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11. 把下列各式分解因式：
(1) $3x - 12x^2$；
(2) $2x(a - 2) - y(2 - a)$；
(3) $3x^2y - 6xy^2 + 3y^3$；
(4) $a - a^3$.
(1) $3x - 12x^2$；
(2) $2x(a - 2) - y(2 - a)$；
(3) $3x^2y - 6xy^2 + 3y^3$；
(4) $a - a^3$.
答案
11. (1) $3x(1-4x)$ (2) $(a-2)(2x+y)$ (3) $3y(x-y)^2$ (4) $a(1+a)(1-a)$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三查”的思路：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步看提取公因式后的式子是否符合平方差公式或完全平方公式的特征，若符合就套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，是否分解到不能再分解为止。
(1) 直接找两项的公因式提取即可；(2) 先将(2-a)变形为-(a-2)，即可找到公因式(a-2)提取；(3) 先提取公因式3y，剩余部分符合完全平方公式特征，套用公式分解；(4) 先提取公因式a，剩余部分符合平方差公式特征，套用公式分解即可。
【解析】
(1) $3x - 12x^2$
提取公因式$3x$，得：
原式$=3x · 1 - 3x · 4x = 3x(1-4x)$
(2) $2x(a - 2) - y(2 - a)$
先变形统一公因式：$2-a=-(a-2)$，代入得：
原式$=2x(a-2) + y(a-2)$
提取公因式$(a-2)$，得：
原式$=(a-2)(2x+y)$
(3) $3x^2y - 6xy^2 + 3y^3$
先提取公因式$3y$，得：
原式$=3y(x^2 - 2xy + y^2)$
剩余部分符合完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，这里$m=x,n=y$，代入得：
原式$=3y(x-y)^2$
(4) $a - a^3$
先提取公因式$a$，得：
原式$=a(1 - a^2)$
剩余部分符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，这里$m=1,n=a$，代入得：
原式$=a(1+a)(1-a)$
【答案】
(1) $3x(1-4x)$ (2) $(a-2)(2x+y)$ (3) $3y(x-y)^2$ (4) $a(1+a)(1-a)$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是掌握“一提二套三查”的解题步骤，提取公因式要注意找全公因式，套用公式时要准确识别式子符合的公式特征，最后要确保分解到不能再分解为止，熟练掌握后能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提、二套、三查”的思路：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步看提取公因式后的式子是否符合平方差公式或完全平方公式的特征，若符合就套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，是否分解到不能再分解为止。
(1) 直接找两项的公因式提取即可；(2) 先将(2-a)变形为-(a-2)，即可找到公因式(a-2)提取；(3) 先提取公因式3y，剩余部分符合完全平方公式特征，套用公式分解；(4) 先提取公因式a，剩余部分符合平方差公式特征，套用公式分解即可。
【解析】
(1) $3x - 12x^2$
提取公因式$3x$，得：
原式$=3x · 1 - 3x · 4x = 3x(1-4x)$
(2) $2x(a - 2) - y(2 - a)$
先变形统一公因式：$2-a=-(a-2)$，代入得：
原式$=2x(a-2) + y(a-2)$
提取公因式$(a-2)$，得：
原式$=(a-2)(2x+y)$
(3) $3x^2y - 6xy^2 + 3y^3$
先提取公因式$3y$，得：
原式$=3y(x^2 - 2xy + y^2)$
剩余部分符合完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，这里$m=x,n=y$，代入得：
原式$=3y(x-y)^2$
(4) $a - a^3$
先提取公因式$a$，得：
原式$=a(1 - a^2)$
剩余部分符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，这里$m=1,n=a$，代入得：
原式$=a(1+a)(1-a)$
【答案】
(1) $3x(1-4x)$ (2) $(a-2)(2x+y)$ (3) $3y(x-y)^2$ (4) $a(1+a)(1-a)$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是掌握“一提二套三查”的解题步骤，提取公因式要注意找全公因式，套用公式时要准确识别式子符合的公式特征，最后要确保分解到不能再分解为止，熟练掌握后能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
12. 已知$a+b=13$，$ab=40$，求$2a^2b+2ab^2-ab$的值.
