OEB=90°$，
在四边形ODBE中，内角和为$360°$，已知$∠ B=42°$，
∴$∠ DOE=360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ B=360°-90°-90°-42°=138°$，
∵∠DPE是⊙O中弧DE所对的圆周角，∠DOE是弧DE所对的圆心角，
∴根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
可得$∠ DPE=\frac{1}{2}∠ DOE=\frac{1}{2}×138°=69°$。
【答案】
$69°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，解题的核心是通过连接圆心和切点构造直角，利用四边形内角和求出圆心角，再转化为所求的圆周角，思路清晰，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.75
2. 如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(4,3)，$\odot M$是$△ AOC$的内切圆，点N，点P分别是$\odot M$，x轴上的动点，则$BP+PN$的最小值是
4
。答案
4
解析
【分析】
解题思路分为三步：①先根据矩形顶点B的坐标确定△AOC的各边长，利用直角三角形内切圆半径公式求出内切圆⊙M的半径和圆心坐标；②要求BP+PN的最小值，利用轴对称性质，作点B关于x轴的对称点B'，将BP转化为B'P，把BP+PN转化为B'P+PN；③根据两点之间线段最短，B'到⊙M上点的最短距离为B'到圆心M的距离减去半径，即可求出最小值。
【解析】
解：
∵矩形ABCO中，点B坐标为(4,3)，
∴OA=4，OC=3，∠AOC=90°，
由勾股定理得$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
Rt△AOC的内切圆半径$r=\frac{OA+OC-AC}{2}=\frac{4+3-5}{2}=1$，
∴内切圆圆心M的坐标为(1,1)。
作点B关于x轴的对称点B'，则B'的坐标为(4,-3)，根据轴对称性质可得$BP=B'P$，
∴$BP+PN = B'P+PN$。
当B'、P、N、M四点共线时，$B'P+PN$取得最小值，最小值为B'M的长度减去⊙M的半径r。
由两点间距离公式得$B'M=\sqrt{(4-1)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{9+16}=5$，
∴$BP+PN$的最小值为$5-1=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形内切圆性质，轴对称最短路径，勾股定理
【点评】
本题综合考查了直角三角形内切圆的计算、最短路径的构造及勾股定理的应用，解题的核心是通过对称将线段和的最小值转化为点到圆的最短距离，是几何最值类的典型题型。
【难度系数】
0.6
解题思路分为三步：①先根据矩形顶点B的坐标确定△AOC的各边长，利用直角三角形内切圆半径公式求出内切圆⊙M的半径和圆心坐标；②要求BP+PN的最小值，利用轴对称性质，作点B关于x轴的对称点B'，将BP转化为B'P，把BP+PN转化为B'P+PN；③根据两点之间线段最短，B'到⊙M上点的最短距离为B'到圆心M的距离减去半径，即可求出最小值。
【解析】
解：
∵矩形ABCO中，点B坐标为(4,3)，
∴OA=4，OC=3，∠AOC=90°，
由勾股定理得$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
Rt△AOC的内切圆半径$r=\frac{OA+OC-AC}{2}=\frac{4+3-5}{2}=1$，
∴内切圆圆心M的坐标为(1,1)。
作点B关于x轴的对称点B'，则B'的坐标为(4,-3)，根据轴对称性质可得$BP=B'P$，
∴$BP+PN = B'P+PN$。
当B'、P、N、M四点共线时，$B'P+PN$取得最小值，最小值为B'M的长度减去⊙M的半径r。
由两点间距离公式得$B'M=\sqrt{(4-1)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{9+16}=5$，
∴$BP+PN$的最小值为$5-1=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形内切圆性质，轴对称最短路径，勾股定理
【点评】
本题综合考查了直角三角形内切圆的计算、最短路径的构造及勾股定理的应用，解题的核心是通过对称将线段和的最小值转化为点到圆的最短距离，是几何最值类的典型题型。
【难度系数】
0.6
3. 如图，已知点O是△ABC的内心，∠BAC=80°，P为平面上一点，点O恰好又是△BCP的外心，则∠BPC的度数为 （
A.50°
B.55°
C.65°
D.80°
C
）A.50°
B.55°
C.65°
D.80°
答案
C
解析
【分析】
解题时可以分两步推导：第一步，利用三角形内心的性质求∠BOC的度数：已知O是△ABC的内心，内心是三角形内角平分线的交点，结合∠BAC的度数，先求出∠ABC与∠ACB的和，再得到∠OBC与∠OCB的和，最后根据三角形内角和算出∠BOC。第二步，利用外心性质和圆周角定理求∠BPC：O是△BCP的外心，说明B、C、P在以O为圆心的同一圆上，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠BPC是弧BC对应的圆周角，根据圆周角定理即可求出∠BPC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠BAC=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-80°=100°。
∵点O是△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB) = $\frac{1}{2}$×100°=50°，
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-50°=130°。
又
∵点O是△BCP的外心，
∴点B、C、P在以O为圆心的同一个圆上，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BPC是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠BPC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×130°=65°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质，三角形外心的性质，圆周角定理
