登录
2. 运用完全平方公式分解因式
(1) 语言描述: 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的，等于这两个数的的平方.
(2) 公式:$a^{2}+2ab + b^{2}=$；$a^{2}-2ab + b^{2}=$.
(1) 语言描述: 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的，等于这两个数的的平方.
(2) 公式:$a^{2}+2ab + b^{2}=$；$a^{2}-2ab + b^{2}=$.
答案
(1)积的2倍；和（或差）；(2)$(a + b)^{2}$；$(a - b)^{2}$
解析
完全平方公式的语言描述为两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。公式形式为$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$，$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$。
【例1】下列式子为完全平方式的是().
A.$x^{2}+xy + y^{2}$
B.$x^{2}+2x + 2$
C.$x^{2}-2y + y^{2}$
D.$y^{2}+2y + 1$
A.$x^{2}+xy + y^{2}$
B.$x^{2}+2x + 2$
C.$x^{2}-2y + y^{2}$
D.$y^{2}+2y + 1$
答案
D
解析
完全平方公式为$(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$。
选项A：$x^{2}+xy + y^{2}$，中间项应为$\pm 2xy$，不是$xy$，不是完全平方式。
选项B：$x^{2}+2x + 2$，常数项应为$1$（即$1^2$），不是$2$，不是完全平方式。
选项C：$x^{2}-2y + y^{2}$，两项平方项应为同底数，这里$x^2$与$y^2$底数不同，不是完全平方式。
选项D：$y^{2}+2y + 1 = y^2 + 2× y×1 + 1^2 = (y + 1)^2$，是完全平方式。
选项A：$x^{2}+xy + y^{2}$，中间项应为$\pm 2xy$，不是$xy$，不是完全平方式。
选项B：$x^{2}+2x + 2$，常数项应为$1$（即$1^2$），不是$2$，不是完全平方式。
选项C：$x^{2}-2y + y^{2}$，两项平方项应为同底数，这里$x^2$与$y^2$底数不同，不是完全平方式。
选项D：$y^{2}+2y + 1 = y^2 + 2× y×1 + 1^2 = (y + 1)^2$，是完全平方式。
【变式1】下列多项式, 能用公式法分解因式的有. (填序号)
①$3x^{2}+3y^{2}$；②$-x^{2}+y^{2}$；③$-x^{2}-y^{2}$；④$x^{2}+xy + y^{2}$；⑤$x^{2}+2xy - y^{2}$；⑥$-x^{2}+4xy - 4y^{2}$.
①$3x^{2}+3y^{2}$；②$-x^{2}+y^{2}$；③$-x^{2}-y^{2}$；④$x^{2}+xy + y^{2}$；⑤$x^{2}+2xy - y^{2}$；⑥$-x^{2}+4xy - 4y^{2}$.
答案
②⑥
解析
①$3x^{2} + 3y^{2}$：提取公因式后得到$3(x^2 + y^2)$，$x^2 + y^2$无法再分解，不符合公式法。
②$-x^{2} + y^{2} = y^{2} - x^{2} = (y + x)(y - x)$，符合平方差公式。
③$-x^{2} - y^{2} = -(x^{2} + y^{2})$，无法分解，不符合公式法。
④$x^{2} + xy + y^{2}$：不符合完全平方公式或平方差公式。
⑤$x^{2} + 2xy - y^{2}$：不符合完全平方公式或平方差公式。
⑥$-x^{2} + 4xy - 4y^{2} = -(x^{2} - 4xy + 4y^{2}) = -(x - 2y)^{2}$，符合完全平方公式。
能用公式法分解的为②⑥。
②$-x^{2} + y^{2} = y^{2} - x^{2} = (y + x)(y - x)$，符合平方差公式。
③$-x^{2} - y^{2} = -(x^{2} + y^{2})$，无法分解，不符合公式法。
④$x^{2} + xy + y^{2}$：不符合完全平方公式或平方差公式。
⑤$x^{2} + 2xy - y^{2}$：不符合完全平方公式或平方差公式。
⑥$-x^{2} + 4xy - 4y^{2} = -(x^{2} - 4xy + 4y^{2}) = -(x - 2y)^{2}$，符合完全平方公式。
能用公式法分解的为②⑥。
【例2】分解因式:
(1)$a^{2}-14ab + 49b^{2}$；
(2)$2mn - m^{2}-n^{2}$.
(1)$a^{2}-14ab + 49b^{2}$；
(2)$2mn - m^{2}-n^{2}$.
答案
答题卡：
(1)
解：
原式$=a^{2}-14ab + 49b^{2}$
$=(a)^{2}-2× a×7b+(7b)^{2}$
$=(a - 7b)^{2}$
(2)
解：
原式$=2mn - m^{2}-n^{2}$
$=-(m^{2}-2mn + n^{2})$
$=-(m - n)^{2}$
(1)
解：
原式$=a^{2}-14ab + 49b^{2}$
$=(a)^{2}-2× a×7b+(7b)^{2}$
$=(a - 7b)^{2}$
(2)
解：
原式$=2mn - m^{2}-n^{2}$
$=-(m^{2}-2mn + n^{2})$
$=-(m - n)^{2}$
【变式2】分解因式:
(1)$4x^{2}+y^{2}-4xy$；
(2)$4a^{2}-12ab + 9b^{2}$.
(1)$4x^{2}+y^{2}-4xy$；
(2)$4a^{2}-12ab + 9b^{2}$.
