9. 在△ABC中,∠A = 50°,∠B = 30°,点D在边AB上,连接CD.若△ACD为直角三角形,则∠BCD的度数为.

10°或60°

在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，则∠ACB=180°-50°-30°=100°。
∵△ACD为直角三角形，点D在AB上，分两种情况：
①若∠ACD=90°，则∠BCD=∠ACB-∠ACD=100°-90°=10°；
②若∠ADC=90°，在△ADC中，∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-50°-90°=40°，则∠BCD=∠ACB-∠ACD=100°-40°=60°。
综上，∠BCD的度数为10°或60°。

10. 如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠B = 62°,点D,E分别在边AB,AC上,将△ADE沿DE折叠得到△FDE,且满足EF//AB,则∠1 = .

31

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=62°，则∠A=180°-90°-62°=28°。
由折叠性质得△ADE≌△FDE，故∠F=∠A=28°，∠FED=∠AED。
∵EF//AB，∴∠FEC=∠B=62°（同位角相等）。
在Rt△FCE中，∠FCE=90°，∠FEC=62°，则∠F=90°-62°=28°（符合∠F=∠A）。
设∠AED=∠FED=x，∠ADE=180°-∠A-∠AED=152°-x。
在Rt△CDE中，∠DEC=∠AED-∠FEC=x-62°，则∠EDC=90°-∠DEC=152°-x。
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=62°（△ADC中，∠A=28°，∠ACD=90°），
∴(152°-x)+(152°-x)=62°，解得152°-x=31°，即∠1=∠EDC=31°。

11. 在Rt△ABC中,∠C = 90°,点D,E分别在边AC,AB上.
(1)如图(1),∠ADE = ∠B,求证:△ADE是直角三角形;
(2)如图(2),连接BD,BD平分∠ABC,∠A = 40°,求∠ADB的度数.

(1) 证明：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠ADE=∠B，
∴∠A+∠ADE=90°。
在△ADE中，∠AED=180°-(∠A+∠ADE)=180°-90°=90°。
∴△ADE是直角三角形。
(2) 解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°-∠A=50°（直角三角形两锐角互余）。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC/2=50°/2=25°。
在△ABD中，∠ADB=180°-∠A-∠ABD=180°-40°-25°=115°。
答案：(1) 证明见上；(2) 115°

(1) 证明：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠ADE=∠B，
∴∠A+∠ADE=90°。
在△ADE中，∠AED=180°-(∠A+∠ADE)=180°-90°=90°。
∴△ADE是直角三角形。
(2) 解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°-∠A=50°（直角三角形两锐角互余）。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC/2=50°/2=25°。
在△ABD中，∠ADB=180°-∠A-∠ABD=180°-40°-25°=115°。

12. (几何直观、应用意识)定义:在一个三角形中,如果有一个角是另一个角的$\frac{1}{2}$,我们称这两个角互为“友爱角”,这个三角形叫作“友爱三角形”.例如:在△ABC中,如果∠A = 80°,∠B = 40°,那么∠A与∠B互为“友爱角”,△ABC为“友爱三角形”.
(1)如图(1),△ABC是“友爱三角形”,且∠A与∠B互为“友爱角”(∠A ＞ ∠B),∠ACB = 90°.
①∠A = ,∠B = .
②若CD是△ABC的边AB上的高,则△ACD,△BCD都是“友爱三角形”吗? 为什么?
(2)如图(2),在△ABC中,∠ACB = 70°,∠A = 66°,D是边AB上一点(不与点A,B重合),连接CD,若△ACD是“友爱三角形”,写出∠ACD的度数.

(1)①60°；30°
②△ACD，△BCD都是“友爱三角形”。
理由：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，∠B=30°，CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°。
在△ACD中，∠A=60°，∠ACD=90°-60°=30°，
∵60°=2×30°，
∴∠A与∠ACD互为“友爱角”，△ACD是“友爱三角形”；
在△BCD中，∠B=30°，∠BCD=90°-30°=60°，
∵60°=2×30°，
∴∠B与∠BCD互为“友爱角”，△BCD是“友爱三角形”。
(2)33°或38°