【例1】将多项式$a^{3}-16a$分解因式,结果是().

A.$a(a + 4)(a - 4)$
B.$(a - 4)^{2}$
C.$a(a - 16)$
D.$(a + 4)(a - 4)$

A

首先，从多项式 $a^{3} - 16a$ 中提取公因式 $a$，得到：
$a^{3} - 16a = a(a^{2} - 16)$
接着，观察括号内的 $a^{2} - 16$，这是一个平方差形式，可以继续使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$ 进行分解，得到：
$a(a^{2} - 16) = a(a + 4)(a - 4)$

【变式1】分解因式:
(1)$5m^{2}-5=$;
(2)$4a^{3}-a=$.

(1) $5(m+1)(m-1)$
(2) $a(2a+1)(2a-1)$

(1) 首先提取公因式$5$，得到$5(m^2 - 1)$，然后利用平方差公式$m^2 - 1 = (m + 1)(m - 1)$，所以$5m^2 - 5 = 5(m + 1)(m - 1)$。
(2) 首先提取公因式$a$，得到$a(4a^2 - 1)$，然后利用平方差公式$4a^2 - 1 = (2a + 1)(2a - 1)$，所以$4a^3 - a = a(2a + 1)(2a - 1)$。

【例2】分解因式:
(1)$2ax^{2}+12axy + 18ay^{2}$;
(2)$-a^{2}b - 49b + 14ab$.

(1)
首先，从 $2ax^{2}+12axy + 18ay^{2}$ 中提取公因子 $2a$，得到：
$2a(x^{2} + 6xy + 9y^{2})$，
观察 $x^{2} + 6xy + 9y^{2}$，它是 $x + 3y$ 的平方，即：
$x^{2} + 6xy + 9y^{2}=(x + 3y)^{2}$，
所以，$2ax^{2}+12axy + 18ay^{2} = 2a(x + 3y)^{2}$。
(2)
从 $-a^{2}b - 49b + 14ab$ 中提取公因子 $-b$，得到：
$-b(a^{2} - 14a + 49)$，
观察 $a^{2} - 14a + 49$，它是 $a - 7$ 的平方，即：
$a^{2} - 14a + 49 = (a - 7)^{2}$，
所以，$-a^{2}b - 49b + 14ab = -b(a - 7)^{2}$。

【变式2】分解因式:
(1)$-3a^{3}+6a^{2}b - 3ab^{2}$;
(2)$4x^{2}y - 4xy^{2}-x^{3}$.

(1)
$\begin{aligned} &-3a^{3} + 6a^{2}b - 3ab^{2} \\ =&-3a(a^{2} - 2ab + b^{2}) \\ =& -3a(a - b)^{2} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} &4x^{2}y - 4xy^{2} - x^{3} \\ =& -x(x^{2} - 4xy + 4y^{2}) \\ =& -x(x - 2y)^{2} \end{aligned}$

【例3】分解因式$(x^{2}-1)^{2}-6(x^{2}-1)+9$.

答题卡：
原式可看作以$(x^{2} - 1)$为整体的一元二次式，设$t = x^{2}-1$，则原式可化为$t^{2}-6t + 9$。
根据完全平方公式$a^2-2ab + b^2=(a - b)^2$，在$t^{2}-6t + 9$中，$a = t$，$b = 3$，则$t^{2}-6t + 9=(t - 3)^{2}$。
把$t = x^{2}-1$代回$(t - 3)^{2}$，得$(x^{2}-1 - 3)^{2}=(x^{2}-4)^{2}$。
再根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，对$x^{2}-4$进行因式分解，$x^{2}-4=(x + 2)(x - 2)$。
所以$(x^{2}-4)^{2}=[(x + 2)(x - 2)]^{2}=(x + 2)^{2}(x - 2)^{2}$。
综上，分解因式的结果为$(x + 2)^{2}(x - 2)^{2}$。

【变式3】分解因式$(x^{2}+4y^{2})^{2}-16x^{2}y^{2}$.

答题卡：
原式$=(x^{2}+4y^{2})^{2}-(4xy)^{2}$
$=(x^{2}+4y^{2}+4xy)(x^{2}+4y^{2}-4xy)$
$=(x^{2}+4xy + 4y^{2})(x^{2}-4xy + 4y^{2})$
$=(x + 2y)^{2}(x - 2y)^{2}$
综上，分解结果为$(x + 2y)^{2}(x - 2y)^{2}$。

1.把多项式$9x^{2}-9$分解因式,结果是().

A.$(3x + 3)(3x - 3)$
B.$9(x^{2}-1)$
C.$9x(x - 1)$
D.$9(x + 1)(x - 1)$

D

首先，提取公因数$9$，得到$9x^{2} - 9 = 9(x^{2} - 1)$。
接着，利用平方差公式$a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$，
将$x^{2} - 1$分解为$(x + 1)(x - 1)$。
因此，原式可以进一步分解为$9(x + 1)(x - 1)$。