9.下列分解因式不正确的是().

A.$a^{2}-ab = a(a - b)$
B.$ab^{2}-a = a(b + 1)(b - 1)$
C.$a^{2}-2a + 4=(a - 2)^{2}$
D.$(a - b)^{2}+4ab=(a + b)^{2}$

C

A. 对于 $a^{2} - ab$，提取公因式 $a$ 得：
$a^{2} - ab = a(a - b)$，
所以A选项正确。
B. 对于 $ab^{2} - a$，首先提取公因式 $a$ 得：
$ab^{2} - a = a(b^{2} - 1)$，
再利用平方差公式 $b^{2} - 1 = (b + 1)(b - 1)$ 得：
$ab^{2} - a = a(b + 1)(b - 1)$，
所以B选项正确。
C. 对于 $a^{2} - 2a + 4$，尝试使用完全平方公式分解，但 $a^{2} - 2a + 4$ 并不是完全平方，因为 $(a - 2)^{2} = a^{2} - 4a + 4$，与给定的式子不同，所以C选项错误。
D. 对于 $(a - b)^{2} + 4ab$，展开得：
$(a - b)^{2} + 4ab = a^{2} - 2ab + b^{2} + 4ab = a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$，
所以D选项正确。

10.分解因式:$a^{2}(a - b)+9b^{2}(b - a)=$.

$(a - b)(a + 3b)(a - 3b)$

首先，观察原式 $a^{2}(a - b) + 9b^{2}(b - a)$，注意到 $a - b$ 和 $b - a$ 是相反数，即 $b - a = -(a - b)$。
因此，原式可以改写为：
$a^{2}(a - b) - 9b^{2}(a - b)$
接下来，提取公因式 $a - b$：
$= (a - b)(a^{2} - 9b^{2})$
然后，注意到 $a^{2} - 9b^{2}$ 是一个平方差形式，它可以进一步分解为 $(a + 3b)(a - 3b)$。
因此，原式可以进一步分解为：
$= (a - b)(a + 3b)(a - 3b)$

11.已知$xy =-\frac{1}{2},x + y = 5$,则$2x^{3}y + 4x^{2}y^{2}+2xy^{3}=$.

$-25$

首先对$2x^{3}y + 4x^{2}y^{2}+2xy^{3}$提取公因式：
$2x^{3}y + 4x^{2}y^{2}+2xy^{3}=2xy(x^{2}+2xy + y^{2})$
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，这里$a = x$，$b = y$，则$x^{2}+2xy + y^{2}=(x + y)^{2}$。
所以$2x^{3}y + 4x^{2}y^{2}+2xy^{3}=2xy(x + y)^{2}$。
已知$xy=-\frac{1}{2}$，$x + y = 5$，将其代入上式可得：
$2×(-\frac{1}{2})×5^{2}=-1×25=-25$。

12.把下列多项式分解因式:
(1)$4x^{3}y - 4x^{2}y^{2}+xy^{3}$;
(2)$3x^{3}-12xy^{2}$.

(1)
首先，提取公因式$xy$，可得：
$4x^{3}y - 4x^{2}y^{2}+xy^{3}=xy(4x^{2}-4xy + y^{2})$
然后，对括号内的式子利用完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$继续分解，其中$a = 2x$，$b = y$，可得：
$xy(4x^{2}-4xy + y^{2})=xy(2x - y)^{2}$
(2)
首先，提取公因式$3x$，可得：
$3x^{3}-12xy^{2}=3x(x^{2}-4y^{2})$
然后，对括号内的式子利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$继续分解，其中$a = x$，$b = 2y$，可得：
$3x(x^{2}-4y^{2})=3x(x + 2y)(x - 2y)$

13.分解因式:
(1)$a^{3}(a + b)-6a^{2}(a + b)+9a(a + b)$;
(2)$9a^{2}(x - y)+16b^{2}(y - x)$.

(1)
$\begin{aligned}&a^{3}(a + b)-6a^{2}(a + b)+9a(a + b)\\=&a(a + b)(a^{2}-6a + 9)\\=&a(a + b)(a - 3)^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&9a^{2}(x - y)+16b^{2}(y - x)\\=&9a^{2}(x - y)-16b^{2}(x - y)\\=&(x - y)(9a^{2}-16b^{2})\\=&(x - y)(3a + 4b)(3a - 4b)\end{aligned}$

14.给出三个多项式:①$2x^{2}+4x - 4$;②$2x^{2}+12x + 4$;③$2x^{2}-4x$.请你把其中任意两个多项式进行加法运算(写出所有可能的结果),并把每个结果分解因式.

答题卡：
① + ②：
$(2x^{2}+4x - 4)+(2x^{2}+12x + 4)$
$=2x^{2}+4x - 4 + 2x^{2}+12x + 4$
$=4x^{2}+16x$
$=4x(x + 4)$
① + ③：
$(2x^{2}+4x - 4)+(2x^{2}-4x)$
$=2x^{2}+4x - 4+2x^{2}-4x$
$=4x^{2}-4$
$=4(x^{2}-1)$
$=4(x + 1)(x - 1)$
② + ③：
$(2x^{2}+12x + 4)+(2x^{2}-4x)$
$=2x^{2}+12x + 4+2x^{2}-4x$
$=4x^{2}+8x + 4$
$=4(x^{2}+2x + 1)$
$=4(x + 1)^{2}$

15.(应用意识)阅读下列材料:
常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等.但有的多项式只用上述方法无法分解,如$x^{2}-4y^{2}+2x - 4y$,细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,分解过程为:

这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种方法解答下列问题:
(1)分解因式$9x^{2}-9x + 3y - y^{2}$;
(2)已知$\triangle ABC$的三边$a,b,c$满足$a^{2}-b^{2}-ac + bc = 0$,判断$\triangle ABC$的形状并说明理由.

(1) $9x^{2}-9x + 3y - y^{2}$
$=(9x^{2}-y^{2})+(-9x + 3y)$
$=(3x + y)(3x - y)-3(3x - y)$
$=(3x - y)(3x + y - 3)$
(2) $a^{2}-b^{2}-ac + bc = 0$
$(a^{2}-b^{2})+(-ac + bc)=0$
$(a + b)(a - b)-c(a - b)=0$
$(a - b)(a + b - c)=0$
∵$a,b,c$是$\triangle ABC$三边，
∴$a + b - c ＞ 0$
∴$a - b = 0$，即$a = b$
∴$\triangle ABC$是等腰三角形