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5. 如图，AC与$\odot O$相切于点C，AB经过$\odot O$上的点D，BC交$\odot O$于点E，$DE// OA$，CE是$\odot O$的直径.
（1）求证：AB是$\odot O$的切线；
（2）当$AC=6$，$BD=4$时，求$\odot O$的半径长.
（1）求证：AB是$\odot O$的切线；
（2）当$AC=6$，$BD=4$时，求$\odot O$的半径长.
答案
（1）证明:如图,连接OD,
∵OE=OD,
∴∠OED=∠ODE.
∵DE//OA,
∴∠OED=∠AOC,∠ODE=∠AOD,
∴∠AOC=∠AOD.在△AOD 和△AOC 中,$\begin{cases} AO=AO, \\ ∠AOD=∠AOC, \\ OD=OC. \end{cases}$
∴△AOD ≌△AOC(SAS),
∴∠ADO=∠ACO.
∵AC 与⊙O 相切,
∴∠ADO=∠ACO=90°.又 OD 是⊙O 的半径,
∴AB 是⊙O 的切线.
（2）
∵AB 是⊙O 的切线,AC 与⊙O 相切,AC=6,
∴AD=AC=6,∠ACO=∠ADO=∠BDO=90°.
∵BD=4,
∴AB=AD+BD=10,
∴BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}$=8.
∵∠BDO=90°,
∴BD²+OD²=BO².
∵OD=OC,BO=BC-OC,
∴4²+OD²=(8-OD)²,解得 OD=3,即⊙O 的半径长为 3.
解析
【分析】
（1）要证明AB是$\odot O$的切线，已知AB经过圆上点D，根据切线判定定理，只需证明$OD⊥ AB$即可。首先连接辅助线OD，利用等腰三角形性质和平行线的性质推导角相等，证明$△ AOD$与$△ AOC$全等，结合AC是切线得到$∠ ACO=90°$，进而推出$∠ ADO=90°$，完成切线证明。
（2）先根据切线长定理得到$AD=AC$，求出AB的长度，再在$Rt△ ABC$中用勾股定理算出BC的长度，最后设$\odot O$半径为r，在$Rt△ BDO$中利用勾股定理列方程求解，即可得到半径的长度。
【解析】
（1）证明：如图，连接OD，
$\because OE=OD$，
$\therefore ∠ OED=∠ ODE$。
$\because DE// OA$，
$\therefore ∠ OED=∠ AOC,∠ ODE=∠ AOD$，
$\therefore ∠ AOC=∠ AOD$。
在$△ AOD$和$△ AOC$中，
$\begin{cases} AO=AO, \\ ∠ AOD=∠ AOC, \\ OD=OC. \end{cases}$
$\therefore △ AOD≌△ AOC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ADO=∠ ACO$。
$\because AC$与$\odot O$相切，
$\therefore ∠ ACO=90°$，
$\therefore ∠ ADO=90°$，又OD是$\odot O$的半径，
$\therefore AB$是$\odot O$的切线。
（2）解：$\because AB$是$\odot O$的切线，AC与$\odot O$相切，$AC=6$，
根据切线长定理可得$AD=AC=6$，且$∠ ACO=∠ ADO=∠ BDO=90°$。
$\because BD=4$，
$\therefore AB=AD+BD=6+4=10$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
设$\odot O$的半径为r，则$OD=OC=r$，$BO=BC-OC=8-r$，
在$Rt△ BDO$中，由勾股定理得：$BD^2+OD^2=BO^2$，
即$4^2+r^2=(8-r)^2$，
展开化简得$16r=48$，解得$r=3$，
即$\odot O$的半径长为3。
【答案】
【知识点】
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问考查切线的判定，掌握“连半径、证垂直”的常用辅助线作法是解题关键；第二问结合切线长定理和勾股定理，利用方程思想求解半径，难度适中，需要熟练掌握圆的切线相关性质及几何问题的方程求解方法。
【难度系数】
0.7
（1）要证明AB是$\odot O$的切线，已知AB经过圆上点D，根据切线判定定理，只需证明$OD⊥ AB$即可。首先连接辅助线OD，利用等腰三角形性质和平行线的性质推导角相等，证明$△ AOD$与$△ AOC$全等，结合AC是切线得到$∠ ACO=90°$，进而推出$∠ ADO=90°$，完成切线证明。
