登录
3.某班参加仰卧起坐测试的一组女生一分钟仰卧起坐次数如下:44,41,43,48,45,49.
(1)这组数据的平均数$\bar{x}=\frac{44+41+43+48+45+49}{\_\_\_\_\_\_}=\_\_\_\_\_\_;$
(2)这组数据关于它们的平均数的离差分别为$44-\bar{x}=\_\_\_\_\_\_,41-\bar{x}=\_\_\_\_\_\_,$
$43-\bar{x}=\_\_\_\_\_\_,48-\bar{x}=\_\_\_\_\_\_,45-\bar{x}=\_\_\_\_\_\_,49-\bar{x}=\_\_\_\_\_\_;$
(3)这组数据的离差平方和为$(44-\bar{x})^2+(41-\bar{x})^2+(43-\bar{x})^2+(48-\bar{x})^2+(45-\bar{x})^2+(49-\bar{x})^2=\_\_\_\_\_\_.$
(1)这组数据的平均数$\bar{x}=\frac{44+41+43+48+45+49}{\_\_\_\_\_\_}=\_\_\_\_\_\_;$
(2)这组数据关于它们的平均数的离差分别为$44-\bar{x}=\_\_\_\_\_\_,41-\bar{x}=\_\_\_\_\_\_,$
$43-\bar{x}=\_\_\_\_\_\_,48-\bar{x}=\_\_\_\_\_\_,45-\bar{x}=\_\_\_\_\_\_,49-\bar{x}=\_\_\_\_\_\_;$
(3)这组数据的离差平方和为$(44-\bar{x})^2+(41-\bar{x})^2+(43-\bar{x})^2+(48-\bar{x})^2+(45-\bar{x})^2+(49-\bar{x})^2=\_\_\_\_\_\_.$
答案
3.(1)6 45 (2)-1 -4 -2 3 0 4
(3)46
(3)46
解析
【分析】
本题围绕平均数、离差、离差平方和的基础计算展开，解题思路如下：①第一问求平均数：平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数，先数出这组数据的个数作为分母，再计算数据总和除以个数得到平均数；②第二问求离差：离差的定义是单个数据减去平均数，代入第一问算出的平均数逐一计算即可；③第三问求离差平方和：将第二问得到的每个离差分别平方后求和，计算时注意平方运算的符号规则，负数平方为正。
【解析】
(1) 观察数据可知，这组数据共有6个，因此平均数计算公式的分母为6；
先计算数据总和：$44+41+43+48+45+49=270$，
因此平均数$\bar{x}=270÷6=45$。
(2) 已知$\bar{x}=45$，逐一计算离差：
$44-\bar{x}=44-45=-1$，
$41-\bar{x}=41-45=-4$，
$43-\bar{x}=43-45=-2$，
$48-\bar{x}=48-45=3$，
$45-\bar{x}=45-45=0$，
$49-\bar{x}=49-45=4$。
(3) 计算离差平方和：
$\begin{split}&(44-\bar{x})^2+(41-\bar{x})^2+(43-\bar{x})^2+(48-\bar{x})^2+(45-\bar{x})^2+(49-\bar{x})^2\\=&(-1)^2+(-4)^2+(-2)^2+3^2+0^2+4^2\\=&1+16+4+9+0+16\\=&46\end{split}$
【答案】
(1)6，45；(2)-1，-4，-2，3，0，4；(3)46
【知识点】
平均数的计算，离差的概念，离差平方和计算
【点评】
本题属于统计模块的基础计算题，重点考察对基础概念的理解和基础运算能力，解题时只要牢记相关定义，细心计算就能顺利完成，注意计算平方时不要出现符号错误。
【难度系数】
0.9
本题围绕平均数、离差、离差平方和的基础计算展开，解题思路如下：①第一问求平均数：平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数，先数出这组数据的个数作为分母，再计算数据总和除以个数得到平均数；②第二问求离差：离差的定义是单个数据减去平均数，代入第一问算出的平均数逐一计算即可；③第三问求离差平方和：将第二问得到的每个离差分别平方后求和，计算时注意平方运算的符号规则，负数平方为正。
【解析】
(1) 观察数据可知，这组数据共有6个，因此平均数计算公式的分母为6；
先计算数据总和：$44+41+43+48+45+49=270$，
因此平均数$\bar{x}=270÷6=45$。
(2) 已知$\bar{x}=45$，逐一计算离差：
$44-\bar{x}=44-45=-1$，
$41-\bar{x}=41-45=-4$，
$43-\bar{x}=43-45=-2$，
$48-\bar{x}=48-45=3$，
$45-\bar{x}=45-45=0$，
$49-\bar{x}=49-45=4$。
(3) 计算离差平方和：
$\begin{split}&(44-\bar{x})^2+(41-\bar{x})^2+(43-\bar{x})^2+(48-\bar{x})^2+(45-\bar{x})^2+(49-\bar{x})^2\\=&(-1)^2+(-4)^2+(-2)^2+3^2+0^2+4^2\\=&1+16+4+9+0+16\\=&46\end{split}$
【答案】
(1)6，45；(2)-1，-4，-2，3，0，4；(3)46
【知识点】
平均数的计算，离差的概念，离差平方和计算
【点评】
本题属于统计模块的基础计算题，重点考察对基础概念的理解和基础运算能力，解题时只要牢记相关定义，细心计算就能顺利完成，注意计算平方时不要出现符号错误。
【难度系数】
0.9
4.已知甲、乙两人10次掷铁饼的平均成绩相同，落点如图所示，根据图形比较他们的方差$s^2_甲,s^2_乙$的大小：$s^2_甲$
＞
$s^2_乙$.(填“＞”“＜”或“=”)答案
4.＞
解析
【分析】
解题的核心是明确方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，在平均成绩相同的前提下，数据的离散程度越大（波动越大），对应的方差就越大。我们只需要对比甲、乙两人掷铁饼落点的分布集中程度即可判断方差大小：落点越分散，说明成绩波动越大，方差越大。
【解析】
方差的意义为：一组数据的波动越大，方差越大；波动越小，方差越小。
