例2 用合适的方法解下列方程：
(1)$9x^{2}-49= 0$；(2)$x^{2}-2x= 1$；
(3)$x(2x-5)= 4x-10$；
(4)$2x^{2}-7x+3= 0$。
名师导引 求解一元二次方程时,要根据方程的特点选用适当的方法：当一元二次方程缺少一次项时,通常可用直接开平方法；当方程全部化简后,一次项系数为偶数时,可用配方法；当方程一边(或移项后一边)为0,一边是易于分解成两个一次因式的乘积的式子时,可采用因式分解法；公式法适用于解所有一元二次方程。

(1) $9x^{2}-49=0$
移项得$9x^{2}=49$，
两边同除以9得$x^{2}=\frac{49}{9}$，
开平方得$x=\pm\frac{7}{3}$，
$\therefore x_{1}=\frac{7}{3},x_{2}=-\frac{7}{3}$。
(2) $x^{2}-2x=1$
移项得$x^{2}-2x-1=0$，
配方得$x^{2}-2x+1=1+1$，即$(x-1)^{2}=2$，
开平方得$x-1=\pm\sqrt{2}$，
$\therefore x_{1}=1+\sqrt{2},x_{2}=1-\sqrt{2}$。
(3) $x(2x-5)=4x-10$
右边变形为$2(2x-5)$，方程化为$x(2x-5)-2(2x-5)=0$，
提取公因式得$(2x-5)(x-2)=0$，
则$2x-5=0$或$x-2=0$，
$\therefore x_{1}=\frac{5}{2},x_{2}=2$。
(4) $2x^{2}-7x+3=0$
因式分解得$(2x-1)(x-3)=0$，
则$2x-1=0$或$x-3=0$，
$\therefore x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=3$。

变式训练 (1)方程$x^{2}= 3x$的两个根是。
(2)解方程：$3(x-5)^{2}= 2(5-x)$。

(1) $x_{1} = 0$，$x_{2} = 3$；
(2) $x_{1} = 5$，$x_{2} =\frac{13}{3}$。

(1) 原方程移项得$x^{2} - 3x = 0$，
提取公因式$x$，得$x(x - 3) = 0$，
由此可得，$x = 0$或$x - 3 = 0$，
所以，方程的两个根为$x_{1} = 0$，$x_{2} = 3$。
(2) 原方程变形为$3(x - 5)^{2} + 2(x - 5) = 0$，
将$x-5$看作一个整体，提取公因式，得$(x - 5)[3(x - 5) + 2] = 0$，
即$(x - 5)(3x - 15 + 2) = 0$，
也就是$(x - 5)(3x - 13) = 0$，
由此可得$x - 5 = 0$或$3x - 13 = 0$，
所以，方程的解为$x_{1} = 5$，$x_{2} = \frac{13}{3}$。

1. (2024 贵州)一元二次方程$x^{2}-2x= 0$的解是()
A.$x_{1}= 3$,$x_{2}= 1$
B.$x_{1}= 3$,$x_{2}= -2$
C.$x_{1}= 2$,$x_{2}= 0$
D.$x_{1}= -2$,$x_{2}= -1$

C

原方程为 $x^{2} - 2x = 0$，
提取公因式 $x$，得 $x(x - 2) = 0$，
根据因式分解法，得 $x = 0$ 或 $x - 2 = 0$，
解得 $x_{1} = 0$，$x_{2} = 2$。

2. (2024 萧山期中)关于$x的方程x(x-1)= 3(x-1)$,下列说法正确的是()
A.两边同时除以$(x-1)$,得$x= 3$
B.移项得$x(x-1)+3(x-1)= 0$,$\therefore (x-1)(x+3)= 0$,$\therefore x-1= 0或x+3= 0$,$\therefore x_{1}= 1$,$x_{2}= -3$
C.整理得$x^{2}+4x= -3$,$\because a= 1$,$b= -4$,$c= -3$,$\therefore \Delta =b^{2}-4ac= 28$,$\therefore x= \frac{4\pm\sqrt{28}}{2}= 2\pm\sqrt{7}$,$\therefore x_{1}= 2+\sqrt{7}$,$x_{2}= 2-\sqrt{7}$
D.整理得$x^{2}-4x= -3$,配方得$x^{2}-4x+4= 1$,$\therefore (x-2)^{2}= 1$,$\therefore x-2= \pm1$,$\therefore x_{1}= 1$,$x_{2}= 3$

D

方程$x(x-1)=3(x-1)$，移项得$x(x-1)-3(x-1)=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，则$x-1=0$或$x-3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。选项A中两边同时除以$(x-1)$，未考虑$x-1=0$的情况，错误；选项B移项符号错误，应为减$3(x-1)$，错误；选项C整理方程错误，应为$x^2-4x+3=0$，$\Delta=16-12=4$，错误；选项D整理得$x^2-4x=-3$，配方得$(x-2)^2=1$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，正确。

3. (跨学科融合)(2024 河南一模)根据物理学规律,如果把一物体从地面以9.8m/s的速度竖直上抛,那么经过$x$s,物体离地面的高度(单位：m)约为$9.8x-4.9x^{2}$。根据上述规律,物体经过s落回到地面。

2

物体落回地面时高度为0，即$9.8x - 4.9x^2 = 0$。提取公因式$4.9x$得$4.9x(2 - x) = 0$，则$4.9x = 0$或$2 - x = 0$，解得$x_1 = 0$（初始时刻），$x_2 = 2$。故物体经过2s落回到地面。

4. 若实数$k$,$b是方程(x+3)(x-1)= 0$的两个根,且$k\lt b$,则一次函数$y= kx+b$的图象不过第象限。

三

解方程$(x + 3)(x - 1)=0$，得$x_1=-3$，$x_2=1$。因为$k\lt b$，所以$k=-3$，$b=1$。一次函数为$y=-3x + 1$，其中$k=-3\lt0$，$b=1\gt0$，其图象经过第一、二、四象限，不过第三象限。

5. 用因式分解法解下列方程：
(1)$x(x+1)= x+1$；
(2)$(2x+3)^{2}= (3x+2)^{2}$；
(3)$2(x-3)= x^{2}-9$；
(4)$(x-1)^{2}-1+x= 0$。

(1)移项得$x(x + 1)-(x + 1)=0$，提取公因式$(x + 1)$得$(x + 1)(x - 1)=0$，则$x + 1=0$或$x - 1=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=1$。
(2)移项得$(2x + 3)^2-(3x + 2)^2=0$，利用平方差公式得$[(2x + 3)+(3x + 2)][(2x + 3)-(3x + 2)]=0$，化简得$(5x + 5)(-x + 1)=0$，即$5(x + 1)(-x + 1)=0$，则$x + 1=0$或$-x + 1=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=1$。
(3)原方程化为$2(x - 3)=(x + 3)(x - 3)$，移项得$2(x - 3)-(x + 3)(x - 3)=0$，提取公因式$(x - 3)$得$(x - 3)(2 - x - 3)=0$，即$(x - 3)(-x - 1)=0$，则$x - 3=0$或$-x - 1=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
(4)原方程变形为$(x - 1)^2+(x - 1)=0$，提取公因式$(x - 1)$得$(x - 1)(x - 1 + 1)=0$，即$x(x - 1)=0$，则$x=0$或$x - 1=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$。