【例1】将一张正方形纸片ABCD按右图所示的方式折叠,AE,AF为折痕,点B,D折叠后的对应点分别为B',D',若$∠B'AD'= 16^\circ,$则∠EAF的度数为$( )A. 56^\circ B. 45^\circ C. 40^\circ D. 37^\circ$

D 【解析】因为四边形 ABCD 为正方形，所以∠DAB=90°。根据翻折的性质，可设∠BAE=∠B'AE=x，∠DAF=∠D'AF=y，所以 2∠DAF+2∠BAE=∠DAB+∠B'AD'，即 2(x+y)=90°+16°，解得 x+y=53°，所以∠EAF=90°-(x+y)=37°。

【例2】如图,D,E顺次为线段AB上的两点,AB= 20,C为AD的中点,则下列选项正确的是( )

A.若BE－DE= 0,则AE－CD= 7
B.若BE－DE= 2,则AE－CD= 7
C.若BE－DE= 4,则AE－CD= 7
D.若BE－DE= 6,则AE－CD= 7

D 【解析】若 BE-DE=0，可设 DE=x，则 BE=x，所以 AD=20-x-x=20-2x。因为 C 为 AD 的中点，所以 AC=CD=10-x，AE=20-2x+x=20-x，所以 AE-CD=(20-x)-(10-x)=10，故 A 错误。若 BE-DE=2，可设 DE=x，则 BE=x+2，所以 AD=20-x-(x+2)=18-2x。因为 C 为 AD 的中点，所以 AC=CD=9-x，AE=18-2x+x=18-x，所以 AE-CD=(18-x)-(9-x)=9，故 B 错误。若 BE-DE=4，可设 DE=x，则 BE=x+4，所以 AD=20-x-(x+4)=16-2x。因为 C 为 AD 的中点，所以 AC=CD=8-x，AE=16-2x+x=16-x，所以 AE-CD=(16-x)-(8-x)=8，故 C 错误。若 BE-DE=6，可设 DE=x，则 BE=x+6，所以 AD=20-x-(x+6)=14-2x。因为 C 为 AD 的中点，所以 AC=CD=7-x，AE=14-2x+x=14-x，所以 AE-CD=(14-x)-(7-x)=7，故 D 正确。

【例3】如图,将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形,并将①号、②号、③号正方形按图2方式放入④号正方形内部,若需求出阴影部分的周长和,只需知道哪个正方形的边长( )

A.①号
B.②号
C.③号
D.④号

A 【解析】设①号正方形的边长为 x，②号正方形的边长为 y，则③号正方形的边长为 x+y，④号正方形的边长为 2x+y，⑤号长方形的长为 3x+y，宽为 y-x，题图2中左上角阴影部分的长为 2x+y-y=2x，宽为 2x+y-(x+y)=x，下方阴影是一个边长为 x 的正方形，则两个阴影的周长和为 10x，与①号正方形的边长有关。

【例4】已知长方形ABCD,AD＞AB,AD= 10,将两张边长分别为a和b(a＞b)的正方形纸片按图1、图2两种方式放置(图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠),长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示。设图1中阴影部分的面积为$S_1,$图2中阴影部分的面积为$S_2。$当$S_2－S_1= 3b$时,AB= ( )

A.1
B.3
C.5
D.7

D 【解析】S₁=(AB-a)a+(CD-b)(AD-a)=(AB-a)a+(AB-b)(AD-a)，S₂=AB(AD-a)+(a-b)(AB-a)，所以 S₂-S₁=AB(AD-a)+(a-b)(AB-a)-(AB-a)a-(AB-b)(AD-a)=(AD-a)(AB-AB+b)+(AB-a)(a-b-a)=bAD-ab-bAB+ab=b(AD-AB)。因为 S₂-S₁=3b，AD=10，所以 b(10-AB)=3b，所以 AB=7。

【变式】已知8个长为a、宽为b的小长方形(如图1),不重叠无空隙地摆放在长方形ABCD中(如图2),当BC的长度变化时,左上角阴影面积$S_1$与右下角阴影面积$S_2$的差没有变化,则a,b之间的关系为( )

A.5b= 2a
B.2b= a
C.3b= a
D.5b= 3a

C 【解析】因为 S₁-S₂=3b(AD-a)-a(AD-5b)，整理，得 S₁-S₂=(3b-a)AD+2ab。因为 BC(即 AD)的长度变化，而 S₁-S₂的值总保持不变，所以 3b-a=0，解得 3b=a。