1. (新考法·新定义题)(2024·河北)平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数,且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移,每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时,向右平移;当余数为1时,向上平移;当余数为2时,向左平移),每次平移1个单位长度.若“和点”Q按上述规则连续平移16次后,到达点$Q_{16}(-1,9)$,则点Q的坐标为 ()

A.$(6,1)$或$(7,1)$
B.$(15,-7)$或$(8,0)$
C.$(6,0)$或$(8,0)$
D.$(5,1)$或$(7,1)$

1. D

2. 如图,在平面直角坐标系中,将$\triangle ABO$沿x轴向右滚动到$\triangle AB_{1}C_{1}$的位置,再到$\triangle A_{1}B_{1}C_{2}$的位置……依次进行下去.已知点$A(4,0),B(0,3)$,则点$C_{100}$的坐标为.

2. (600,0) 解析：根据题意，可知每滚动3次为一个周期，点C₁,C₃,C₅⋯在第一象限，点C₂,C₄,C₆⋯在x轴上。
∵A(4,0)，B(0,3)，
∴OA=4，OB=3，
∴$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=5，$
∴点C₂的横坐标为4+5+3=12=2×6。同理，可得点C₄的横坐标为4×6，点C₆的横坐标为6×6，⋯，
∴点C₂ₙ的横坐标为2n×6(n为正整数)，
∴点C₁₀₀的横坐标为100×6=600，
∴点C₁₀₀的坐标为(600,0)。

3. 如图,在平面直角坐标系中,把一个点从原点开始向上平移1个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到点$A_{1}(1,1)$;把点$A_{1}$向上平移2个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点$A_{2}(-1,3)$;把点$A_{2}$向下平移3个单位长度,再向左平移3个单位长度,得到点$A_{3}(-4,0)$;把点$A_{3}$向下平移4个单位长度,再向右平移4个单位长度,得到点$A_{4}(0,-4)$……依次进行下去,则点$A_{10}$的坐标为.

3. (-1,11)

解：根据平移规律，依次计算各点坐标：
$A_1(1,1)$
$A_2(1-2,1+2)=(-1,3)$
$A_3(-1-3,3-3)=(-4,0)$
$A_4(-4+4,0-4)=(0,-4)$
$A_5(0+5,-4+5)=(5,1)$
$A_6(5-6,1+6)=(-1,7)$
$A_7(-1-7,7-7)=(-8,0)$
$A_8(-8+8,0-8)=(0,-8)$
$A_9(0+9,-8+9)=(9,1)$
$A_{10}(9-10,1+10)=(-1,11)$
$(-1,11)$

4. 如果将点P绕定点M旋转$180^{\circ}$后与点Q重合,那么称点P与点Q关于点M对称,定点M叫作对称中心,此时,M是线段PQ的中点.如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABO$的顶点A,B,O的坐标分别为$(1,0),(0,1),(0,0)$.点列$P_{1},P_{2},P_{3}$…中的相邻两点都关于$\triangle ABO$的一个顶点对称:点$P_{1}$与点$P_{2}$关于点A对称,点$P_{2}$与点$P_{3}$关于点B对称,点$P_{3}$与点$P_{4}$关于点O对称,点$P_{4}$与点$P_{5}$关于点A对称,点$P_{5}$与点$P_{6}$关于点B对称,点$P_{6}$与点$P_{7}$关于点O对称……对称中心分别是点A,B,O,A,B,O…,且这些对称中心依次循环.已知点$P_{1}$的坐标是$(1,1)$,试求点$P_{2},P_{7},P_{100}$的坐标.

4. 根据所给的坐标，可知O为坐标原点。由于点P₁与点P₂关于点A对称，且点P₁的坐标是(1,1)，
∴点P₂的坐标是(1,-1)。
∵点P₂与点P₃关于点B对称，
∴点P₃的坐标是(-1,3)。
∵点P₃与点P₄关于点O对称，
∴点P₄的坐标是(1,-3)。
∵点P₄与点P₅关于点A对称，
∴点P₅的坐标是(1,3)。
∵点P₅与点P₆关于点B对称，
∴点P₆的坐标是(-1,-1)。
∵点P₆与点P₇关于点O对称，
∴点P₇的坐标是(1,1)。此时点P₇与点P₁重合。依次类推，反复循环，即点P₈与点P₂重合，点P₉与点P₃重合，点P₁₀与点P₄重合，点P₁₁与点P₅重合，点P₁₂与点P₆重合，点P₁₃与点P₇重合（即与点P₁重合），由此推断，点Pₙ的位置变换是以每6次对称为一个周期进行循环的。
∵100=16×6+4，
∴点P₁₀₀的坐标与点P₄的坐标一致，即点P₁₀₀的坐标为(1,-3)