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26. 如图,矩形草坪的长为30 m、宽为20 m,草坪间有几条小路(阴影部分),矩形各边的小路进出口宽度都相同,已知草坪中草皮(白色部分)的面积为532 $m^2$,求小路进出口的宽度。
答案
1. 首先，设小路进出口的宽度为$x$米：
把小路“平移”，则草皮部分可看作一个新的矩形，新矩形的长为$(30 - 2x)$米，宽为$(20 - x)$米。
2. 然后，根据矩形面积公式$S = 长×宽$，已知草皮面积为$532m^{2}$，可列方程：
$(30 - 2x)(20 - x)=532$。
展开括号得：$30×20-30x - 40x+2x^{2}=532$。
即$600-70x + 2x^{2}=532$。
移项化为一元二次方程的一般形式：$2x^{2}-70x + 600 - 532 = 0$。
进一步化简得：$2x^{2}-70x + 68 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}-35x + 34 = 0$。
3. 接着，分解因式：
对于一元二次方程$x^{2}-35x + 34 = 0$，根据$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$，这里$a=-1$，$b=-34$，则$(x - 1)(x - 34)=0$。
所以$x - 1 = 0$或$x - 34 = 0$。
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=34$。
4. 最后，检验：
当$x = 34$时，$30-2x=30 - 2×34=-38\lt0$，$20 - x=20 - 34=-14\lt0$，不符合实际意义，舍去。
当$x = 1$时，$30-2x=30 - 2×1 = 28\gt0$，$20 - x=20 - 1 = 19\gt0$，符合题意。
答：小路进出口的宽度是$1$米。
把小路“平移”，则草皮部分可看作一个新的矩形，新矩形的长为$(30 - 2x)$米，宽为$(20 - x)$米。
2. 然后，根据矩形面积公式$S = 长×宽$，已知草皮面积为$532m^{2}$，可列方程：
$(30 - 2x)(20 - x)=532$。
展开括号得：$30×20-30x - 40x+2x^{2}=532$。
即$600-70x + 2x^{2}=532$。
移项化为一元二次方程的一般形式：$2x^{2}-70x + 600 - 532 = 0$。
进一步化简得：$2x^{2}-70x + 68 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}-35x + 34 = 0$。
3. 接着，分解因式：
对于一元二次方程$x^{2}-35x + 34 = 0$，根据$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$，这里$a=-1$，$b=-34$，则$(x - 1)(x - 34)=0$。
所以$x - 1 = 0$或$x - 34 = 0$。
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=34$。
4. 最后，检验：
当$x = 34$时，$30-2x=30 - 2×34=-38\lt0$，$20 - x=20 - 34=-14\lt0$，不符合实际意义，舍去。
当$x = 1$时，$30-2x=30 - 2×1 = 28\gt0$，$20 - x=20 - 1 = 19\gt0$，符合题意。
答：小路进出口的宽度是$1$米。
27. 某厂员工宿舍管理部门规定：如果某宿舍房间一个月的用电量不超过$A\ kW\cdot h$,那么这个月该舍只需要交10元电费,如果超过$A\ kW\cdot h$,那么这个月除了仍要交10元电费外,超出部分要按$\frac{A}{100}$元/($kW\cdot h$)交费。
(1) 若某舍2月份用电90 $kW\cdot h$,超过规定的$A\ kW\cdot h$,则超过部分的电费是多少元？(用$A$表示)
(2) 下表是某舍3月、4月的用电和交费情况：
|月份|用电量|电费|
|3|80 $kW\cdot h$|25元|
|4|45 $kW\cdot h$|10元|
根据上表数据,该宿舍管理部门规定的$A\ kW\cdot h$为多少？
(1) 若某舍2月份用电90 $kW\cdot h$,超过规定的$A\ kW\cdot h$,则超过部分的电费是多少元？(用$A$表示)
(2) 下表是某舍3月、4月的用电和交费情况：
|月份|用电量|电费|
|3|80 $kW\cdot h$|25元|
|4|45 $kW\cdot h$|10元|
根据上表数据,该宿舍管理部门规定的$A\ kW\cdot h$为多少？
答案
(1) 解：超过部分的用电量为$(90 - A)\ kW\cdot h$，超过部分的电费是$(90 - A)\cdot \frac{A}{100} = \frac{A(90 - A)}{100}$元。
(2) 解：由4月用电量45 kW·h，电费10元，得$A \geq 45$。
3月用电量80 kW·h，电费25元，超过A kW·h，
则$10 + (80 - A)\cdot \frac{A}{100} = 25$，
