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2.把多项式$ax^{3}-2ax^{2}+ax$分解因式,结果正确的是().
A.$ax(x^{2}-2x)$
B.$ax^{2}(x - 2)$
C.$ax(x + 1)(x - 1)$
D.$ax(x - 1)^{2}$
A.$ax(x^{2}-2x)$
B.$ax^{2}(x - 2)$
C.$ax(x + 1)(x - 1)$
D.$ax(x - 1)^{2}$
答案
D
解析
首先，从多项式 $ax^{3} - 2ax^{2} + ax$ 中提取公因式 $ax$，得到：
$ax^{3} - 2ax^{2} + ax = ax(x^{2} - 2x + 1)$
接着，观察括号内的多项式 $x^{2} - 2x + 1$，这是一个完全平方多项式，它可以表示为 $(x - 1)^{2}$。
因此，原多项式可以进一步分解为：
$ax(x^{2} - 2x + 1) = ax(x - 1)^{2}$
$ax^{3} - 2ax^{2} + ax = ax(x^{2} - 2x + 1)$
接着，观察括号内的多项式 $x^{2} - 2x + 1$，这是一个完全平方多项式，它可以表示为 $(x - 1)^{2}$。
因此，原多项式可以进一步分解为：
$ax(x^{2} - 2x + 1) = ax(x - 1)^{2}$
3.若多项式$(2x)^{n}-81$分解因式的结果为$(4x^{2}+9)(2x + 3)(2x - 3)$,则$n$的值是().
A.$2$
B.$4$
C.$6$
D.$8$
A.$2$
B.$4$
C.$6$
D.$8$
答案
B
解析
根据题意，$(2x)^{n} - 81$ 分解因式后为 $(4x^{2} + 9)(2x + 3)(2x - 3)$。
先展开$(2x + 3)(2x - 3)$，得到：$(2x + 3)(2x - 3) = 4x^{2} - 9$。
再与$(4x^{2} + 9)$相乘，得到：$(4x^{2} + 9)(4x^{2} - 9) = 16x^{4} - 81$。
因为$16x^{4} - 81$可以写成$(2x)^{4} - 81$，与题目中的$(2x)^{n} - 81$形式相同。
所以，$n = 4$。
先展开$(2x + 3)(2x - 3)$，得到：$(2x + 3)(2x - 3) = 4x^{2} - 9$。
再与$(4x^{2} + 9)$相乘，得到：$(4x^{2} + 9)(4x^{2} - 9) = 16x^{4} - 81$。
因为$16x^{4} - 81$可以写成$(2x)^{4} - 81$，与题目中的$(2x)^{n} - 81$形式相同。
所以，$n = 4$。
4.分解因式:
(1)$3ma^{2}-3mb^{2}=$____;
(2)$-am^{2}+4am - 4a=$.
(1)$3ma^{2}-3mb^{2}=$____;
(2)$-am^{2}+4am - 4a=$.
答案
(1) $3m(a + b)(a - b)$
(2) $- a(m - 2)^{2}$
(2) $- a(m - 2)^{2}$
解析
(1) 原式 $3ma^{2} - 3mb^{2}$
= $3m(a^{2} - b^{2})$ （提取公因式 $3m$）
= $3m(a + b)(a - b)$ （利用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$）
(2) 原式 $-am^{2} + 4am - 4a$
= $-a(m^{2} - 4m + 4)$ （提取公因式 $-a$）
= $-a(m - 2)^{2}$ （利用完全平方公式 $m^{2} - 4m + 4 = (m - 2)^{2}$）
= $3m(a^{2} - b^{2})$ （提取公因式 $3m$）
= $3m(a + b)(a - b)$ （利用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$）
(2) 原式 $-am^{2} + 4am - 4a$
= $-a(m^{2} - 4m + 4)$ （提取公因式 $-a$）
= $-a(m - 2)^{2}$ （利用完全平方公式 $m^{2} - 4m + 4 = (m - 2)^{2}$）
5.分解因式:
(1)$-\frac{1}{2}a^{2}+2a - 2$;
(2)$a^{2}-2ab - c^{2}+b^{2}$.
(1)$-\frac{1}{2}a^{2}+2a - 2$;
(2)$a^{2}-2ab - c^{2}+b^{2}$.
答案
(1) $-\frac{1}{2}a^{2}+2a - 2$
$=-\frac{1}{2}(a^{2}-4a + 4)$
$=-\frac{1}{2}(a - 2)^{2}$
(2) $a^{2}-2ab - c^{2}+b^{2}$
$=(a^{2}-2ab + b^{2}) - c^{2}$
$=(a - b)^{2}-c^{2}$
$=(a - b - c)(a - b + c)$
$=-\frac{1}{2}(a^{2}-4a + 4)$
$=-\frac{1}{2}(a - 2)^{2}$
(2) $a^{2}-2ab - c^{2}+b^{2}$
$=(a^{2}-2ab + b^{2}) - c^{2}$
$=(a - b)^{2}-c^{2}$
$=(a - b - c)(a - b + c)$
1.把多项式$2x^{3}-8x$分解因式,最后结果是().