答案
12. $2a^2b+2ab^2−ab=ab[2(a+b)−1]=40×(2×13−1)=40×25=1000$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和待求代数式的特征，已知$a+b$和$ab$的整体值，待求式各项都含有公因式$ab$，因此可以先通过提取公因式法对待求式进行因式分解，将其转化为含$a+b$和$ab$的式子，再整体代入已知数值计算即可，无需单独求解$a$、$b$的值，能简化计算过程。
【解析】
解：先对所求代数式因式分解：
$2a^2b+2ab^2-ab$
提取公因式$ab$，得：
$=ab(2a+2b-1)$
将括号内的$2a+2b$变形为$2(a+b)$，得：
$=ab[2(a+b)-1]$
将$a+b=13$，$ab=40$代入上式：
$=40×(2×13 - 1)$
先计算括号内的运算：$2×13=26$，$26-1=25$
再计算乘法：$40×25=1000$
【答案】
$1000$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，解题的关键是正确对待求式因式分解，将待求式转化为含已知整体的形式，通过整体代入简化计算，避免求解单个未知数的繁琐过程。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件和待求代数式的特征，已知$a+b$和$ab$的整体值，待求式各项都含有公因式$ab$，因此可以先通过提取公因式法对待求式进行因式分解，将其转化为含$a+b$和$ab$的式子，再整体代入已知数值计算即可，无需单独求解$a$、$b$的值，能简化计算过程。
【解析】
解：先对所求代数式因式分解：
$2a^2b+2ab^2-ab$
提取公因式$ab$，得：
$=ab(2a+2b-1)$
将括号内的$2a+2b$变形为$2(a+b)$，得：
$=ab[2(a+b)-1]$
将$a+b=13$，$ab=40$代入上式：
$=40×(2×13 - 1)$
先计算括号内的运算：$2×13=26$，$26-1=25$
再计算乘法：$40×25=1000$
【答案】
$1000$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，解题的关键是正确对待求式因式分解，将待求式转化为含已知整体的形式，通过整体代入简化计算，避免求解单个未知数的繁琐过程。
【难度系数】
0.8
13. $199^3 - 199$ 能被 198 整除吗？能被 200 整除吗？
答案
13. $199^3−199=199×(199^2−1)=199×(199+1)×(199−1)=199×200×198$，故$199^3−199$能被198整除，也能被200整除
解析
【分析】
要判断一个整式能否被某整数整除，核心是将该整式因式分解为多个整数的乘积形式，验证待判断的除数是否为乘积的因数即可。本题中先观察式子$199^3 - 199$，两项均含有公因式199，先提取公因式，剩余部分符合平方差公式的形式，继续分解后即可判断是否包含因数198和200。
【解析】
解：对$199^3 - 199$因式分解：
1. 提取公因式199，得：
$199^3 - 199 = 199×(199^2 - 1)$
2. 逆用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对$199^2 - 1$分解：
$199^2 -1=(199+1)×(199-1)=200×198$
因此原式可整理为：
$199^3 - 199 = 199×200×198$
分解后的乘积中同时含有因数198和200，因此$199^3 - 199$能被198整除，也能被200整除。
【答案】
$199^3 - 199$能被198整除，也能被200整除
【知识点】
提公因式法，平方差公式，整除判定
【点评】
本题是因式分解的基础应用题目，将原式转化为多个整数乘积的形式即可快速判断整除性，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要判断一个整式能否被某整数整除，核心是将该整式因式分解为多个整数的乘积形式，验证待判断的除数是否为乘积的因数即可。本题中先观察式子$199^3 - 199$，两项均含有公因式199，先提取公因式，剩余部分符合平方差公式的形式，继续分解后即可判断是否包含因数198和200。
【解析】
解：对$199^3 - 199$因式分解：
1. 提取公因式199，得：
$199^3 - 199 = 199×(199^2 - 1)$
2. 逆用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对$199^2 - 1$分解：
$199^2 -1=(199+1)×(199-1)=200×198$
因此原式可整理为：
$199^3 - 199 = 199×200×198$
分解后的乘积中同时含有因数198和200，因此$199^3 - 199$能被198整除，也能被200整除。
【答案】
$199^3 - 199$能被198整除，也能被200整除
【知识点】
提公因式法，平方差公式，整除判定
【点评】
本题是因式分解的基础应用题目，将原式转化为多个整数乘积的形式即可快速判断整除性，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的核心。
【难度系数】
0.8
14. 已知$a$，$b$，$c$为三角形$ABC$的三边长，且$a^3 - a^2b + 5ac - 5bc = 0$，试判断三角形$ABC$的形状.
