10. 图1是一个平分角的仪器,其中OD = OE,FD = FE。



(1) 如图2,将仪器放置在△ABC上,使点O与顶点A重合,D,E分别在边AB,AC上,沿AF画一条射线AP,交BC于点P。AP是∠BAC的平分线吗? 请判断并说明理由。
(2) 如图3,在(1)的条件下,过点P作PQ⊥AB于点Q,若PQ = 6,△ABP的面积为30,求AB的长。

解：
(1)AP是∠BAC的平分线。理由如下:在△ADF和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l} AD=AE,\\ AF=AF,\\ DF=EF,\end{array}\right. $所以△ADF≌△AEF(SSS)，所以∠DAF = ∠EAF，所以AP是∠BAC的平分线。
(2)因为PQ = 6，所以$S_{\triangle ABP}=\frac {1}{2}AB\cdot PQ=\frac {1}{2}AB× 6=30$，所以AB = 10。

例1 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle ABC= \angle ACB$,作$AD\perp AB$,交$BC的延长线于点D$,作$AE// BD$,$CE\perp AC$,且$AE$,$CE相交于点E$。试说明$AD = CE$。
[解答] 因为$AE// BD$,

所以$\angle EAC= \angle ACB$。
因为$\angle ABC= \angle ACB$,
所以$\angle ABC= \angle EAC$。
在$\triangle ABD和\triangle CAE$中,
$\begin{cases} \angle ABC= \angle EAC, \\ AB = AC, \\ \angle BAD= \angle ACE = 90^{\circ}, \end{cases}{\circ}, $
所以$\triangle ABD\cong\triangle CAE(ASA)$。
所以$AD = CE$。

因为 $AE // BD$，
所以 $\angle EAC = \angle ACB$（两直线平行，内错角相等）。
因为 $AB = AC$，
所以 $\angle ABC = \angle ACB$（等边对等角）。
所以 $\angle ABC = \angle EAC$。
因为 $AD \perp AB$，$CE \perp AC$，
所以 $\angle BAD = \angle ACE = 90^{\circ}$。
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CAE$ 中，
$\begin{cases} \angle ABC = \angle EAC, \\AB = AC, \\\angle BAD = \angle ACE = 90^{\circ}, \end{cases}$
所以 $\triangle ABD \cong \triangle CAE (ASA)$。
所以 $AD = CE$。