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1. 下列多项式, 为完全平方式的是().
A.$1 + 4a^{2}$
B.$4b^{2}+4b - 1$
C.$a^{2}-4a + 4$
D.$a^{2}+ab + b^{2}$
A.$1 + 4a^{2}$
B.$4b^{2}+4b - 1$
C.$a^{2}-4a + 4$
D.$a^{2}+ab + b^{2}$
答案
C
解析
完全平方公式为$(m\pm n)^2 = m^2\pm 2mn + n^2$。
选项A：$1 + 4a^2$，只有两项，不符合完全平方式三项的形式，不是完全平方式。
选项B：$4b^2 + 4b - 1$，常数项为$-1$，完全平方式的常数项应为正数，且$(2b)^2 + 4b + 1=(2b + 1)^2$，此选项常数项错误，不是完全平方式。
选项C：$a^2 - 4a + 4$，可变形为$a^2 - 2× a×2 + 2^2=(a - 2)^2$，符合完全平方公式，是完全平方式。
选项D：$a^2 + ab + b^2$，中间项应为$\pm 2ab$，此选项中间项为$ab$，不符合，不是完全平方式。
选项A：$1 + 4a^2$，只有两项，不符合完全平方式三项的形式，不是完全平方式。
选项B：$4b^2 + 4b - 1$，常数项为$-1$，完全平方式的常数项应为正数，且$(2b)^2 + 4b + 1=(2b + 1)^2$，此选项常数项错误，不是完全平方式。
选项C：$a^2 - 4a + 4$，可变形为$a^2 - 2× a×2 + 2^2=(a - 2)^2$，符合完全平方公式，是完全平方式。
选项D：$a^2 + ab + b^2$，中间项应为$\pm 2ab$，此选项中间项为$ab$，不符合，不是完全平方式。
2. (易错题)若$x^{2}+mx + 16$是一个完全平方式, 则$m$的值为.
答案
$\pm 8$（如果选项是以正负8的形式呈现，选择对应选项）
解析
因为$x^{2}+mx + 16$是一个完全平方式，而$16 = 4^{2}$，根据完全平方公式$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab + b^{2}$，在这里$a = x$，$b = 4$，则$x^{2}+mx + 16=(x\pm4)^{2}=x^{2}\pm8x + 16$，所以$m=\pm8$。
3. 把多项式$16x^{2}-24x + 9$分解因式得().
A.$(16x - 3)^{2}$
B.$(4x - 3)^{2}$
C.$(16x + 3)(16x - 3)$
D.$(4x + 3)(4x - 3)$
A.$(16x - 3)^{2}$
B.$(4x - 3)^{2}$
C.$(16x + 3)(16x - 3)$
D.$(4x + 3)(4x - 3)$
答案
B
解析
原式$16x^{2} - 24x + 9$可看作是关于$4x$和$3$的完全平方公式。
完全平方公式为$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$。
在这里，$a = 4x$，$b = 3$，代入公式得：
$(4x)^2 - 2 × 4x × 3 + 3^2 = (4x - 3)^2$
与选项对比，发现与选项B相符。
完全平方公式为$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$。
在这里，$a = 4x$，$b = 3$，代入公式得：
$(4x)^2 - 2 × 4x × 3 + 3^2 = (4x - 3)^2$
与选项对比，发现与选项B相符。
4. 把下列各式分解因式:
(1)$x^{2}-8xy + 16y^{2}$；
(2)$4a^{2}+25b^{2}+20ab$；
(3)$1 - 2xy + x^{2}y^{2}$.
(1)$x^{2}-8xy + 16y^{2}$；
(2)$4a^{2}+25b^{2}+20ab$；
(3)$1 - 2xy + x^{2}y^{2}$.
答案
(1) $x^{2}-8xy + 16y^{2} = x^{2} - 2 · x · 4y + (4y)^{2} = (x - 4y)^{2}$
(2) $4a^{2}+25b^{2}+20ab = (2a)^{2} + 2 · 2a · 5b + (5b)^{2} = (2a + 5b)^{2}$
(3) $1 - 2xy + x^{2}y^{2} = 1^{2} - 2 · 1 · xy + (xy)^{2} = (1 - xy)^{2}$
(2) $4a^{2}+25b^{2}+20ab = (2a)^{2} + 2 · 2a · 5b + (5b)^{2} = (2a + 5b)^{2}$
(3) $1 - 2xy + x^{2}y^{2} = 1^{2} - 2 · 1 · xy + (xy)^{2} = (1 - xy)^{2}$
5. (易错题)如果多项式$x^{2}+1$加上一个单项式后, 能够直接用完全平方公式分解因式, 那么添加的单项式不可以是().
A.$2x$
B.$-2x$
C.$\frac{1}{4}x^{4}$
D.$-\frac{1}{4}x^{4}$
A.$2x$
B.$-2x$
C.$\frac{1}{4}x^{4}$
D.$-\frac{1}{4}x^{4}$
答案
D
解析
完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
选项A：$x^2+2x+1=(x+1)^2$，符合；
选项B：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，符合；
选项C：$\frac{1}{4}x^4+x^2+1=(\frac{1}{2}x^2+1)^2$，符合；
选项D：$x^2+1-\frac{1}{4}x^4=-\frac{1}{4}x^4+x^2+1$，无法化为$(a\pm b)^2$形式，不符合。
选项A：$x^2+2x+1=(x+1)^2$，符合；
选项B：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，符合；
选项C：$\frac{1}{4}x^4+x^2+1=(\frac{1}{2}x^2+1)^2$，符合；
选项D：$x^2+1-\frac{1}{4}x^4=-\frac{1}{4}x^4+x^2+1$，无法化为$(a\pm b)^2$形式，不符合。
6. 分解因式:$(x - 5)(x + 11)+64=$.