（2）先根据切线长定理得到$AD=AC$，求出AB的长度，再在$Rt△ ABC$中用勾股定理算出BC的长度，最后设$\odot O$半径为r，在$Rt△ BDO$中利用勾股定理列方程求解，即可得到半径的长度。
【解析】
（1）证明：如图，连接OD，
$\because OE=OD$，
$\therefore ∠ OED=∠ ODE$。
$\because DE// OA$，
$\therefore ∠ OED=∠ AOC,∠ ODE=∠ AOD$，
$\therefore ∠ AOC=∠ AOD$。
在$△ AOD$和$△ AOC$中，
$\begin{cases} AO=AO, \\ ∠ AOD=∠ AOC, \\ OD=OC. \end{cases}$
$\therefore △ AOD≌△ AOC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ADO=∠ ACO$。
$\because AC$与$\odot O$相切，
$\therefore ∠ ACO=90°$，
$\therefore ∠ ADO=90°$，又OD是$\odot O$的半径，
$\therefore AB$是$\odot O$的切线。
（2）解：$\because AB$是$\odot O$的切线，AC与$\odot O$相切，$AC=6$，
根据切线长定理可得$AD=AC=6$，且$∠ ACO=∠ ADO=∠ BDO=90°$。
$\because BD=4$，
$\therefore AB=AD+BD=6+4=10$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
设$\odot O$的半径为r，则$OD=OC=r$，$BO=BC-OC=8-r$，
在$Rt△ BDO$中，由勾股定理得：$BD^2+OD^2=BO^2$，
即$4^2+r^2=(8-r)^2$，
展开化简得$16r=48$，解得$r=3$，
即$\odot O$的半径长为3。
【答案】
【知识点】
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问考查切线的判定，掌握“连半径、证垂直”的常用辅助线作法是解题关键；第二问结合切线长定理和勾股定理，利用方程思想求解半径，难度适中，需要熟练掌握圆的切线相关性质及几何问题的方程求解方法。
【难度系数】
0.7
1. 如图,在△ABC中,已知∠ABC=90°,在AB上取一点E,以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D,AE=2 cm,AD=4 cm.则⊙O的直径BE的长是
（第1题）
6
cm,△ABC的面积是24
cm².（第1题）答案
6 24
解析
【分析】
求解本题分两步：①求直径BE：连接OD，根据切线的性质可得OD⊥AC，构造出Rt△ADO，设⊙O半径为r，将Rt△ADO的三边用含r的式子表示，再利用勾股定理列方程即可求出半径，进而得到直径BE的长；②求△ABC的面积：先根据切线长定理可得CD=BC，设BC为x，将Rt△ABC的三边用含x的式子表示，利用勾股定理求出BC的长，再结合直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求BE的长：
连接OD，
∵AC是⊙O的切线，切点为D，
∴OD⊥AC，即∠ADO=90°。
设⊙O的半径为r cm，则OD=OE=OB=r cm，
∴AO=AE+EO=(2+r)cm，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：$AD^2+OD^2=AO^2$，
代入数据得：$4^2+r^2=(2+r)^2$，
展开得：$16+r^2=4+4r+r^2$，
化简得：$4r=12$，解得$r=3$，
∴BE=2r=6 cm。
2. 求△ABC的面积：
∵∠ABC=90°，OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线，
又
∵AC是⊙O的切线，切点为D，
∴CD=BC（切线长定理），
设BC=x cm，则AC=AD+CD=(4+x)cm，
AB=AE+BE=2+6=8 cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：$AB^2+BC^2=AC^2$，
代入数据得：$8^2+x^2=(4+x)^2$，
展开得：$64+x^2=16+8x+x^2$，
化简得：$8x=48$，解得$x=6$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×8×6=24 \ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
6；24
【知识点】
切线的性质；勾股定理；切线长定理
【点评】
本题是圆的切线应用的典型题型，解题核心是通过添加辅助线构造直角三角形，结合方程思想求解线段长度，同时考查了切线长定理的应用，综合性适中，需要熟练掌握切线相关性质。
