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1. (2024 福建中考) 哥德巴赫提出“每个大于 2 的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想,我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。在质数 2,3,5 中,随机选取两个不同的数,其和是偶数的概率是 (
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
B
)A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
B
解析
从质数2,3,5中随机选取两个不同的数，所有可能的结果为：(2,3)，(2,5)，(3,5)，共3种。
其中和是偶数的结果为：(3,5)，共1种。
所以概率为$\frac{1}{3}$。
B
其中和是偶数的结果为：(3,5)，共1种。
所以概率为$\frac{1}{3}$。
B
2. 从 1,2,3,4 四个数中随机选取两个不同的数,分别记为 $ a $,$ c $,则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+4x + c = 0 $ 有实数解的概率为 (
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
C
)A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
C
解析
从1,2,3,4四个数中随机选取两个不同的数，记为$a$，$c$，所有可能的结果有：$(1,2)$，$(1,3)$，$(1,4)$，$(2,1)$，$(2,3)$，$(2,4)$，$(3,1)$，$(3,2)$，$(3,4)$，$(4,1)$，$(4,2)$，$(4,3)$，共12种。
对于一元二次方程$ax^2 + 4x + c = 0$，判别式$\Delta = 4^2 - 4ac = 16 - 4ac$。
当$\Delta \geq 0$，即$16 - 4ac \geq 0$，$ac \leq 4$时，方程有实数解。
满足$ac \leq 4$的结果有：$(1,2)$，$(1,3)$，$(1,4)$，$(2,1)$，$(3,1)$，$(4,1)$，共6种。
所以概率为$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$。
C
对于一元二次方程$ax^2 + 4x + c = 0$，判别式$\Delta = 4^2 - 4ac = 16 - 4ac$。
当$\Delta \geq 0$，即$16 - 4ac \geq 0$，$ac \leq 4$时，方程有实数解。
满足$ac \leq 4$的结果有：$(1,2)$，$(1,3)$，$(1,4)$，$(2,1)$，$(3,1)$，$(4,1)$，共6种。
所以概率为$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$。
C
3. 如图 25 - 2 - 2 - 2 是一个沿 $ 3×3 $ 正方形方格纸的对角线 $ AB $ 剪下的图形,一质点 $ P $ 由点 $ A $ 出发,沿格点线每次向左或向下运动 1 个单位长度,则点 $ P $ 由点 $ A $ 运动到点 $ B $ 的不同路径共有 (
A.4 条
B.5 条
C.6 条
D.7 条
B
)A.4 条
B.5 条
C.6 条
D.7 条
答案
B
解析
从点A到点B，需向左运动2次，向下运动2次，共4次运动。不同路径数为从4次运动中选2次向左（或向下）的组合数，即$\binom{4}{2}=6$。但沿对角线AB剪下的图形，右上角一格无法到达，需减去经过该格的1条路径，故共有$6-1=5$条不同路径。
B
B
4. 在如图 25 - 2 - 2 - 3 所示的电路图中,当随机闭合开关 $ K_{1} $,$ K_{2} $,$ K_{3} $ 中的两个时,能够让灯泡发光的概率为
$\frac{2}{3}$
。答案
$\frac{2}{3}$
解析
随机闭合开关$K_{1}$，$K_{2}$，$K_{3}$中的两个，所有可能的情况有：$(K_{1},K_{2})$，$(K_{1},K_{3})$，$(K_{2},K_{3})$，共3种。
能让灯泡发光的情况需形成通路，即闭合$(K_{1},K_{2})$或$(K_{1},K_{3})$，共2种。
所以能够让灯泡发光的概率为$\frac{2}{3}$。
能让灯泡发光的情况需形成通路，即闭合$(K_{1},K_{2})$或$(K_{1},K_{3})$，共2种。
所以能够让灯泡发光的概率为$\frac{2}{3}$。
5. 小明与甲、乙两人一起玩“手心手背”的游戏。他们约定：如果三人中仅有一人出“手心”或“手背”,那么这个人获胜；如果三人都出“手心”或“手背”,那么不分胜负。在一个回合中,若小明出“手心”,则小明获胜的概率是多少？
答案
$\frac{1}{4}$
解析
小明出“手心”，甲、乙两人各有“手心”“手背”2种出法，所有可能结果为（手心，手心）、（手心，手背）、（手背，手心）、（手背，手背），共4种。
小明获胜需仅有他一人出“手心”，即甲、乙都出“手背”，只有1种结果。
概率为$\frac{1}{4}$。
小明获胜需仅有他一人出“手心”，即甲、乙都出“手背”，只有1种结果。
概率为$\frac{1}{4}$。
6. 某校开展了“六城同创,与我同行”活动周,活动周设置了“$ A $：文明礼仪,$ B $：生态环境,$ C $：交通安全,$ D $：卫生保洁”四个主题。小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动,请用画树状图法求他们恰好选中同一个主题活动的概率。
答案
画树状图略。$\frac{1}{4}$
解析
画树状图如下：
```
小明
/ | \ \
A B C D
/|\ /|\ /|\ /|\
A B C D A B C D A B C D A B C D
小华
```
共有16种等可能的结果，其中他们恰好选中同一个主题活动的结果有4种（AA、BB、CC、DD），所以概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
$\frac{1}{4}$
```
小明
/ | \ \
A B C D
/|\ /|\ /|\ /|\
A B C D A B C D A B C D A B C D
小华
```
共有16种等可能的结果，其中他们恰好选中同一个主题活动的结果有4种（AA、BB、CC、DD），所以概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
$\frac{1}{4}$
7. (2023 陕西中考) 一个不透明的袋子中装有四个小球,这四个小球上各标有一个数字,分别是 1,1,2,3,这些小球除标有的数字外都相同。
(1) 从袋中随机摸出一个小球,则摸出的这个小球上标有的数字是 1 的概率为
(2) 先从袋中随机摸出一个小球,记下小球上标有的数字后,放回、摇匀,再从袋中随机摸出一个小球,记下小球上标有的数字,请利用画树状图或列表的方法,求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率。
(1) 从袋中随机摸出一个小球,则摸出的这个小球上标有的数字是 1 的概率为
$\frac{1}{2}$
；(2) 先从袋中随机摸出一个小球,记下小球上标有的数字后,放回、摇匀,再从袋中随机摸出一个小球,记下小球上标有的数字,请利用画树状图或列表的方法,求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率。
画树状图略,$P=\frac{7}{16}$。
答案
(1)$\frac{1}{2}$
(2)画树状图略,$P=\frac{7}{16}$。
