5. 如图,以 AB 为直径的$\odot O$经过$△ ABC$的顶点 C,点 E 是$△ ABC$的内心,连接 AE 并延长交$\odot O$于点 D,连接 BE,BD.
(1) 试判断$△ BDE$的形状并证明;
(2) 若$BE=5\sqrt{2},∠BAC=60°$,求图中阴影部分的面积.

(1) 解:$△ BDE$是等腰直角三角形,证明:$\because AB$为直径,$\therefore ∠ ADB=90°$. $\because$ 点 E 是$△ ABC$的内心,$\therefore AE,BE$分别平分$∠ BAC、∠ ABC$,$\therefore ∠ BAE=∠ CAD$,$∠ ABE=∠ CBE$. $\because ∠ CAD=∠ CBD$,$\therefore ∠ CBD=∠ BAE$. $\because ∠ DBE=∠ CBD+∠ CBE$,$∠ BED=∠ ABE+∠ BAE$,$\therefore ∠ DBE=∠ BED$,$\therefore BD=DE$,$\therefore △ BDE$是等腰直角三角形.
(2) 如图,连接$OC,OD$,$OD$与$BC$交于点$F$,由(1)可知$△ BDE$是等腰直角三角形,$\therefore BD^2+DE^2=BE^2$,$\therefore BD^2+BD^2=(5\sqrt{2})^2$,$\therefore BD=5$. $\because AE$平分$∠ BAC$,$∠ BAC=60°$,$\therefore ∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$,$∠ BOC=2∠ BAC=2×60°=120°$,$\therefore ∠ BOD=∠ COD=2∠ BAD=2×30°=60°$. $\because OB=OD=OC$,$\therefore △ OBD$为等边三角形,$OD⊥ BC$,$\therefore OB=BD=5$. $\because OB=OC$,$\therefore ∠ OBC=∠ OCB=30°$,$\therefore OF=\frac{1}{2}OB=\frac{5}{2}$,$\therefore BF=\sqrt{OB^2-OF^2}=\sqrt{5^2-(\frac{5}{2})^2}=\frac{5}{2}\sqrt{3}$,$\therefore BC=2BF=5\sqrt{3}$,$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{扇形}OBC}-S_{△ OBC}=\frac{120π×5^2}{360}-\frac{1}{2}· BC· OF=\frac{25π}{3}-\frac{1}{2}×5\sqrt{3}×\frac{5}{2}=\frac{25π}{3}-\frac{25}{4}\sqrt{3}$.

【分析】
(1) 要判断△BDE的形状，首先利用直径所对圆周角为直角，可得∠ADB=90°，接下来只需证明BD=DE即可：根据三角形内心的性质，AE、BE分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，结合同弧所对圆周角相等，将∠DBE和∠BED分别拆分为两个角的和，通过等量代换证明两个角相等，即可得BD=DE，从而判断三角形形状。
(2) 求阴影部分面积，首先利用(1)中等腰直角三角形的性质，结合已知BE的长度用勾股定理求出BD的长；再根据角平分线定义得∠BAD=30°，由圆周角定理得对应的圆心角∠BOD=60°，判定△OBD为等边三角形得到圆的半径；阴影部分为弓形BC，可转化为扇形OBC的面积减去△OBC的面积，分别计算两个规则图形的面积作差即可。
【解析】
(1) △BDE是等腰直角三角形，证明如下：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°。
∵点E是△ABC的内心，
∴AE、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠CBE。
∵∠CAD和∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠CAD=∠CBD，
∴∠CBD=∠BAE。
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠BED，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形。
(2) 连接OC,OD，OD与BC交于点F：
由(1)可知△BDE是等腰直角三角形，
∴BD²+DE²=BE²，
又
∵BD=DE，BE=5√2，
∴2BD²=(5√2)²，解得BD=5。
∵AE平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC=30°，
根据圆周角定理，∠BOC=2∠BAC=120°，∠BOD=2∠BAD=60°，
∴∠COD=∠BOD=60°。
∵OB=OD，∠BOD=60°，
∴△OBD为等边三角形，
∴OB=BD=5，即⊙O的半径为5。
∵弧BD=弧CD，
∴OD垂直平分BC，即OD⊥BC，F为BC中点。
∵OB=OC，∠BOC=120°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
在Rt△OBF中，OF=1/2OB=5/2，
BF=√(OB²-OF²)=√(5²-(5/2)²)=5√3/2，
∴BC=2BF=5√3。
∴阴影部分面积=扇形OBC的面积 - △OBC的面积，
即$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{120π×5^2}{360} - \frac{1}{2}×BC×OF = \frac{25π}{3} - \frac{1}{2}×5\sqrt{3}×\frac{5}{2} = \frac{25π}{3} - \frac{25\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
(1) △BDE是等腰直角三角形，证明见解析；
(2) 阴影部分的面积为$\frac{25π}{3}-\frac{25\sqrt{3}}{4}$。

【知识点】
1.三角形内心的性质
2.圆周角定理
3.扇形面积计算
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，既考查了等腰三角形、等边三角形的判定和性质，又考查了圆周角定理、扇形面积的计算，解题时注意用割补法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差，需具备一定的逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6

6. 如图△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC，PD＝3.
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）求⊙O的直径；
（3）当点B在CD下方运动时，直接写出△ABC内心的运动路线长是.