【难度系数】
0.7
求解本题分两步：①求直径BE：连接OD，根据切线的性质可得OD⊥AC，构造出Rt△ADO，设⊙O半径为r，将Rt△ADO的三边用含r的式子表示，再利用勾股定理列方程即可求出半径，进而得到直径BE的长；②求△ABC的面积：先根据切线长定理可得CD=BC，设BC为x，将Rt△ABC的三边用含x的式子表示，利用勾股定理求出BC的长，再结合直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求BE的长：
连接OD，
∵AC是⊙O的切线，切点为D，
∴OD⊥AC，即∠ADO=90°。
设⊙O的半径为r cm，则OD=OE=OB=r cm，
∴AO=AE+EO=(2+r)cm，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：$AD^2+OD^2=AO^2$，
代入数据得：$4^2+r^2=(2+r)^2$，
展开得：$16+r^2=4+4r+r^2$，
化简得：$4r=12$，解得$r=3$，
∴BE=2r=6 cm。
2. 求△ABC的面积：
∵∠ABC=90°，OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线，
又
∵AC是⊙O的切线，切点为D，
∴CD=BC（切线长定理），
设BC=x cm，则AC=AD+CD=(4+x)cm，
AB=AE+BE=2+6=8 cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：$AB^2+BC^2=AC^2$，
代入数据得：$8^2+x^2=(4+x)^2$，
展开得：$64+x^2=16+8x+x^2$，
化简得：$8x=48$，解得$x=6$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×8×6=24 \ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
6；24
【知识点】
切线的性质；勾股定理；切线长定理
【点评】
本题是圆的切线应用的典型题型，解题核心是通过添加辅助线构造直角三角形，结合方程思想求解线段长度，同时考查了切线长定理的应用，综合性适中，需要熟练掌握切线相关性质。
【难度系数】
0.7
2. 在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M，N，⊙O与AB，AC相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（
A.$2,22.5°$
B.$3,30°$
C.$3,22.5°$
D.$2,30°$
A
）A.$2,22.5°$
B.$3,30°$
C.$3,22.5°$
D.$2,30°$
答案
A
解析
【分析】
遇到圆的切线相关问题，首先考虑连接切点与圆心得到垂直于切线的半径，这是常用辅助线做法。第一步求半径：已知AB是切线，可得OD⊥AB，结合△ABC是等腰直角三角形、∠A=90°，可推出OD平行于AC，再结合O是BC中点，能判断OD是△ABC的中位线，即可求出半径长度。第二步求角度：∠MND是弧MD对应的圆周角，同弧对应的圆心角是∠BOD，先求出∠BOD的度数，再利用圆周角定理即可算出∠MND的度数。
【解析】
连接OD，
1. 求半径：
∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，
∴AC⊥AB，∠B=45°，
∴OD//AC，
又
∵O是BC中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴$OD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，即⊙O的半径为2。
2. 求∠MND的度数：
在Rt△ODB中，∠ODB=90°，∠B=45°，
∴∠BOD=90°-∠B=45°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠MND和∠BOD均对应弧MD，
∴$∠MND=\frac{1}{2}∠BOD=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，核心考查切线的性质、圆周角定理的应用，解题关键是掌握切线类问题的常用辅助线做法，结合三角形的特征即可快速求解。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线相关问题，首先考虑连接切点与圆心得到垂直于切线的半径，这是常用辅助线做法。第一步求半径：已知AB是切线，可得OD⊥AB，结合△ABC是等腰直角三角形、∠A=90°，可推出OD平行于AC，再结合O是BC中点，能判断OD是△ABC的中位线，即可求出半径长度。第二步求角度：∠MND是弧MD对应的圆周角，同弧对应的圆心角是∠BOD，先求出∠BOD的度数，再利用圆周角定理即可算出∠MND的度数。