A.$2(x^{3}-4x)$
B.$2x(x^{2}-4)$
C.$2x(x - 2)^{2}$
D.$2x(x + 2)(x - 2)$
A.$2(x^{3}-4x)$
B.$2x(x^{2}-4)$
C.$2x(x - 2)^{2}$
D.$2x(x + 2)(x - 2)$
答案
D
解析
首先，从 $2x^{3} - 8x$中提取公因式 $2x$，得到：
$2x^{3} - 8x = 2x(x^{2} - 4)$，
接着，发现$x^{2} - 4$ 是一个差平方形式，它可以进一步分解为：
$x^{2} - 4 = (x + 2)(x - 2)$，
代入上面的式子，得到：
$2x^{3} - 8x = 2x(x + 2)(x - 2)$。
$2x^{3} - 8x = 2x(x^{2} - 4)$，
接着，发现$x^{2} - 4$ 是一个差平方形式，它可以进一步分解为：
$x^{2} - 4 = (x + 2)(x - 2)$，
代入上面的式子，得到：
$2x^{3} - 8x = 2x(x + 2)(x - 2)$。
2.下面是甲、乙两位同学分解因式$-x^{3}+x$的结果,下列判断中正确的是().
甲同学:原式$=-x(x + 1)(x - 1)$
乙同学:原式$=x(1 + x)(1 - x)$
A.只有甲的结果正确
B.只有乙的结果正确
C.甲、乙的结果都正确
D.甲、乙的结果都不正确
甲同学:原式$=-x(x + 1)(x - 1)$
乙同学:原式$=x(1 + x)(1 - x)$
A.只有甲的结果正确
B.只有乙的结果正确
C.甲、乙的结果都正确
D.甲、乙的结果都不正确
答案
C
解析
分解因式$-x^{3}+x$，先提取公因式$-x$，得$-x(x^{2}-1)$，再利用平方差公式分解$x^{2}-1=(x+1)(x-1)$，所以原式$=-x(x+1)(x-1)$，即甲同学结果正确。乙同学提取公因式$x$后得$x(-x^{2}+1)=x(1 - x^{2})=x(1 + x)(1 - x)$，其结果与甲同学结果本质一致（$x(1 + x)(1 - x)=-x(x + 1)(x - 1)$），只是因式顺序和符号表述不同，但分解因式结果形式不唯一，只要分解彻底且正确即可。故甲、乙结果都正确。
3.(2025昆明官渡区期末)分解因式:$3x^{2}-27=$.
答案
$3(x + 3)(x - 3)$
解析
首先提取公因数3，得到$3(x^2 - 9)$，
接着应用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，
将$x^2 - 9$分解为$(x + 3)(x - 3)$，
所以，$3x^2 - 27 = 3(x + 3)(x - 3)$。
接着应用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，
将$x^2 - 9$分解为$(x + 3)(x - 3)$，
所以，$3x^2 - 27 = 3(x + 3)(x - 3)$。
4.分解因式:$3ay^{2}-3ax^{2}=$.
答案
$3a(y + x)(y - x)$
解析
首先，从 $3ay^{2} - 3ax^{2}$ 中提取最大公因式 $3a$，得到：
$3ay^{2} - 3ax^{2} = 3a(y^{2} - x^{2})$
接着，利用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$，将 $y^{2} - x^{2}$ 分解为 $(y + x)(y - x)$，代入上式得：
$3a(y^{2} - x^{2}) = 3a(y + x)(y - x)$
$3ay^{2} - 3ax^{2} = 3a(y^{2} - x^{2})$
接着，利用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$，将 $y^{2} - x^{2}$ 分解为 $(y + x)(y - x)$，代入上式得：
$3a(y^{2} - x^{2}) = 3a(y + x)(y - x)$
5.将多项式$3a^{2}-6a + 3$分解因式,结果是().
A.$3a(a - 2)+3$
B.$3(a^{2}-2a + 1)$
C.$3(a - 1)(a + 1)$
D.$3(a - 1)^{2}$
A.$3a(a - 2)+3$
B.$3(a^{2}-2a + 1)$
C.$3(a - 1)(a + 1)$
D.$3(a - 1)^{2}$
答案
D
解析
首先，从多项式 $3a^{2} - 6a + 3$ 中提取最大公因数3，得到：
$3a^{2} - 6a + 3 = 3(a^{2} - 2a + 1)$
接着，观察括号内的多项式 $a^{2} - 2a + 1$，这是一个完全平方多项式，它可以表示为 $(a - 1)^{2}$。
因此，原多项式可以进一步分解为：
$3(a^{2} - 2a + 1) = 3(a - 1)^{2}$
$3a^{2} - 6a + 3 = 3(a^{2} - 2a + 1)$
接着，观察括号内的多项式 $a^{2} - 2a + 1$，这是一个完全平方多项式，它可以表示为 $(a - 1)^{2}$。
因此，原多项式可以进一步分解为：
$3(a^{2} - 2a + 1) = 3(a - 1)^{2}$
6.把$a^{2}b - 2ab^{2}+b^{3}$分解因式,结果是().