(1) 证明:如图①,连接$AO,AD$,$\because CD$是圆 O 的直径,$\therefore ∠ CAD=90°$. $\because ∠ B=60°$,$\therefore ∠ ADC=60°$. $\because AO=DO$,$\therefore △ AOD$是等边三角形,$\therefore ∠ OAD=60°$. $\because AP=AC$,$\because CD$是$\odot O$直径,$\therefore ∠ CAD=90°$,$\therefore ∠ P=∠ ACP=30°$,$\therefore ∠ PAD=30°$,$\therefore ∠ PAO=30°+60°=90°$,$\therefore AO⊥ PA$. $\because A$点在圆上,$\therefore PA$是$\odot O$的切线.
(2) 由(1)可知,$∠ P=∠ PAD=30°$,$\therefore PD=AD$. $\because PD=3$,$\therefore AD=3$. $\because ∠ ACD=30°$,$∠ CAD=90°$,$\therefore CD=2AD=6$,$\therefore \odot O$的直径是6.
(3) 设$△ ABC$的内切圆圆心为 M,如图②,连接$AM,CM,BM$,$\because ∠ ABC=60°$,$\therefore ∠ BAC+∠ BCA=120°$. $\because AM$是$∠ BAC$的平分线,$CM$是$∠ BCA$的平分线,$\therefore ∠ MAC+∠ MCA=60°$,$\therefore ∠ AMC=120°$. 由(2)可知,$AC=\sqrt{CD^2-AD^2}=3\sqrt{3}$,$\therefore$ 点 M 在以 AC 为弦,AC 弦所对的圆周角为$120°$的圆上. 作$△ AMC$的外接圆,圆心为点 N,连接$AN,CN$,$\because ∠ AMC=120°$,$\therefore ∠ ANC=120°$,$\therefore ∠ ABC+∠ ANC=180°$,$\therefore$ 点 N 在$\odot O$上. 连接$ON$,$\because AN=CN$,$\therefore ∠ CON=∠ ABC=60°$,$\therefore △ OCN$是等边三角形,$\therefore CN=OC=3$. 当点 B 与点 D 重合时,$∠ CNB=90°$. $\therefore △ ABC$内心的运动路线长是$\frac{1}{4}×2π×3=\frac{3}{2}π$.

【分析】
（1）要证明PA是⊙O的切线，根据切线判定定理，需连接半径OA，证明OA⊥PA。先利用直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等得到∠ADC=∠B=60°，结合AO=DO推出△AOD是等边三角形，得到∠OAD=60°；再由AP=AC求出∠P=∠ACP=30°，进而推出∠PAO=90°即可得证。
（2）求⊙O的直径，由（1）的角度推导可得∠P=∠PAD=30°，因此AD=PD=3，再在Rt△ACD中利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，即可求出CD=2AD=6。
（3）三角形内心是内角平分线的交点，先推导得∠AMC恒为120°，根据定弦定角可知内心M的轨迹是AC为弦、所对圆周角为120°的一段圆弧，找到该圆弧的圆心、半径和对应圆心角，代入弧长公式即可求出运动路线长。
【解析】
(1) 证明：如图①，连接$AO,AD$，
∵CD是$\odot O$的直径，
∴$∠CAD=90°$。
∵同弧AC所对圆周角相等，$∠B=60°$，
∴$∠ADC=∠B=60°$。
∵$AO=DO$，
∴$△AOD$是等边三角形，
∴$∠OAD=60°$。
∵$AP=AC$，
∴$∠P=∠ACP$，又
∵$∠ADC=60°$，$∠CAD=90°$，
∴$∠ACP=30°$，即$∠P=30°$。
∴$∠PAD=∠ADC-∠P=60°-30°=30°$，
∴$∠PAO=∠PAD+∠OAD=30°+60°=90°$，即$AO⊥PA$。
∵A在$\odot O$上，
∴PA是$\odot O$的切线。
(2) 解：由(1)可知$∠P=∠PAD=30°$，
∴$AD=PD$。
∵$PD=3$，
∴$AD=3$。
在$Rt△ACD$中，$∠ACD=30°$，
∴$CD=2AD=6$，即$\odot O$的直径为6。
(3) 解：设$△ABC$的内心为M，连接$AM,CM$，
∵$∠ABC=60°$，
∴$∠BAC+∠BCA=180°-60°=120°$。
∵AM平分$∠BAC$，CM平分$∠BCA$，
∴$∠MAC+∠MCA=\frac{1}{2}(∠BAC+∠BCA)=60°$，
∴$∠AMC=180°-60°=120°$。
由(2)可得$AC=\sqrt{CD^2-AD^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，因此点M在以AC为弦，弦所对圆周角为$120°$的圆上。
作$△AMC$的外接圆，圆心为N，连接$AN,CN$，
∵$∠AMC=120°$，
∴优弧AC所对的圆心角$∠ANC=120°$，可知$∠ABC+∠ANC=180°$，故点N在$\odot O$上。
∵$AN=CN$，$OC=ON=3$，$∠CON=60°$，
∴$△OCN$是等边三角形，外接圆半径为3。
当B运动到CD下方时，内心M的轨迹对应的圆心角为90°，故运动路线长为$\frac{90°}{360°}×2π×3=\frac{3}{2}π$。

【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\odot O$的直径为$\boxed{6}$；
(3) $\boxed{\dfrac{3}{2}π}$

【知识点】
切线的判定，圆周角定理，三角形内心的性质
【点评】
本题综合考查圆的基础性质与三角形相关知识，前两问侧重基础，考查角度推导和直角三角形性质的应用，第三问为轨迹类问题，需要结合定弦定角的规律判断内心的运动路径，对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4