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1. (2024昆明西山区期末)如图,直线$l_1// l_2$,直线$l_3$与$l_1$,$l_2$分别相交于A,C两点,BC⊥$l_3$交$l_1$于点B.若∠1 = 70°,则∠2的度数为().
A.20°
B.30°
C.40°
D.50°
A.20°
B.30°
C.40°
D.50°
答案
A
解析
因为 $ l_1 // l_2 $，所以 $\angle 1 = \angle CAB = 70°$（同位角相等）。
由于 $ BC \perp l_3 $，所以 $\angle BCA = 90°$。
在直角三角形 $ \triangle ABC $ 中，$\angle 2 = 180° - 90° - 70° = 20°$。
由于 $ BC \perp l_3 $，所以 $\angle BCA = 90°$。
在直角三角形 $ \triangle ABC $ 中，$\angle 2 = 180° - 90° - 70° = 20°$。
2. 如图,∠ABC = 90°,BD⊥AC,垂足为D.若∠ABD = 40°,则∠C = .
答案
40°
解析
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，∴∠A+∠C=90°，∠A+∠ABD=90°，∴∠C=∠ABD=40°
3. 如图,一把直尺的一边缘经过直角三角形ABC的直角顶点C,交斜边AB于点D,直尺的另一边缘分别交AB,AC于点E,F.若∠B = 30°,∠AEF = 50°,则∠DCB = .
答案
20
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则∠A=90°-∠B=60°。
∵直尺两边平行，∴EF//CD。
∵EF//CD，∠AEF=50°，∴∠ADC=∠AEF=50°（两直线平行，同位角相等）。
∵∠ADC+∠BDC=180°（平角定义），∴∠BDC=180°-∠ADC=130°。
在△BCD中，∠DCB=180°-∠B-∠BDC=180°-30°-130°=20°。
∵直尺两边平行，∴EF//CD。
∵EF//CD，∠AEF=50°，∴∠ADC=∠AEF=50°（两直线平行，同位角相等）。
∵∠ADC+∠BDC=180°（平角定义），∴∠BDC=180°-∠ADC=130°。
在△BCD中，∠DCB=180°-∠B-∠BDC=180°-30°-130°=20°。
4. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,∠B = 30°,CD⊥AB于点D,CE是△ABC的角平分线.
(1)求∠DCE的度数;
(2)若∠CEF = 135°,求证:EF//BC.
(1)求∠DCE的度数;
(2)若∠CEF = 135°,求证:EF//BC.
答案
(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=90°-∠B=60°。
∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，在Rt△ACD中，∠ACD=90°-∠A=30°。
∵CE平分∠ACB，∠ACB=90°，∴∠ACE=∠ACB/2=45°。
∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=45°-30°=15°。
(2)证明：由(1)知CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB/2=45°。
∵∠CEF=135°，∴∠CEF+∠BCE=135°+45°=180°。
∴EF//BC（同旁内角互补，两直线平行）。
∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，在Rt△ACD中，∠ACD=90°-∠A=30°。
∵CE平分∠ACB，∠ACB=90°，∴∠ACE=∠ACB/2=45°。
∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=45°-30°=15°。
(2)证明：由(1)知CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB/2=45°。
∵∠CEF=135°，∴∠CEF+∠BCE=135°+45°=180°。
∴EF//BC（同旁内角互补，两直线平行）。
5. 若一个三角形的三个内角的度数之比为1:5:6,则这个三角形是().
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
答案
B
解析
设三角形三个内角的度数分别为x，5x，6x。根据三角形内角和定理，x+5x+6x=180°，解得x=15°。则三个内角分别为15°，75°，90°。有一个角为90°，所以该三角形是直角三角形。
6. 在△ABC中,∠A + ∠B = 90°,那么△ABC是(选填“直角三角形”“钝角三角形”或“锐角三角形”).
答案
直角三角形（题目要求选项形式，这里对应选择“直角三角形”这一选项）
解析
在△ABC中，根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为180°。
已知∠A + ∠B = 90°，
则∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 90° = 90°。
有一个角为90°的三角形是直角三角形。
所以△ABC是直角三角形。
已知∠A + ∠B = 90°，
则∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 90° = 90°。
有一个角为90°的三角形是直角三角形。
所以△ABC是直角三角形。
7. 如图,AB//CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,∠BEF与∠DFE的平分线相交于点P.求证:△PEF是直角三角形.
答案
证明：
因为$AB// CD$，
根据两直线平行，同旁内角互补，
所以$\angle BEF + \angle DFE = 180^{\circ}$。
因为$EP$平分$\angle BEF$，$FP$平分$\angle DFE$，
所以$\angle PEF=\frac{1}{2}\angle BEF$，$\angle PFE=\frac{1}{2}\angle DFE$。
则$\angle PEF + \angle PFE=\frac{1}{2}(\angle BEF + \angle DFE)=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$。
在$\triangle PEF$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
所以$\angle P = 180^{\circ}-(\angle PEF + \angle PFE)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$。
所以$\triangle PEF$是直角三角形。
因为$AB// CD$，
根据两直线平行，同旁内角互补，
所以$\angle BEF + \angle DFE = 180^{\circ}$。
因为$EP$平分$\angle BEF$，$FP$平分$\angle DFE$，
所以$\angle PEF=\frac{1}{2}\angle BEF$，$\angle PFE=\frac{1}{2}\angle DFE$。
则$\angle PEF + \angle PFE=\frac{1}{2}(\angle BEF + \angle DFE)=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$。
在$\triangle PEF$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
所以$\angle P = 180^{\circ}-(\angle PEF + \angle PFE)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$。
所以$\triangle PEF$是直角三角形。
8. 如图,在Rt△ACB中,∠ACB = 90°,△ABC的角平分线AD,BE相交于点P,则∠APB等于().
A.135°
B.125°
C.130°
D.120°
A.135°
B.125°
C.130°
D.120°
答案
A
解析
在$Rt \triangle ACB$ 中, $\angle ACB=90°$。
根据三角形内角和定理，有$\angle CAB + \angle CBA = 90°$。
由于$AD, BE$是$\triangle ABC$的角平分线，
所以$\angle BAP = \frac{1}{2} \angle CAB$，$\angle ABP = \frac{1}{2} \angle CBA$。
因此$\angle BAP + \angle ABP = \frac{1}{2} (\angle CAB + \angle CBA) = \frac{1}{2} × 90° = 45°$。
根据三角形内角和定理，有$\angle APB = 180° - (\angle BAP + \angle ABP) = 180° - 45° = 135°$。
根据三角形内角和定理，有$\angle CAB + \angle CBA = 90°$。
由于$AD, BE$是$\triangle ABC$的角平分线，
所以$\angle BAP = \frac{1}{2} \angle CAB$，$\angle ABP = \frac{1}{2} \angle CBA$。
因此$\angle BAP + \angle ABP = \frac{1}{2} (\angle CAB + \angle CBA) = \frac{1}{2} × 90° = 45°$。
根据三角形内角和定理，有$\angle APB = 180° - (\angle BAP + \angle ABP) = 180° - 45° = 135°$。