A.$b(a^{2}-2ab + b^{2})$
B.$a^{2}b - b^{2}$
C.$b(a - b)^{2}$
D.$(a + b)^{2}$
A.$b(a^{2}-2ab + b^{2})$
B.$a^{2}b - b^{2}$
C.$b(a - b)^{2}$
D.$(a + b)^{2}$
答案
C
解析
原式 $a^{2}b - 2ab^{2} + b^{3}$
首先提取公因式 $b$，得到：
$a^{2}b - 2ab^{2} + b^{3} = b(a^{2} - 2ab + b^{2})$
观察括号内的 $a^{2} - 2ab + b^{2}$，这是一个完全平方公式，即 $(a - b)^{2}$，所以：
$b(a^{2} - 2ab + b^{2}) = b(a - b)^{2}$
首先提取公因式 $b$，得到：
$a^{2}b - 2ab^{2} + b^{3} = b(a^{2} - 2ab + b^{2})$
观察括号内的 $a^{2} - 2ab + b^{2}$，这是一个完全平方公式，即 $(a - b)^{2}$，所以：
$b(a^{2} - 2ab + b^{2}) = b(a - b)^{2}$
7.分解因式:
$3mx^{2}-6mxy + 3my^{2}=$.
$3mx^{2}-6mxy + 3my^{2}=$.
答案
$3m(x - y)^{2}$
解析
首先，从$3mx^{2} - 6mxy + 3my^{2}$中提取最大公因式$3m$，得到：
$3mx^{2} - 6mxy + 3my^{2} = 3m(x^{2} - 2xy + y^{2})$，
接下来，观察括号内的三项式$x^{2} - 2xy + y^{2}$，这是一个完全平方三项式，它可以表示为$(x - y)^{2}$，
因此，原式可以进一步分解为：
$3m(x^{2} - 2xy + y^{2}) = 3m(x - y)^{2}$。
$3mx^{2} - 6mxy + 3my^{2} = 3m(x^{2} - 2xy + y^{2})$，
接下来，观察括号内的三项式$x^{2} - 2xy + y^{2}$，这是一个完全平方三项式，它可以表示为$(x - y)^{2}$，
因此，原式可以进一步分解为：
$3m(x^{2} - 2xy + y^{2}) = 3m(x - y)^{2}$。
8.分解因式:
(1)$(x^{2}-4x)^{2}-16$;
(2)$(x^{2}-2)^{2}-4(x^{2}-2)+4$.
(1)$(x^{2}-4x)^{2}-16$;
(2)$(x^{2}-2)^{2}-4(x^{2}-2)+4$.
答案
(1)
$\begin{aligned}&(x^{2}-4x)^{2}-16\\=&(x^{2}-4x + 4)(x^{2}-4x - 4)\\=&(x - 2)^{2}(x^{2}-4x - 4)\end{aligned}$
（更完全分解可继续对$x^{2}-4x - 4$求根，但八年级上册一般到此步即可，若追求更彻底分解：$x^{2}-4x - 4=0$，$x=\frac{4\pm\sqrt{16 + 16}}{2}=2\pm2\sqrt{2}$，$x^{2}-4x - 4=(x - 2 - 2\sqrt{2})(x - 2 + 2\sqrt{2})$，本题按八年级要求作答）
最终答案：$(x - 2)^{2}(x^{2}-4x - 4)$
(2)
$\begin{aligned}&(x^{2}-2)^{2}-4(x^{2}-2)+4\\=&(x^{2}-2 - 2)^{2}\\=&(x^{2}-4)^{2}\\=&(x + 2)^{2}(x - 2)^{2}\end{aligned}$
最终答案：$(x + 2)^{2}(x - 2)^{2}$
$\begin{aligned}&(x^{2}-4x)^{2}-16\\=&(x^{2}-4x + 4)(x^{2}-4x - 4)\\=&(x - 2)^{2}(x^{2}-4x - 4)\end{aligned}$
（更完全分解可继续对$x^{2}-4x - 4$求根，但八年级上册一般到此步即可，若追求更彻底分解：$x^{2}-4x - 4=0$，$x=\frac{4\pm\sqrt{16 + 16}}{2}=2\pm2\sqrt{2}$，$x^{2}-4x - 4=(x - 2 - 2\sqrt{2})(x - 2 + 2\sqrt{2})$，本题按八年级要求作答）
最终答案：$(x - 2)^{2}(x^{2}-4x - 4)$
(2)
$\begin{aligned}&(x^{2}-2)^{2}-4(x^{2}-2)+4\\=&(x^{2}-2 - 2)^{2}\\=&(x^{2}-4)^{2}\\=&(x + 2)^{2}(x - 2)^{2}\end{aligned}$
最终答案：$(x + 2)^{2}(x - 2)^{2}$
