10. 若$\vert a + 4\vert$与$b^{2}+4b + 4$互为相反数, 把多项式$(x + a)(x + b)+1$分解因式.

因为|a + 4|与b² + 4b + 4互为相反数，所以|a + 4| + (b² + 4b + 4) = 0。
又因为b² + 4b + 4 = (b + 2)²，且|a + 4|≥0，(b + 2)²≥0，所以|a + 4| = 0，(b + 2)² = 0。
解得a = -4，b = -2。
将a = -4，b = -2代入多项式(x + a)(x + b) + 1，得(x - 4)(x - 2) + 1。
展开(x - 4)(x - 2)：x² - 2x - 4x + 8 = x² - 6x + 8。
则原式 = x² - 6x + 8 + 1 = x² - 6x + 9 = (x - 3)²。
答案：(x - 3)²

因为|a + 4|与b² + 4b + 4互为相反数，所以|a + 4| + (b² + 4b + 4) = 0。
又因为b² + 4b + 4 = (b + 2)²，且|a + 4|≥0，(b + 2)²≥0，所以|a + 4| = 0，(b + 2)² = 0。
解得a = -4，b = -2。
将a = -4，b = -2代入多项式(x + a)(x + b) + 1，得(x - 4)(x - 2) + 1。
展开(x - 4)(x - 2)：x² - 2x - 4x + 8 = x² - 6x + 8。
则原式 = x² - 6x + 8 + 1 = x² - 6x + 9 = (x - 3)²。

11. 若$a$, $b$, $c$是$\triangle ABC$的三边长, 且$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ac - ab - bc = 0$, 试判断$\triangle ABC$的形状, 并说明理由.

答题格式如下：
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ac - ab - bc = 0$，
等式两边同时乘以2得：
$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ac-2ab-2bc = 0$，
将上式进行分组和完全平方公式应用：
$(a^{2}-2ab+b^{2})+(a^{2}-2ac+c^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2}) = 0$，
化简为：
$(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2} = 0$，
由于平方项非负，上式成立的条件是：
$a-b = 0, \quad a-c = 0, \quad b-c = 0$，
即：
$a = b = c$。
所以，$\triangle ABC$是等边三角形。

12. (运算能力)先阅读材料, 再回答问题:
分解因式$(a - b)^{2}-2(a - b)+1$.
解: 设$a - b = M$, 则$(a - b)^{2}-2(a - b)+1 = M^{2}-2M + 1=(M - 1)^{2}$.
将$M = a - b$代入其中, 得原式$=(a - b - 1)^{2}$.
上述解题中用到的是“整体思想”, 它是数学中常用的一种思想. 请你用“整体思想”解答下列问题:
(1) 分解因式$(x + y)(x + y - 4)+4$；
(2) 若$a$为正整数, 试说明$(a - 1)(a - 2)(a - 3)(a - 4)+1$为整数的平方.

(1) 设 $x + y = M$，
则原式 $= M(M - 4) + 4$
$= M^{2} - 4M + 4$
$= (M - 2)^{2}$
将 $M = x + y$ 代入，
得原式 $= (x + y - 2)^{2}$。
(2) 原式 $= [(a - 1)(a - 4)][(a - 2)(a - 3)] + 1$
设 $a^{2} - 5a + 4 = M$，
则 $(a - 1)(a - 4) = M$，
$(a - 2)(a - 3) = a^{2} - 5a + 6 = M + 2$
所以原式 $= M(M + 2) + 1$
$= M^{2} + 2M + 1$
$= (M + 1)^{2}$
将 $M = a^{2} - 5a + 4$ 代入，
得原式 $= (a^{2} - 5a + 5)^{2}$
因为 $a$ 是正整数，
所以 $a^{2} - 5a + 5$ 也是整数，
所以原式为整数的平方。