5. 如图，P为$\odot O$外一点，PA，PB分别切$\odot O$于A，B.连接PO，交$\odot O$于点D，延长PO，交$\odot O$于点C.连接AC，BC.连接AO并延长，交BC于点E.
（1）证明：点D是$\overset{\frown}{AB}$的中点；
（2）若点E是BC的中点，求$∠ APC$的度数.

(1) 证明:
∵PA,PB分别切⊙O于A,B,
∴PA=PB,∠APC=∠BPC.又PC=PC,
∴△APC≌△BPC,
∴∠ACP=∠BCP,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,即点 D 是$\overset{\frown}{AB}$的中点.
(2)
∵点 E 是 BC 的中点,
∴AE⊥BC,
∴AE 垂直平分 BC.如图,连接 AB,则 AB=AC,由(1),得△APC≌△BPC,
∴AC=BC,
∴△ABC 是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∴∠BCP=∠ACP=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°.
∵PA 是⊙O 的切线,
∴PA⊥AE,
∴PA//BC,
∴∠APC=∠BCP=30°.

【分析】
（1）要证明点D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，只需证明$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，根据圆周角定理，只要证明两角所对的圆周角$∠ ACP=∠ BCP$即可。首先利用切线长定理得到$PA=PB$、$∠ APC=∠ BPC$，结合公共边$PC$证明$△ APC≌△ BPC$，即可得到对应角相等，进而推出弧相等。
（2）已知E是BC中点，AE过圆心O，根据垂径定理可得AE垂直平分BC，因此$AB=AC$；结合（1）的全等结论可得$AC=BC$，即$△ ABC$是等边三角形，得到$∠ ACB=60°$，进而推出$∠ ACP=30°$；再根据切线的性质得$PA⊥ OA$，结合$OA⊥ BC$可得$PA// BC$，利用平行线内错角相等即可求出$∠ APC$的度数。
【解析】
(1) 证明:
∵PA,PB分别切$\odot O$于A,B,
∴$PA=PB$,$∠ APC=∠ BPC$.
又
∵$PC=PC$,
∴$△ APC≌△ BPC$（SAS）,
∴$∠ ACP=∠ BCP$,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,即点 D 是$\overset{\frown}{AB}$的中点.
(2) 解：
∵点 E 是 BC 的中点，AE过圆心O,
∴$AE⊥ BC$，即AE垂直平分BC.
连接AB，则$AB=AC$,
由(1)得$△ APC≌△ BPC$,
∴$AC=BC$,
∴$AB=AC=BC$，即$△ ABC$是等边三角形,
∴$∠ ACB=60°$,
∴$∠ BCP=∠ ACP=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$.
∵PA 是$\odot O$的切线,
∴$PA⊥ AO$，即$PA⊥ AE$,
又
∵$AE⊥ BC$,
∴$PA// BC$,
∴$∠ APC=∠ BCP=30°$.
【答案】

【知识点】
切线长定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与三角形全等、等边三角形的判定，解题时需熟练掌握切线性质、圆周角与弧的对应关系等知识点，学会结合已知条件构造辅助线、梳理几何量之间的逻辑关系，对几何推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

6. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AB是$\odot O$的直径,过点D作$\odot O$的切线交BC的延长线于点E,交BA的延长线于点F,且$DE ⊥ BE$.过点A作$\odot O$的切线交EF于点G,连接AC.
(1) 求证:AD平分$∠ GAC$;
(2) 若$AD=5$,$AB=9$,求线段DE的长.

(1) 证明:
∵GA,GD 是⊙O 的切线,
∴GA=GD,
∴∠GAD=∠GDA.
∵AB 是⊙O 的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC⊥BE.
∵DE⊥BE,
∴AC//DE,
∴∠CAD=∠GDA,
∴∠GAD=∠CAD,
∴AD 平分∠GAC.
(2) 如图,连接 OD,交 AC 于点 H,
∵DE 是⊙O 的切线,
∴OD⊥DE,
∴∠ODE=90°.由(1)知,AC//DE,
∴OD⊥AC,
∴AH=CH=$\frac{1}{2}$AC,∠AHD=∠CHD=90°.
∵OA=OB,
∴OH 是△ABC 的中位线,
∴OH=$\frac{1}{2}$BC.
∵AB=9,
∴OD=$\frac{9}{2}$.设 OH=x,则 DH=$\frac{9}{2}-x$,BC=2x,
∴AC²=AB²-BC²=81-4x²,
∴(2AH)²=81-4x²,
∴AH²=$\frac{81}{4}-x²$.
∵AH²=AD²-DH²,AD=5,
∴$\frac{81}{4}-x²=5^2-(\frac{9}{2}-x)^2$,
∴x=$\frac{31}{18}$,
∴AH=$\sqrt{\frac{81}{4}-x²}=\frac{10\sqrt{14}}{9}$.
∵∠HCE=180°-∠ACB=90°=∠ODE=∠CHD,
∴四边形 CHDE 是矩形,
∴DE=CH=AH=$\frac{10\sqrt{14}}{9}$.

【分析】
(1) 要证明AD平分∠GAC，核心是证∠GAD=∠CAD。首先利用切线长定理可得GA=GD，推出∠GAD=∠GDA；再结合AB是圆的直径，可得∠ACB=90°，结合DE⊥BE可推出AC//DE，得到∠CAD=∠GDA，通过等量代换即可完成证明。
(2) 求DE的长，可先连接OD交AC于点H，根据切线性质得OD⊥DE，结合AC//DE可得OD⊥AC，由垂径定理得AH=CH，且OH是△ABC的中位线。设OH=x，利用勾股定理分别表示AH²，建立方程求解x，再证明四边形CHDE是矩形，可得DE=CH=AH，代入计算即可得到DE的长度。
【解析】
(1) 证明:
∵GA,GD 是$\odot O$的切线,
∴GA=GD,
∴∠GAD=∠GDA.
∵AB 是$\odot O$的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC⊥BE.
∵DE⊥BE,
∴AC//DE,
∴∠CAD=∠GDA,
∴∠GAD=∠CAD,
∴AD 平分$∠ GAC$.
(2) 解:连接 OD,交 AC 于点 H,
∵DE 是$\odot O$的切线,
∴OD⊥DE,
∴∠ODE=90°.由(1)知,AC//DE,
∴OD⊥AC,
∴AH=CH=$\frac{1}{2}$AC,∠AHD=∠CHD=90°.
∵OA=OB,
∴OH 是△ABC的中位线,
∴OH=$\frac{1}{2}$BC.
∵AB=9,
∴OD=$\frac{9}{2}$.设 OH=x,则 DH=$\frac{9}{2}-x$,BC=2x,
∴AC²=AB²-BC²=81-4x²,
∴(2AH)²=81-4x²,
∴AH²=$\frac{81}{4}-x²$.
∵AH²=AD²-DH²,AD=5,
∴$\frac{81}{4}-x²=5^2-(\frac{9}{2}-x)^2$,
解得$x=\frac{31}{18}$,
∴AH=$\sqrt{\frac{81}{4}-x²}=\frac{10\sqrt{14}}{9}$.
∵∠HCE=180°-∠ACB=90°=∠ODE=∠CHD,
∴四边形 CHDE 是矩形,
∴DE=CH=AH=$\frac{10\sqrt{14}}{9}$.
【答案】

【知识点】
切线的性质、圆周角定理、矩形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的综合应用题，融合了圆的基础性质、特殊四边形的判定、勾股定理等多个知识点，解题的关键是合理添加辅助线，结合方程思想求解线段长度，对学生的几何知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6