例2 如图,$BD\perp AC于点D$,$CE\perp AB于点E$,$BD = CE$。试说明$AB = AC$。
[解答] 因为$BD\perp AC$,$CE\perp AB$,

所以$\angle ADB= \angle AEC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ADB和\triangle AEC$中,
$\begin{cases} \angle ADB= \angle AEC, \\ \angle A= \angle A, \\ BD = CE, \end{cases} $
所以$\triangle ADB\cong\triangle AEC(AAS)$,
所以$AB = AC$。

因为 $BD \perp AC$，$CE \perp AB$，
所以 $\angle ADB = \angle AEC = 90°$。
在 $\triangle ADB$ 和 $\triangle AEC$ 中，
$\begin{cases} \angle ADB = \angle AEC, \\ \angle A = \angle A, \\ BD = CE, \end{cases}$
所以 $\triangle ADB \cong \triangle AEC \ (AAS)$，
所以 $AB = AC$。

1. 如图,$\angle CAD= \angle BAE$,$\angle ACB= \angle ADE$,$AB = AE$,则可判定()。

A.$\triangle AEF\cong\triangle ABD$
B.$\triangle ABC\cong\triangle AED$
C.$\triangle ADC\cong\triangle AFD$
D.以上答案都不对

B

证明：
∵∠CAD=∠BAE，
∴∠CAD+∠BAD=∠BAE+∠BAD，即∠BAC=∠EAD。
在△ABC和△AED中，
∠ACB=∠ADE，
∠BAC=∠EAD，
AB=AE，
∴△ABC≌△AED（AAS）。
B

2. 如图,$\angle 1= \angle 2$,$\angle C= \angle D$,若$\angle CAE = 85^{\circ}$,则$\angle DBE$的度数是()。

A.$80^{\circ}$
B.$85^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$95^{\circ}$

D

证明：
∵∠1=∠2，∠C=∠D，
∴∠CAB=∠DBA（三角形内角和定理）。
∵∠CAE=85°，∠CAE+∠CAB=180°（平角定义），
∴∠CAB=180°-85°=95°。
∴∠DBA=∠CAB=95°，即∠DBE=95°。
D

3. 如图,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$BC$,$DE相交于点O$,且$\angle C= \angle E$,再添加一个条件不能证明$\triangle ABC\cong\triangle ADE$的是()。

A.$BC = DE$
B.$\angle ADE= \angle ABC$
C.$AC = AE$
D.$AD = AB$

B

证明：在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，已知$\angle C = \angle E$，$\angle A = \angle A$（公共角）。
选项A：若$BC = DE$，则由AAS可证$\triangle ABC\cong\triangle ADE$。
选项B：若$\angle ADE = \angle ABC$，则三个角对应相等，只能证相似，不能证全等。
选项C：若$AC = AE$，则由ASA可证$\triangle ABC\cong\triangle ADE$。
选项D：若$AD = AB$，则由AAS可证$\triangle ABC\cong\triangle ADE$。
答案：B

4. 如图,$\angle E= \angle F = 90^{\circ}$,$\angle B= \angle C$,$AE = AF$,则下列结论：①$\angle 1= \angle 2$；②$BE = CF$；③$\triangle ACN\cong\triangle ABM$；④$CD = DN$。其中正确的结论是。(填序号)

①②③

证明：
在$\triangle ABE$和$\triangle ACF$中，
$\angle E = \angle F = 90°$，$\angle B = \angle C$，$AE = AF$，
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle ACF(AAS)$，
$\therefore BE = CF$，$\angle BAE = \angle CAF$，$AB = AC$，故②正确；
$\because \angle BAE = \angle CAF$，
$\therefore \angle BAE - \angle BAC = \angle CAF - \angle BAC$，即$\angle 1 = \angle 2$，故①正确；
在$\triangle ACN$和$\triangle ABM$中，
$\angle CAN = \angle BAM$，$AC = AB$，$\angle C = \angle B$，
$\therefore \triangle ACN \cong \triangle ABM(ASA)$，故③正确；
无法证明$CD = DN$，故④错误。
正确的结论是①②③。