【解析】
连接OD，
1. 求半径：
∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，
∴AC⊥AB，∠B=45°，
∴OD//AC，
又
∵O是BC中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴$OD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，即⊙O的半径为2。
2. 求∠MND的度数：
在Rt△ODB中，∠ODB=90°，∠B=45°，
∴∠BOD=90°-∠B=45°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠MND和∠BOD均对应弧MD，
∴$∠MND=\frac{1}{2}∠BOD=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，核心考查切线的性质、圆周角定理的应用，解题关键是掌握切线类问题的常用辅助线做法，结合三角形的特征即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C是$\odot O$外一点，过点C的两条直线分别与圆相切于点B，D，点E是圆周上任意一点，连接AE，DE，若$∠ C=70°$，则$∠ AED$的度数为 （
A.$50°$
B.$40°$
C.$25°$
D.$35°$
D
）A.$50°$
B.$40°$
C.$25°$
D.$35°$
答案
D
解析
【分析】
遇到切线相关问题，首先考虑切线的性质：切线垂直于过切点的半径，所以先连接OD，得到两个直角；再利用四边形内角和计算出圆心角∠BOD的度数，进而求出弧AD对应的圆心角∠AOD的度数，最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠AED的度数。
【解析】
解：连接OD，
∵ CB、CD分别与$\odot O$相切于点B、D，
∴ $OB⊥ BC$，$OD⊥ CD$，即$∠ OBC=∠ ODC=90°$，
在四边形OBCD中，内角和为$360°$，已知$∠ C=70°$，
∴ $∠ BOD=360°-∠ OBC-∠ ODC-∠ C=360°-90°-90°-70°=110°$，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AOB=180°$，
∴ $∠ AOD=∠ AOB-∠ BOD=180°-110°=70°$，
∵ $∠ AED$是弧AD所对的圆周角，$∠ AOD$是弧AD所对的圆心角，
根据圆周角定理得：$∠ AED=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×70°=35°$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是正确连接辅助线OD，结合切线性质构造直角，再通过角度关系和圆周角定理求解，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
遇到切线相关问题，首先考虑切线的性质：切线垂直于过切点的半径，所以先连接OD，得到两个直角；再利用四边形内角和计算出圆心角∠BOD的度数，进而求出弧AD对应的圆心角∠AOD的度数，最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠AED的度数。
【解析】
解：连接OD，
∵ CB、CD分别与$\odot O$相切于点B、D，
∴ $OB⊥ BC$，$OD⊥ CD$，即$∠ OBC=∠ ODC=90°$，
在四边形OBCD中，内角和为$360°$，已知$∠ C=70°$，
∴ $∠ BOD=360°-∠ OBC-∠ ODC-∠ C=360°-90°-90°-70°=110°$，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AOB=180°$，
∴ $∠ AOD=∠ AOB-∠ BOD=180°-110°=70°$，
∵ $∠ AED$是弧AD所对的圆周角，$∠ AOD$是弧AD所对的圆心角，
