7. 若关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} \frac{5}{2}x - 3 \leq x \\ x - 4 ＞ a \end{cases} $ 无解,且关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a - 1)x^{2} + 4x + 2 = 0 $ 有两个不相等的实数根,则符合条件的所有整数 $ a $ 的和为()
A.-1
B.0
C.1
D.2

A

解不等式组$\begin{cases} \frac{5}{2}x - 3 \leq x \\ x - 4 ＞ a \end{cases}$，
由$\frac{5}{2}x - 3 \leq x$得$x \leq 2$；由$x - 4 ＞ a$得$x ＞ a + 4$。
不等式组无解，则$a + 4 \geq 2$，解得$a \geq -2$。
对于方程$(a - 1)x^2 + 4x + 2 = 0$，
需满足$\begin{cases} a - 1 \neq 0 \\ \Delta = 16 - 8(a - 1) ＞ 0 \end{cases}$，
即$\begin{cases} a \neq 1 \\ 24 - 8a ＞ 0 \end{cases}$，解得$a ＜ 3$且$a \neq 1$。
综上，$-2 \leq a ＜ 3$且$a \neq 1$，整数$a$为$-2, -1, 0, 2$。
其和为$-2 + (-1) + 0 + 2 = -1$。

8. (2024 浑南期中)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - 4mx + 8m - 4 = 0 $。
(1)求证：该方程始终有两个实数根；
(2)等腰三角形一边长为 6,另外两边长是该方程的两个根,求这个等腰三角形的周长。

(1)证明见解析；(2)14。

(1)证明：对于方程$x^{2}-4mx + 8m - 4=0$，判别式$\Delta=(-4m)^{2}-4×1×(8m - 4)=16m^{2}-32m + 16=16(m - 1)^{2}$。因为$(m - 1)^{2}\geq0$，所以$\Delta\geq0$，该方程始终有两个实数根。
(2)解方程得$x=\frac{4m\pm\sqrt{16(m - 1)^{2}}}{2}=2m\pm2(m - 1)$，则方程两根为$x_{1}=4m - 2$，$x_{2}=2$。
情况1：若6为腰长，则方程一根为6。当$4m - 2=6$时，$m=2$，方程两根为6和2。三角形三边长为6，6，2，满足三角形三边关系，周长为$6 + 6 + 2=14$。
情况2：若6为底边长，则方程两根相等，即$4m - 2=2$，$m=1$，方程两根为2和2。三角形三边长为2，2，6，$2 + 2=4\lt6$，不满足三角形三边关系，舍去。
综上，等腰三角形周长为14。

配方法、公式法适用于解所有一元二次方程,因式分解法适用于解某些一元二次方程。总之,解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为两个一次方程,即。

降次

将二次方程化为两个一次方程，即降次。

思考 你能回忆起整式因式分解的步骤和方法吗？

（这里题目并非选择题，若按要求格式，可填无对应选项情况，暂以X表示）X

整式因式分解的步骤通常为：首先看各项有没有公因式，若有则先提取公因式；再看能否使用公式法，如平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，完全平方公式$a^{2}\pm2ab + b^{2}=(a\pm b)^{2}$；若项数是四项或四项以上，可以考虑分组分解法；对于某些特殊的多项式也可使用十字相乘法等进行分解。

练习 (1)方程$x^{2}-25= 0$的解为；
(2)方程$25x^{2}+20x+4= 0$的解为。

(1) $x =\pm 5$（或写为$x_1 = 5$，$x_2 = -5$）
(2) $x_1 = x_2 = - \frac{2}{5}$

(1) 对于方程 $x^2 - 25 = 0$，利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，将方程分解为 $(x + 5)(x - 5) = 0$，解得 $x_1 = 5$，$x_2 = -5$。
(2) 对于方程 $25x^2 + 20x + 4 = 0$，观察其形式，尝试进行因式分解。将方程重写为 $(5x + 2)^2 = 0$，解得 $x_1 = x_2 = -\frac{2}{5}$。

例1 用因式分解法解下列方程：
(1)$x^{2}= x$；(2)$9x^{2}-6x+1= 0$；
(3)$(x+3)^{2}-4(x-2)^{2}= 0$；
(4)$(4x-3)^{2}= 12x-9$。
名师导引 用因式分解法解一元二次方程时,要注意观察式子的结构,一看是否有公因式,二看是否符合平方差公式、完全平方公式的结构；同时要注意整体思想的渗透。

(1)
解：移项得 $x^{2} - x = 0$，
提取公因式 $x$ 得 $x(x - 1) = 0$，
所以 $x = 0$ 或 $x - 1 = 0$，
解得 $x_{1} = 0$，$x_{2} = 1$。
(2)
解：方程 $9x^{2} - 6x + 1 = 0$ 可化为 $(3x - 1)^{2} = 0$，
所以 $3x - 1 = 0$，
解得 $x_{1} = x_{2} = \frac{1}{3}$。
(3)
解：方程 $(x + 3)^{2} - 4(x - 2)^{2} = 0$ 可化为
$[(x + 3) + 2(x - 2)][(x + 3) - 2(x - 2)] = 0$，
即 $(3x - 1)(-x + 7) = 0$，
所以 $3x - 1 = 0$ 或 $-x + 7 = 0$，
解得 $x_{1} = \frac{1}{3}$，$x_{2} = 7$。
(4)
解：移项得 $(4x - 3)^{2} - (12x - 9) = 0$，
即 $(4x - 3)^{2} - 3(4x - 3) = 0$，
提取公因式 $(4x - 3)$ 得 $(4x - 3)(4x - 3 - 3) = 0$，
即 $(4x - 3)(4x - 6) = 0$，
所以 $4x - 3 = 0$ 或 $4x - 6 = 0$，
解得 $x_{1} = \frac{3}{4}$，$x_{2} = \frac{3}{2}$。

变式训练 用因式分解法解下列方程：
(1)$x(x-3)= 0$；(2)$x^{2}+5x= 0$；
(3)$3x(x-2)= 2(2-x)$；
(4)$9x^{2}-12x+4= 0$。

(1)
解：根据方程$x(x - 3)=0$，
由因式分解法得$x = 0$或$x - 3 = 0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=3$。
(2)
解：对$x^{2}+5x = 0$提取公因式$x$得$x(x + 5)=0$，
则$x = 0$或$x + 5 = 0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-5$。
(3)
解：对$3x(x - 2)=2(2 - x)$进行变形，$3x(x - 2)-2(2 - x)=0$，
即$3x(x - 2)+2(x - 2)=0$，
提取公因式$(x - 2)$得$(x - 2)(3x + 2)=0$，
所以$x - 2 = 0$或$3x + 2 = 0$，
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-\frac{2}{3}$。
(4)
解：对$9x^{2}-12x + 4 = 0$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
这里$a = 3x$，$b = 2$，则$(3x - 2)^{2}=0$，
所以$3x - 2 = 0$，
解得$x_{1}=x_{2}=\frac{2}{3}$。