答案
$(x + 3)^{2}$
解析
首先展开多项式 $(x - 5)(x + 11)+64$：
$(x - 5)(x + 11)+64$
$=x^{2}+11x-5x-55 + 64$
$=x^{2}+6x + 9$
根据完全平方公式$a^2 + 2ab+b^2=(a + b)^2$，在$x^{2}+6x + 9$中，$a = x$，$b = 3$，$2ab=2× x×3 = 6x$，所以$x^{2}+6x + 9=(x + 3)^{2}$。
$(x - 5)(x + 11)+64$
$=x^{2}+11x-5x-55 + 64$
$=x^{2}+6x + 9$
根据完全平方公式$a^2 + 2ab+b^2=(a + b)^2$，在$x^{2}+6x + 9$中，$a = x$，$b = 3$，$2ab=2× x×3 = 6x$，所以$x^{2}+6x + 9=(x + 3)^{2}$。
7. 若$a^{2}+b^{2}+4a - 6b + 13 = 0$, 则$a^{b}$的值为.
答案
-8
解析
$a^{2}+b^{2}+4a - 6b + 13 = 0$，
$a^{2}+4a + 4 + b^{2}-6b + 9 = 0$，
$(a + 2)^{2}+(b - 3)^{2}=0$，
$\because (a + 2)^{2}\geq0$，$(b - 3)^{2}\geq0$，
$\therefore a + 2 = 0$，$b - 3 = 0$，
解得$a=-2$，$b = 3$，
$\therefore a^{b}=(-2)^{3}=-8$。
$a^{2}+4a + 4 + b^{2}-6b + 9 = 0$，
$(a + 2)^{2}+(b - 3)^{2}=0$，
$\because (a + 2)^{2}\geq0$，$(b - 3)^{2}\geq0$，
$\therefore a + 2 = 0$，$b - 3 = 0$，
解得$a=-2$，$b = 3$，
$\therefore a^{b}=(-2)^{3}=-8$。
8. 利用因式分解计算:
(1)$202^{2}+202×196 + 98^{2}$；
(2)$2023^{2}-4046×2021 + 2021^{2}$.
(1)$202^{2}+202×196 + 98^{2}$；
(2)$2023^{2}-4046×2021 + 2021^{2}$.
答案
(1)
$202^{2}+202×196 + 98^{2}$
$=202^{2}+2×202×98 + 98^{2}$
$=(202 + 98)^{2}$
$=300^{2}$
$=90000$
(2)
$2023^{2}-4046×2021 + 2021^{2}$
$=2023^{2}-2×2023×2021 + 2021^{2}$
$=(2023 - 2021)^{2}$
$=2^{2}$
$=4$
$202^{2}+202×196 + 98^{2}$
$=202^{2}+2×202×98 + 98^{2}$
$=(202 + 98)^{2}$
$=300^{2}$
$=90000$
(2)
$2023^{2}-4046×2021 + 2021^{2}$
$=2023^{2}-2×2023×2021 + 2021^{2}$
$=(2023 - 2021)^{2}$
$=2^{2}$
$=4$
9. 分解因式:
(1)$-2xy - x^{2}-y^{2}$；
(2)$4 - 12(x - y)+9(x - y)^{2}$；
(3)$(a + b)^{2}-4(a + b - 1)$.
(1)$-2xy - x^{2}-y^{2}$；
(2)$4 - 12(x - y)+9(x - y)^{2}$；
(3)$(a + b)^{2}-4(a + b - 1)$.
答案
(1)
$\begin{aligned} -2xy - x^{2}-y^{2} &=-(x^{2}+2xy + y^{2})\\ &=-(x + y)^{2} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}4 - 12(x - y)+9(x - y)^{2}&=2^{2}-2×2×3(x - y)+[3(x - y)]^{2}\\&=(2 - 3(x - y))^{2}\\&=(2-3x + 3y)^{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned} (a + b)^{2}-4(a + b - 1)&=(a + b)^{2}-4(a + b)+4\\&=(a + b)^{2}-2×2×(a + b)+2^{2}\\&=(a + b - 2)^{2} \end{aligned}$
$\begin{aligned} -2xy - x^{2}-y^{2} &=-(x^{2}+2xy + y^{2})\\ &=-(x + y)^{2} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}4 - 12(x - y)+9(x - y)^{2}&=2^{2}-2×2×3(x - y)+[3(x - y)]^{2}\\&=(2 - 3(x - y))^{2}\\&=(2-3x + 3y)^{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned} (a + b)^{2}-4(a + b - 1)&=(a + b)^{2}-4(a + b)+4\\&=(a + b)^{2}-2×2×(a + b)+2^{2}\\&=(a + b - 2)^{2} \end{aligned}$