已知甲、乙两人10次掷铁饼的平均成绩相同，观察落点分布：甲的落点分布更分散，成绩波动更大；乙的落点更集中，成绩波动更小。因此甲的方差大于乙的方差，即$s^2_甲 ＞ s^2_乙$。
【答案】
＞
【知识点】
方差的意义、数据的离散程度
【点评】
本题考查方差的实际应用，无需计算方差的具体数值，通过观察数据的分布特征就能直接判断方差的大小关系，是方差概念的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，在平均成绩相同的前提下，数据的离散程度越大（波动越大），对应的方差就越大。我们只需要对比甲、乙两人掷铁饼落点的分布集中程度即可判断方差大小：落点越分散，说明成绩波动越大，方差越大。
【解析】
方差的意义为：一组数据的波动越大，方差越大；波动越小，方差越小。
已知甲、乙两人10次掷铁饼的平均成绩相同，观察落点分布：甲的落点分布更分散，成绩波动更大；乙的落点更集中，成绩波动更小。因此甲的方差大于乙的方差，即$s^2_甲 ＞ s^2_乙$。
【答案】
＞
【知识点】
方差的意义、数据的离散程度
【点评】
本题考查方差的实际应用，无需计算方差的具体数值，通过观察数据的分布特征就能直接判断方差的大小关系，是方差概念的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
5.【跨学科融合】研究表明,植物的光合作用速率越高,单位时间内合成的有机物越多.为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率,科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株,在同等试验条件下,测量它们的光合作用速率(单位:$μ mol· m^{-2}· s^{-1}$),结果统计如下表,哪个品种大豆的光合作用速率更稳定？
|品种|第一株|第二株|第三株|第四株|第五株|平均数|
|----|----|----|----|----|----|----|
|甲|32|30|
|18|20|25|
|乙|28|25|26|24|22|25|
|品种|第一株|第二株|第三株|第四株|第五株|平均数|
|----|----|----|----|----|----|----|
|甲|32|30|
|18|20|25||乙|28|25|26|24|22|25|
答案
5.解:甲品种大豆的方差为 $s_甲^2 = \frac{1}{5} × [(32-25)^2+(30-25)^2+(25-25)^2+(18-25)^2+(20-25)^2]=29.6$,乙品种大豆的方差为 $s_乙^2 = \frac{1}{5} × [(28-25)^2+(25-25)^2+(26-25)^2+(24-25)^2+(22-25)^2]=4.$
因为 29.6＞4，
所以乙品种大豆的光合作用速率更稳定.
因为 29.6＞4，
所以乙品种大豆的光合作用速率更稳定.
解析
【分析】
要判断哪个品种大豆的光合作用速率更稳定，需借助衡量数据波动程度的统计量方差：方差越小，数据波动越小，稳定性越好。已知甲、乙两个品种的平均光合作用速率相同，因此只需分别计算两组数据的方差，再比较方差大小即可得出结论。
【解析】
解：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$（其中$\overline{x}$为数据的平均数，$n$为数据的个数）：
1. 计算甲品种的方差：
$s_甲^2 = \frac{1}{5} × [(32-25)^2+(30-25)^2+(25-25)^2+(18-25)^2+(20-25)^2]$
$=\frac{1}{5}×(49+25+0+49+25)$
$=\frac{1}{5}×148=29.6$
2. 计算乙品种的方差：
$s_乙^2 = \frac{1}{5} × [(28-25)^2+(25-25)^2+(26-25)^2+(24-25)^2+(22-25)^2]$
$=\frac{1}{5}×(9+0+1+1+9)$
$=\frac{1}{5}×20=4$
因为$29.6＞4$，即$s_甲^2＞s_乙^2$，说明乙品种的光合作用速率波动更小。
【答案】
乙品种大豆的光合作用速率更稳定
【知识点】
方差的计算；方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题结合生物学科的光合作用场景考查统计知识，解题核心是掌握“方差越小，数据波动越小、稳定性越强”的性质，计算时需注意平方、求和步骤的准确性，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
要判断哪个品种大豆的光合作用速率更稳定，需借助衡量数据波动程度的统计量方差：方差越小，数据波动越小，稳定性越好。已知甲、乙两个品种的平均光合作用速率相同，因此只需分别计算两组数据的方差，再比较方差大小即可得出结论。
【解析】
解：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$（其中$\overline{x}$为数据的平均数，$n$为数据的个数）：
1. 计算甲品种的方差：
$s_甲^2 = \frac{1}{5} × [(32-25)^2+(30-25)^2+(25-25)^2+(18-25)^2+(20-25)^2]$
$=\frac{1}{5}×(49+25+0+49+25)$
$=\frac{1}{5}×148=29.6$
2. 计算乙品种的方差：
$s_乙^2 = \frac{1}{5} × [(28-25)^2+(25-25)^2+(26-25)^2+(24-25)^2+(22-25)^2]$
$=\frac{1}{5}×(9+0+1+1+9)$
$=\frac{1}{5}×20=4$
因为$29.6＞4$，即$s_甲^2＞s_乙^2$，说明乙品种的光合作用速率波动更小。
【答案】
乙品种大豆的光合作用速率更稳定
【知识点】
方差的计算；方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题结合生物学科的光合作用场景考查统计知识，解题核心是掌握“方差越小，数据波动越小、稳定性越强”的性质，计算时需注意平方、求和步骤的准确性，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