根据圆周角定理得：$∠ AED=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×70°=35°$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是正确连接辅助线OD，结合切线性质构造直角，再通过角度关系和圆周角定理求解，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图，$PA$，$PB$切$\odot O$于$A$，$B$，$PO$及其延长线分别交$\odot O$于$C$，$D$，$AE$为$\odot O$的直径，连接$AB$，$AC$，下列结论：① $\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{DE}$；② $∠ ABP=∠ DOE$；③ $AC$平分$∠ PAB$；④ $∠ CAB=∠ BAE$，其中正确的有 （
A.①②③
B.①②③④
C.①②④
D.②③④
A
）A.①②③
B.①②③④
C.①②④
D.②③④
答案
A
解析
【分析】
首先结合切线的性质、切线长定理得到PA=PB，PO平分∠APB且垂直平分AB，OA⊥PA、OB⊥PB，再利用同圆中圆心角、弧、角的等量关系，逐个验证4个结论是否成立即可。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 验证结论①：
∵PA、PB切$\odot O$于A、B，根据切线长定理推论，PO平分$∠ AOB$，即$∠ AOP=∠ BOP$，
又
∵$∠ AOP=∠ DOE$（对顶角相等），
∴$∠ BOP=∠ DOE$，
同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{DE}$，①正确。
2. 验证结论②：
∵PB切$\odot O$于B，
∴OB⊥PB，即$∠ ABP+∠ ABO=90°$，
由切线长定理得PO⊥AB，即$∠ BOC+∠ ABO=90°$，
∴$∠ ABP=∠ BOC$，结合①的结论$∠ BOC=∠ DOE$，可得$∠ ABP=∠ DOE$，②正确。
3. 验证结论③：
∵PA切$\odot O$于A，
∴OA⊥PA，即$∠ PAC+∠ OAC=90°$，
∵PO⊥AB，
∴$∠ CAB+∠ ACO=90°$，
又
∵OA=OC，
∴$∠ OAC=∠ ACO$，
∴$∠ PAC=∠ CAB$，即AC平分$∠ PAB$，③正确。
4. 验证结论④：
该结论仅在特殊角度下成立，举反例：当$∠ APB=90°$时，四边形PAOB为正方形，此时$∠ CAB=22.5°$，$∠ BAE=45°$，二者不相等，故④错误。
综上，正确的结论为①②③。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；切线长定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于圆的切线相关的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线的性质和切线长定理，结合同圆中角和弧的等量对应关系逐一判断即可。
【难度系数】
0.7
首先结合切线的性质、切线长定理得到PA=PB，PO平分∠APB且垂直平分AB，OA⊥PA、OB⊥PB，再利用同圆中圆心角、弧、角的等量关系，逐个验证4个结论是否成立即可。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 验证结论①：
∵PA、PB切$\odot O$于A、B，根据切线长定理推论，PO平分$∠ AOB$，即$∠ AOP=∠ BOP$，
又
∵$∠ AOP=∠ DOE$（对顶角相等），
∴$∠ BOP=∠ DOE$，
同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{DE}$，①正确。
2. 验证结论②：
∵PB切$\odot O$于B，
∴OB⊥PB，即$∠ ABP+∠ ABO=90°$，
由切线长定理得PO⊥AB，即$∠ BOC+∠ ABO=90°$，
∴$∠ ABP=∠ BOC$，结合①的结论$∠ BOC=∠ DOE$，可得$∠ ABP=∠ DOE$，②正确。
3. 验证结论③：
∵PA切$\odot O$于A，
∴OA⊥PA，即$∠ PAC+∠ OAC=90°$，
∵PO⊥AB，
∴$∠ CAB+∠ ACO=90°$，
又
∵OA=OC，
∴$∠ OAC=∠ ACO$，
∴$∠ PAC=∠ CAB$，即AC平分$∠ PAB$，③正确。
4. 验证结论④：
该结论仅在特殊角度下成立，举反例：当$∠ APB=90°$时，四边形PAOB为正方形，此时$∠ CAB=22.5°$，$∠ BAE=45°$，二者不相等，故④错误。
综上，正确的结论为①②③。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；切线长定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于圆的切线相关的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线的性质和切线长定理，结合同圆中角和弧的等量对应关系逐一判断即可。
【难度系数】
0.7
