1. 若$(ax + b)(x + 2) = x^{2} - 4$，则$a^{b} = $__________。

$1$

2. 如果$(x + m)$与$(x + 3)$的乘积中不含$x$的一次项，则$m$的值为( )。
A. $-3$
B. $3$
C. $0$
D. $1$

A

3. 若$a$，$b$都是正数，且$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{2}{a + b}$，则$\frac{ab}{a^{2} - b^{2}} = $______。

$-\frac{1}{2}$

4. 雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行。假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射回来，又被雷达接收，两个过程共用了$5.24×10^{-5}$秒。已知电磁波的传播速度为$3.0×10^{8}$米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离是( )。
A. $7.86×10^{3}$米
B. $7.86×10^{4}$米
C. $1.572×10^{3}$米
D. $1.572×10^{4}$米

A

5. 把多项式$m^{2}(a - 2) + m(2 - a)$分解因式等于( )。
A. $(a - 2)(m^{2} + m)$
B. $(a - 2)(m^{2} - m)$
C. $m(a - 2)(m - 1)$
D. $m(a - 2)(m + 1)$

C

6. 先化简，再求值：$(1 + \frac{1}{x - 1})÷\frac{1}{x^{2} - 1} - (x - 2)$，其中$x = \sqrt{2}$。

【解析】：
本题可先对原式进行化简，再将$x = \sqrt{2}$代入化简后的式子求值。
- **步骤一：化简原式**
**化简$(1 + \frac{1}{x - 1})$：**
对括号内的式子进行通分，$1=\frac{x - 1}{x - 1}$，则$1 + \frac{1}{x - 1}=\frac{x - 1}{x - 1}+\frac{1}{x - 1}=\frac{x - 1 + 1}{x - 1}=\frac{x}{x - 1}$。
**化简$\frac{1}{x^{2} - 1}$：**
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^{2} - 1=(x + 1)(x - 1)$，则$\frac{1}{x^{2} - 1}=\frac{1}{(x + 1)(x - 1)}$。
**化简$(1 + \frac{1}{x - 1})\div\frac{1}{x^{2} - 1}$：**
根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，则$(1 + \frac{1}{x - 1})\div\frac{1}{x^{2} - 1}=\frac{x}{x - 1}\times(x^{2} - 1)=\frac{x}{x - 1}\times(x + 1)(x - 1)=x(x + 1)=x^2 + x$。
**化简原式：**
将上述化简结果代入原式，可得$(1 + \frac{1}{x - 1})\div\frac{1}{x^{2} - 1} - (x - 2)=x^2 + x - (x - 2)=x^2 + x - x + 2=x^2 + 2$。
- **步骤二：代入求值**
将$x = \sqrt{2}$代入化简后的式子$x^2 + 2$，可得$(\sqrt{2})^2 + 2=2 + 2 = 4$。
【答案】：$4$

7. (1)已知$x(x - 1) - (x^{2} - y) = - 3$，求$x^{2} + y^{2} - 2xy$的值。
(2)已知$a + b = 2$，$ab = - 2$，求$\frac{1}{2}a^{3}b + a^{2}b^{2} + \frac{1}{2}ab^{3}$的值。

【解析】：
(1)
首先对$x(x - 1)-(x^{2}-y)= - 3$进行化简：
$\begin{aligned}x(x - 1)-(x^{2}-y)&=-3\\x^{2}-x - x^{2}+y&=-3\\y - x&=-3\end{aligned}$
而$x^{2}+y^{2}-2xy=(x - y)^{2}$，因为$y - x=-3$，所以$x - y = 3$，则$(x - y)^{2}=3^{2}=9$。
(2)
对$\frac{1}{2}a^{3}b + a^{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab^{3}$进行因式分解：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}a^{3}b + a^{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab^{3}\\=&\frac{1}{2}ab(a^{2}+2ab + b^{2})\\=&\frac{1}{2}ab(a + b)^{2}\end{aligned}$
已知$a + b = 2$，$ab=-2$，将其代入上式可得：
$\frac{1}{2}\times(-2)\times2^{2}=-4$
【答案】：(1)9；(2)-4

8. 某地政府为促进消费，拉动内需，改善民生，启动“家电下乡”活动，农民购买入选的产品，政府按原价的$13\%$给予补贴返还。某村委会组织部分农民到商场购买入选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的$2$倍，且按原价买冰箱总额为$40000$元、电视机总额为$15000$元。根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多$65$元，求冰箱、电视机各购买了多少台？
(1)设购买电视机$x$台，依题意填写下列表格：
| |购买数量/台|原价额/元|政府补贴返还比例|补贴返还总金额/元|每台补贴返还金额/元|
|--|--|--|--|--|--|
|冰箱| |$40000$|$13\%$| | |
|电视机|$x$|$15000$|$13\%$| | |
(2)列出方程(组)并解答。

【解析】：
(1)已知购买电视机$x$台，因为购买冰箱的数量是电视机的$2$倍，所以冰箱购买了$2x$台。
冰箱补贴返还总金额为：$40000\times13\% = 5200$（元），每台冰箱补贴返还金额为：$\dfrac{40000\times13\%}{2x}=\dfrac{5200}{2x}$（元）。
电视机补贴返还总金额为：$15000\times13\% = 1950$（元），每台电视机补贴返还金额为：$\dfrac{15000\times13\%}{x}=\dfrac{1950}{x}$（元）。
故表格从左到右，从上到下依次为：$2x$；$5200$；$\dfrac{5200}{2x}$；$1950$；$\dfrac{1950}{x}$。
(2)根据“每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多$65$元”可列方程：
$\dfrac{40000\times13\%}{2x}-\dfrac{15000\times13\%}{x}=65$
化简方程得：$\dfrac{5200}{2x}-\dfrac{1950}{x}=65$
方程两边同时乘以$2x$去分母得：$5200 - 2\times1950 = 65\times2x$
即$5200 - 3900 = 130x$
$1300 = 130x$
解得$x = 10$。
经检验，当$x = 10$时，$2x=2\times10 = 20\neq0$，$x = 10\neq0$，所以$x = 10$是原方程的解。
则冰箱购买的数量为：$2x = 2\times10 = 20$（台）。
【答案】：(1)$2x$；$5200$；$\dfrac{5200}{2x}$；$1950$；$\dfrac{1950}{x}$；(2)冰箱购买了$20$台，电视机购买了$10$台。