5. (2024·河北)在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，长方形$ABCD$位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是(
A.点$A$
B.点$B$
C.点$C$
D.点$D$
B
)A.点$A$
B.点$B$
C.点$C$
D.点$D$
答案
5.B 解析:不妨采用赋值法求解.设$A(1.5,1)$，$AB = 3.5$，$AD = 2$，则$B(5,1)$，$C(5,3)$，$D(1.5,3)$，此时点A，B，C，D的“特征值”分别是$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{3}{5}$，2，
∴“特征值”最小的是点B.
∴“特征值”最小的是点B.
6. 如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第四象限内作出点$P(m - 1,2n)$，则$m$与$n$之间的数量关系为
$m + 2n = 1$
.答案
6.$m + 2n = 1$ 解析:由作图，可知点P在第四象限的角平分线上，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，即$|m - 1| = |2n|$.又
∵点$P(m - 1,2n)$在第四象限，
∴$m - 1 = -2n$，即$m + 2n = 1$.
∴点P到x轴和y轴的距离相等，即$|m - 1| = |2n|$.又
∵点$P(m - 1,2n)$在第四象限，
∴$m - 1 = -2n$，即$m + 2n = 1$.
7. (2024·河南)如图，在平面直角坐标系中，正方形$ABCD$的边$AB$在$x$轴上，点$A$的坐标为$(-2,0)$，点$E$在边$CD$上.将$\triangle BCE$沿$BE$折叠，点$C$落在点$F$处.若点$F$的坐标为$(0,6)$，则点$E$的坐标为
$(3,10)$
.答案
7.$(3,10)$ 解析:如图，设CD交y轴于点G，正方形的边长为m.
∵四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上，
∴$AD = AB = CD = CB = m$，$AD\perp x$轴，$CD\perp y$轴.由折叠，得$FB = CB = m$，$FE = CE$.
∵$A(-2,0)$，$F(0,6)$，
∴$OA = GD = 2$，$OF = 6$，
∴$OB = m - 2$.
∵在$Rt\triangle FOB$中，$OB^2 + OF^2 = BF^2$，
∴$(m - 2)^2 + 6^2 = m^2$，解得$m = 10$，
∴$AD = OG = CD = 10$，
∴$FG = 10 - 6 = 4$，$FE = CE = 10 - 2 - GE = 8 - GE$.
∵在$Rt\triangle FGE$中，$GE^2 + FG^2 = FE^2$，
∴$GE^2 + 4^2 = (8 - GE)^2$，解得$GE = 3$，
∴点E的坐标为$(3,10)$.
8. (新考法·新定义题)对于平面直角坐标系中的点$P(a,b)$，若$P'(a + kb,ka + b)$(其中$k$为常数，且$k\neq0$)，则称点$P'$为点$P$的“$k$属派生点”.例如：$P(1,4)$的“$2$属派生点”为$P'(1 + 2×4,2×1 + 4)$，即$P'(9,6)$.
(1)点$P(-2,3)$的“$3$属派生点”$P'$的坐标为
(2)若点$P$的“$5$属派生点”$P'$的坐标为$(3,-9)$，求点$P$的坐标；
(3)若点$P$在$x$轴的正半轴上，点$P$的“$k$属派生点”为点$P'$，且线段$PP'$的长度为线段$OP$长度的$2$倍，求$k$的值.
(1)点$P(-2,3)$的“$3$属派生点”$P'$的坐标为
$(7,-3)$
；(2)若点$P$的“$5$属派生点”$P'$的坐标为$(3,-9)$，求点$P$的坐标；
(3)若点$P$在$x$轴的正半轴上，点$P$的“$k$属派生点”为点$P'$，且线段$PP'$的长度为线段$OP$长度的$2$倍，求$k$的值.
答案
8.(1)$(7,-3)$ (2)设$P(x,y)$.根据题意，得$\begin{cases}x + 5y = 3,\\5x + y = -9,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = -2,\\y = 1,\end{cases}$
∴点P的坐标为$(-2,1)$
(3)
∵点$P(a,b)$在x轴的正半轴上，
∴$b = 0$，$a \gt 0$，
∴点P的坐标为$(a,0)$，此时点$P'$的坐标为$(a,ka)$，
∴$PP' = |ka|$，$OP = a$.根据题意，得$|PP'| = 2|OP|$，即$|ka| = 2a$.