整理得$A^2 - 80A + 1500 = 0$，
解得$A_1 = 30$（舍去），$A_2 = 50$。
答：规定的$A\ kW\cdot h$为50。
(2) 解：由4月用电量45 kW·h，电费10元，得$A \geq 45$。
3月用电量80 kW·h，电费25元，超过A kW·h，
则$10 + (80 - A)\cdot \frac{A}{100} = 25$，
整理得$A^2 - 80A + 1500 = 0$，
解得$A_1 = 30$（舍去），$A_2 = 50$。
答：规定的$A\ kW\cdot h$为50。
28. 端午节前夕,两位同学到某超市调研一种进价为2元/个的粽子的销售情况。根据小丽提供的信息,解答小华提出的问题。
小丽：每个定价3元,每天能卖出500个,售价每上涨0.1元,其销售量将减少10个。
小华：如果要实现每天800元的销售利润,那么该如何定价？
注意：售价不能超过进价的240%。
小丽：每个定价3元,每天能卖出500个,售价每上涨0.1元,其销售量将减少10个。
小华：如果要实现每天800元的销售利润,那么该如何定价？
注意：售价不能超过进价的240%。
答案
【解析】：
本题考查了一元二次方程的应用，销售问题的数量关系利润$=$（售价$-$进价）$×$销量的运用。
首先，我们需要根据题目信息，设立售价和销售量的关系式。
题目给出，每个粽子的进价是2元，初始定价是3元，此时每天能卖出500个。
售价每上涨0.1元，销售量就减少10个。
我们的目标是找到一个定价，使得每天的销售利润达到800元。
设每个粽子的定价为$x$元，那么每个粽子的利润就是$(x-2)$元。
由于售价每上涨0.1元，销售量就减少10个，所以销售量可以表示为$500 - 10 × \frac{x - 3}{0.1}$。
因此，我们可以根据“利润$=$（售价$-$进价）$×$销量”的公式，建立方程：
$(x - 2) × \left(500 - 10 × \frac{x - 3}{0.1}\right) = 800$
同时，题目还给出了售价不能超过进价的240%的条件，即$x \leq 2 × 240\% = 4.8$。
接下来，我们解这个一元二次方程，找出符合条件的$x$值。
【答案】：
解：
设每个粽子的定价为$x$元，则每个粽子的利润为$(x - 2)$元。
销售量与定价的关系为：$500 - 10 × \frac{x - 3}{0.1}$
根据“利润$=$（售价$-$进价）$×$销量”的公式，建立方程：
$(x - 2) × \left(500 - 10 × \frac{x - 3}{0.1}\right) = 800$
展开方程得：
$(x - 2)(500 - 100x + 300) = 800$
$(x - 2)(800 - 100x) = 800$
$800x - 100x^2 - 1600 + 200x = 800$
$-100x^2 + 1000x - 2400 = 0$
$x^2 - 10x + 24 = 0$
$(x - 4)(x - 6) = 0$
解得：$x_1 = 4$，$x_2 = 6$。
由于售价不能超过进价的240%，即$x \leq 4.8$，所以$x_2 = 6$不符合条件，舍去。
因此，当定价为4元时，每天的销售利润可以达到800元。
答：应定价4元/个，才能获得每天800元的销售利润。
本题考查了一元二次方程的应用，销售问题的数量关系利润$=$（售价$-$进价）$×$销量的运用。
首先，我们需要根据题目信息，设立售价和销售量的关系式。
题目给出，每个粽子的进价是2元，初始定价是3元，此时每天能卖出500个。
售价每上涨0.1元，销售量就减少10个。
我们的目标是找到一个定价，使得每天的销售利润达到800元。
设每个粽子的定价为$x$元，那么每个粽子的利润就是$(x-2)$元。
由于售价每上涨0.1元，销售量就减少10个，所以销售量可以表示为$500 - 10 × \frac{x - 3}{0.1}$。
因此，我们可以根据“利润$=$（售价$-$进价）$×$销量”的公式，建立方程：
$(x - 2) × \left(500 - 10 × \frac{x - 3}{0.1}\right) = 800$
同时，题目还给出了售价不能超过进价的240%的条件，即$x \leq 2 × 240\% = 4.8$。
接下来，我们解这个一元二次方程，找出符合条件的$x$值。
【答案】：
解：
设每个粽子的定价为$x$元，则每个粽子的利润为$(x - 2)$元。
销售量与定价的关系为：$500 - 10 × \frac{x - 3}{0.1}$
根据“利润$=$（售价$-$进价）$×$销量”的公式，建立方程：
$(x - 2) × \left(500 - 10 × \frac{x - 3}{0.1}\right) = 800$
展开方程得：
$(x - 2)(500 - 100x + 300) = 800$
$(x - 2)(800 - 100x) = 800$
$800x - 100x^2 - 1600 + 200x = 800$
$-100x^2 + 1000x - 2400 = 0$
$x^2 - 10x + 24 = 0$
$(x - 4)(x - 6) = 0$
解得：$x_1 = 4$，$x_2 = 6$。
由于售价不能超过进价的240%，即$x \leq 4.8$，所以$x_2 = 6$不符合条件，舍去。
因此，当定价为4元时，每天的销售利润可以达到800元。
答：应定价4元/个，才能获得每天800元的销售利润。