【点评】
本题是几何基础综合题，将三角形的内心、外心性质与圆周角定理结合考查，解题的突破口是先求出∠BOC的度数，再利用圆周角定理建立已知角和待求角的关系，需要熟练掌握三角形特殊点的性质和圆周角相关定理。
【难度系数】
0.7
解题时可以分两步推导：第一步，利用三角形内心的性质求∠BOC的度数：已知O是△ABC的内心，内心是三角形内角平分线的交点，结合∠BAC的度数，先求出∠ABC与∠ACB的和，再得到∠OBC与∠OCB的和，最后根据三角形内角和算出∠BOC。第二步，利用外心性质和圆周角定理求∠BPC：O是△BCP的外心，说明B、C、P在以O为圆心的同一圆上，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠BPC是弧BC对应的圆周角，根据圆周角定理即可求出∠BPC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠BAC=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-80°=100°。
∵点O是△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB) = $\frac{1}{2}$×100°=50°，
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-50°=130°。
又
∵点O是△BCP的外心，
∴点B、C、P在以O为圆心的同一个圆上，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BPC是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠BPC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×130°=65°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质，三角形外心的性质，圆周角定理
【点评】
本题是几何基础综合题，将三角形的内心、外心性质与圆周角定理结合考查，解题的突破口是先求出∠BOC的度数，再利用圆周角定理建立已知角和待求角的关系，需要熟练掌握三角形特殊点的性质和圆周角相关定理。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$△ ABC$中，$BC=3$，$AC=4$，$AB=5$，$\odot O$是它的内切圆，用剪刀沿$\odot O$的切线$DE$剪一个$△ ADE$，则$△ ADE$的周长为（
A.4
B.6
C.8
D.10
B
）A.4
B.6
C.8
D.10
答案
B
解析
【分析】
首先由△ABC三边长度3、4、5，可通过勾股定理逆定理判断它是直角三角形。要求△ADE的周长，需利用切线长定理：圆外一点引圆的两条切线长度相等。先求出顶点A到内切圆的两条切线的长度，再将△ADE的周长中的DE拆分为两条切线长，与AD、AE合并后可转化为A点引出的两条切线长之和，即可求出周长。
【解析】
第一步：判断△ABC的形状
∵BC=3，AC=4，AB=5，
∴$BC^2+AC^2=3^2+4^2=25=5^2=AB^2$，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°。
第二步：利用切线长定理求A到内切圆的切线长
设⊙O与AB、BC、AC边的切点分别为H、F、G，根据切线长定理可得：
$AH=AG$，$BH=BF$，$CF=CG$。
设$AH=AG=x$，$BH=BF=y$，$CF=CG=z$，则有：
$\begin{cases}x+y=AB=5 \\y+z=BC=3 \\x+z=AC=4\end{cases}$
将三个式子相加得：$2(x+y+z)=12$，即$x+y+z=6$，
∴$x=6-(y+z)=6-3=3$，即$AH=AG=3$。
第三步：转化△ADE的周长
设DE与⊙O的切点为M，根据切线长定理得：$DM=DH$，$EM=EG$。
∴△ADE的周长$=AD+AE+DE$
$=AD+AE+DM+EM$
$=AD+AE+DH+EG$
$=(AD+DH)+(AE+EG)$
$=AH+AG$
$=3+3=6$。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；勾股定理逆定理；三角形内切圆
【点评】
本题重点考查切线长定理的灵活应用，解题的关键是通过切线长相等将所求三角形的周长转化为从A点引出的两条内切圆切线长的和，解题过程中不需要复杂计算，熟练掌握切线长定理即可快速求解。
【难度系数】
0.6
首先由△ABC三边长度3、4、5，可通过勾股定理逆定理判断它是直角三角形。要求△ADE的周长，需利用切线长定理：圆外一点引圆的两条切线长度相等。先求出顶点A到内切圆的两条切线的长度，再将△ADE的周长中的DE拆分为两条切线长，与AD、AE合并后可转化为A点引出的两条切线长之和，即可求出周长。
【解析】
第一步：判断△ABC的形状
∵BC=3，AC=4，AB=5，
∴$BC^2+AC^2=3^2+4^2=25=5^2=AB^2$，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°。
第二步：利用切线长定理求A到内切圆的切线长
设⊙O与AB、BC、AC边的切点分别为H、F、G，根据切线长定理可得：
$AH=AG$，$BH=BF$，$CF=CG$。
设$AH=AG=x$，$BH=BF=y$，$CF=CG=z$，则有：
$\begin{cases}x+y=AB=5 \\y+z=BC=3 \\x+z=AC=4\end{cases}$
将三个式子相加得：$2(x+y+z)=12$，即$x+y+z=6$，
∴$x=6-(y+z)=6-3=3$，即$AH=AG=3$。
第三步：转化△ADE的周长
设DE与⊙O的切点为M，根据切线长定理得：$DM=DH$，$EM=EG$。
∴△ADE的周长$=AD+AE+DE$
$=AD+AE+DM+EM$
$=AD+AE+DH+EG$
$=(AD+DH)+(AE+EG)$
$=AH+AG$
$=3+3=6$。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；勾股定理逆定理；三角形内切圆
【点评】
本题重点考查切线长定理的灵活应用，解题的关键是通过切线长相等将所求三角形的周长转化为从A点引出的两条内切圆切线长的和，解题过程中不需要复杂计算，熟练掌握切线长定理即可快速求解。
【难度系数】
0.6