答案
(1) $4x^{2}+y^{2}-4xy$
$=(2x)^{2}-2·2x· y + y^{2}$
$=(2x - y)^{2}$
(2) $4a^{2}-12ab + 9b^{2}$
$=(2a)^{2}-2·2a·3b + (3b)^{2}$
$=(2a - 3b)^{2}$
$=(2x)^{2}-2·2x· y + y^{2}$
$=(2x - y)^{2}$
(2) $4a^{2}-12ab + 9b^{2}$
$=(2a)^{2}-2·2a·3b + (3b)^{2}$
$=(2a - 3b)^{2}$
1. 已知$9x^{2}+mxy + 16y^{2}$能运用完全平方公式分解因式, 则$m$的值为().
A.12
B.$\pm12$
C.24
D.$\pm24$
A.12
B.$\pm12$
C.24
D.$\pm24$
答案
D
解析
完全平方公式为$a^{2}\pm2ab + b^{2}=(a\pm b)^{2}$，在$9x^{2}+mxy + 16y^{2}$中，$9x^{2}=(3x)^{2}$，$16y^{2}=(4y)^{2}$，那么$mxy=\pm2×(3x)×(4y)$，即$mxy = \pm24xy$，所以$m=\pm24$。
2. 下列多项式中, 不能用完全平方公式分解因式的是().
A.$x^{2}+2xy + 4y^{2}$
B.$x^{2}-x+\frac{1}{4}$
C.$x^{2}-2x + 1$
D.$x^{2}+6x + 9$
A.$x^{2}+2xy + 4y^{2}$
B.$x^{2}-x+\frac{1}{4}$
C.$x^{2}-2x + 1$
D.$x^{2}+6x + 9$
答案
A
解析
完全平方公式为$a^{2}\pm2ab + b^{2}=(a\pm b)^{2}$。
选项B：$x^{2}-x+\frac{1}{4}=x^{2}-2×\frac{1}{2}x+(\frac{1}{2})^{2}=(x - \frac{1}{2})^{2}$。
选项C：$x^{2}-2x + 1=x^{2}-2×1× x+1^{2}=(x - 1)^{2}$。
选项D：$x^{2}+6x + 9=x^{2}+2×3x+3^{2}=(x + 3)^{2}$。
选项A中$x^{2}+2xy + 4y^{2}$，在完全平方公式中$b^{2}=4y^{2}$，则$b = 2y$，而$2ab=2x·2y = 4xy\neq2xy$，所以$x^{2}+2xy + 4y^{2}$不能用完全平方公式分解因式。
选项B：$x^{2}-x+\frac{1}{4}=x^{2}-2×\frac{1}{2}x+(\frac{1}{2})^{2}=(x - \frac{1}{2})^{2}$。
选项C：$x^{2}-2x + 1=x^{2}-2×1× x+1^{2}=(x - 1)^{2}$。
选项D：$x^{2}+6x + 9=x^{2}+2×3x+3^{2}=(x + 3)^{2}$。
选项A中$x^{2}+2xy + 4y^{2}$，在完全平方公式中$b^{2}=4y^{2}$，则$b = 2y$，而$2ab=2x·2y = 4xy\neq2xy$，所以$x^{2}+2xy + 4y^{2}$不能用完全平方公式分解因式。
3. 分解因式:$x^{2}-14x + 49=$.
答案
$(x - 7)^{2}$
解析
原式$x^{2}-14x + 49$可看作$x^{2}-2×7× x+7^{2}$，根据完全平方公式$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$，这里$a = x$，$b = 7$，则$x^{2}-14x + 49=(x - 7)^{2}$。
4. 分解因式:$9a^{2}-6ab + b^{2}=$.
答案
$(3a - b)^2$
解析
原式$9a^{2}-6ab + b^{2}$符合完全平方公式$A^2 - 2AB+B^2=(A - B)^2$的形式，其中$A = 3a$，$B = b$，则$9a^{2}-6ab + b^{2}=(3a - b)^2$。
5. 分解因式:
(1)$m^{2}-10m + 25$；
(2)$4a^{2}+12ab + 9b^{2}$；
(3)$-x^{2}+6xy - 9y^{2}$；
(4)$(2x - y)^{2}+4(2x - y)+4$.
(1)$m^{2}-10m + 25$；
(2)$4a^{2}+12ab + 9b^{2}$；
(3)$-x^{2}+6xy - 9y^{2}$；
(4)$(2x - y)^{2}+4(2x - y)+4$.
答案
(1) $m^{2}-10m + 25 = m^{2} - 2 × m × 5 + 5^{2} = (m - 5)^{2}$
(2) $4a^{2}+12ab + 9b^{2} = (2a)^{2} + 2 × 2a × 3b + (3b)^{2} = (2a + 3b)^{2}$
(3) $-x^{2}+6xy - 9y^{2} = -(x^{2} - 6xy + 9y^{2}) = -[x^{2} - 2 × x × 3y + (3y)^{2}] = -(x - 3y)^{2}$
(4) $(2x - y)^{2}+4(2x - y)+4 = (2x - y)^{2} + 2 × (2x - y) × 2 + 2^{2} = (2x - y + 2)^{2}$
(2) $4a^{2}+12ab + 9b^{2} = (2a)^{2} + 2 × 2a × 3b + (3b)^{2} = (2a + 3b)^{2}$
(3) $-x^{2}+6xy - 9y^{2} = -(x^{2} - 6xy + 9y^{2}) = -[x^{2} - 2 × x × 3y + (3y)^{2}] = -(x - 3y)^{2}$
(4) $(2x - y)^{2}+4(2x - y)+4 = (2x - y)^{2} + 2 × (2x - y) × 2 + 2^{2} = (2x - y + 2)^{2}$
