拼图游戏与代数恒等式
我们喜欢玩拼图游戏，如俄罗斯方块、七巧板等，它们不仅给我们展现了丰富多彩的图案，还教给我们许多数学知识。
几何图形的面积与代数恒等式之间存在着对应关系，据此，可以给一些熟知的代数公式或代数恒等式做出合理的几何解释。此外，从一些几何图形中还能“读出”与之对应的代数式。



如图1，是$(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ac$的几何解释；
如图2，是$(a + b)(x + y) = ax + bx + ay + by$的几何解释；
如图3，是$(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$的几何解释；
准备一些正方形、长方形纸片，用所拼成的图形面积给出下列式子的几何解释：
(1)$(a + b + c + d)^{2} =?$
(2)$(a + b + c)^{3} =?$

【解析】：
(1) 我们可以想象一个边长为$(a + b + c + d)$的正方形。将其边长分成$a$、$b$、$c$、$d$四段。那么这个大正方形的面积就等于各个小部分面积之和。
从图1的规律可以类比，$(a + b + c + d)^{2}$展开后，有$a^{2}$、$b^{2}$、$c^{2}$、$d^{2}$这四个平方项，然后对于两两乘积项，$ab$、$ac$、$ad$、$bc$、$bd$、$cd$，且每个乘积项都有$2$个（因为$ab$和$ba$是一样的，在平方展开中合并为$2ab$，其他同理）。
(2) 对于$(a + b + c)^{3}$，我们可以想象一个边长为$(a + b + c)$的正方体。将其边长分成$a$、$b$、$c$三段。
从图3的规律类比，$(a + b + c)^{3}$展开后，有$a^{3}$、$b^{3}$、$c^{3}$这三个立方项。对于$a^{2}b$、$a^{2}c$、$b^{2}a$、$b^{2}c$、$c^{2}a$、$c^{2}b$这些二次项与一次项的乘积，每种都有$3$个（例如$a^{2}b$，从正方体的不同面去看，有三个不同的位置可以得到$a^{2}b$，其他同理）。还有$abc$项，从正方体的不同组合方式看，有$6$个。
【答案】：
(1)$(a + b + c + d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd$
(2)$(a + b + c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b + 3a^{2}c + 3b^{2}a + 3b^{2}c + 3c^{2}a + 3c^{2}b+6abc$