∵$a \gt 0$，
∴$|k| = 2$，
∴k的值为$\pm2$
∴点P的坐标为$(-2,1)$
(3)
∵点$P(a,b)$在x轴的正半轴上，
∴$b = 0$，$a \gt 0$，
∴点P的坐标为$(a,0)$，此时点$P'$的坐标为$(a,ka)$，
∴$PP' = |ka|$，$OP = a$.根据题意，得$|PP'| = 2|OP|$，即$|ka| = 2a$.
∵$a \gt 0$，
∴$|k| = 2$，
∴k的值为$\pm2$
9. (分类讨论思想)如图，在平面直角坐标系中，$O$是原点，点$A$的坐标为$(4,3)$，$P$是坐标轴上的一点.若以$O$，$A$，$P$为顶点的三角形为等腰三角形，则满足条件的点$P$共有
8
个，请直接写出所有满足条件的点$P$的坐标.答案
9.8 满足条件的点P的坐标为$(5,0)$，$(8,0)$，$(0,5)$，$(0,6)$，$(-5,0)$，$(0,-5)$，$(0,\frac{25}{6})$，$(\frac{25}{8},0)$
解析
解：点$A(4,3)$，则$OA=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$。
情况一：$OA=OP$
当$P$在$x$轴上时，$P(\pm5,0)$；
当$P$在$y$轴上时，$P(0,\pm5)$。
情况二：$OA=AP$
当$P$在$x$轴上时，设$P(x,0)$，则$\sqrt{(x - 4)^2 + 3^2}=5$，解得$x=8$或$x=0$（舍去$O$点），即$P(8,0)$；
当$P$在$y$轴上时，设$P(0,y)$，则$\sqrt{4^2 + (y - 3)^2}=5$，解得$y=6$或$y=0$（舍去$O$点），即$P(0,6)$。
情况三：$OP=AP$
当$P$在$x$轴上时，设$P(x,0)$，则$x^2=(x - 4)^2 + 3^2$，解得$x=\frac{25}{8}$，即$P\left(\frac{25}{8},0\right)$；
当$P$在$y$轴上时，设$P(0,y)$，则$y^2=4^2 + (y - 3)^2$，解得$y=\frac{25}{6}$，即$P\left(0,\frac{25}{6}\right)$。
满足条件的点$P$的坐标为：$(5,0)$，$(-5,0)$，$(0,5)$，$(0,-5)$，$(8,0)$，$(0,6)$，$\left(\frac{25}{8},0\right)$，$\left(0,\frac{25}{6}\right)$。
情况一：$OA=OP$
当$P$在$x$轴上时，$P(\pm5,0)$；
当$P$在$y$轴上时，$P(0,\pm5)$。
情况二：$OA=AP$
当$P$在$x$轴上时，设$P(x,0)$，则$\sqrt{(x - 4)^2 + 3^2}=5$，解得$x=8$或$x=0$（舍去$O$点），即$P(8,0)$；
当$P$在$y$轴上时，设$P(0,y)$，则$\sqrt{4^2 + (y - 3)^2}=5$，解得$y=6$或$y=0$（舍去$O$点），即$P(0,6)$。
情况三：$OP=AP$
当$P$在$x$轴上时，设$P(x,0)$，则$x^2=(x - 4)^2 + 3^2$，解得$x=\frac{25}{8}$，即$P\left(\frac{25}{8},0\right)$；
当$P$在$y$轴上时，设$P(0,y)$，则$y^2=4^2 + (y - 3)^2$，解得$y=\frac{25}{6}$，即$P\left(0,\frac{25}{6}\right)$。
满足条件的点$P$的坐标为：$(5,0)$，$(-5,0)$，$(0,5)$，$(0,-5)$，$(8,0)$，$(0,6)$，$\left(\frac{25}{8},0\right)$，$\left(0,\frac{25}{6}\right)$。