答案
14. 利用因式分解，得$(a−b)(a^2+5c)=0$. 因为$a$，$b$，$c$为三角形$ABC$的三边长，所以$a^2+5c≠0$. 所以$a−b=0$. 所以$a=b$，即三角形$ABC$是等腰三角形
解析
【分析】要判断三角形ABC的形状，需要先推导三边的数量关系。首先对已知等式进行因式分解，通过分组提取公因式将等式转化为两个因式乘积为0的形式，再结合三角形边长都是正数的性质，排除不可能为0的因式，即可得到边长的等量关系，进而判断三角形的形状。
【解析】
解：对等式$a^3 - a^2b + 5ac - 5bc = 0$进行因式分解：
1. 分组：将前两项、后两项分别划为一组，得
$(a^3 - a^2b) + (5ac - 5bc) = 0$
2. 分别提取每组的公因式：
$a^2(a - b) + 5c(a - b) = 0$
3. 提取公因式$(a - b)$，得
$(a - b)(a^2 + 5c) = 0$
因为$a$、$b$、$c$是三角形的三边长，所以$a＞0$，$c＞0$，因此$a^2 + 5c ＞ 0$，即$a^2 + 5c ≠ 0$。
要使两个因式的乘积为0，只能$a - b = 0$，即$a = b$。
【答案】三角形ABC是等腰三角形
【知识点】因式分解的应用；三角形边长的性质；等腰三角形的判定
【点评】本题是代数与几何结合的基础题型，解题核心是熟练掌握因式分解的分组分解法，结合三角形边长为正的性质推导边长的等量关系，即可快速判断三角形的形状。
【难度系数】0.7
【解析】
解：对等式$a^3 - a^2b + 5ac - 5bc = 0$进行因式分解：
1. 分组：将前两项、后两项分别划为一组，得
$(a^3 - a^2b) + (5ac - 5bc) = 0$
2. 分别提取每组的公因式：
$a^2(a - b) + 5c(a - b) = 0$
3. 提取公因式$(a - b)$，得
$(a - b)(a^2 + 5c) = 0$
因为$a$、$b$、$c$是三角形的三边长，所以$a＞0$，$c＞0$，因此$a^2 + 5c ＞ 0$，即$a^2 + 5c ≠ 0$。
要使两个因式的乘积为0，只能$a - b = 0$，即$a = b$。
【答案】三角形ABC是等腰三角形
【知识点】因式分解的应用；三角形边长的性质；等腰三角形的判定
【点评】本题是代数与几何结合的基础题型，解题核心是熟练掌握因式分解的分组分解法，结合三角形边长为正的性质推导边长的等量关系，即可快速判断三角形的形状。
【难度系数】0.7
15. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2=(x+1)[1+x+x(x+1)]=(1+x)^2(1+x)=(x+1)^3.$
（1）上述因式分解的方法是________；
（2）因式分解：$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^{2018}$；
（3）因式分解：$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^n$（$n$为正整数）。
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2=(x+1)[1+x+x(x+1)]=(1+x)^2(1+x)=(x+1)^3.$
（1）上述因式分解的方法是________；
（2）因式分解：$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^{2018}$；
（3）因式分解：$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^n$（$n$为正整数）。
答案
15. (1) 提公因式法 (2) $(x+1)^{2019}$ (3) $(x+1)^{n+1}$
解析
【分析】
（1）观察给出的因式分解过程，每一步都是将公因式$(x+1)$提取出来，据此可判断分解方法；
（2）类比已知的分解思路，反复提取公因式$(x+1)$，原式中$(x+1)$的最高次是2018，每次提取公因式后最高次减1，最终提取2019次公因式后即可得到结果；
（3）将（2）的规律推广到一般情况，当$(x+1)$的最高次为n时，一共提取$n+1$次公因式，即可得到最终结果。
【解析】
（1）观察分解过程，每一步均是提取公因式$(x+1)$进行因式分解，因此所用方法是提公因式法；
（2）对$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^{2018}$分解：
第1次提取公因式$(x+1)$，得：$(x+1)[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^{2017}]$
第2次提取公因式$(x+1)$，得：$(x+1)^2[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^{2016}]$
……
依次类推，共提取2019次公因式后，最终结果为$(x+1)^{2019}$；
（3）按照（2）的规律，当式子中$(x+1)$的最高次为n时，反复提取公因式$(x+1)$共$n+1$次，最终结果为$(x+1)^{n+1}$。
【答案】
(1) 提公因式法 (2) $(x+1)^{2019}$ (3) $(x+1)^{n+1}$
【知识点】
提公因式法，因式分解，规律归纳
【点评】
本题以提公因式法因式分解为基础，通过给出的特殊分解过程引导学生归纳一般规律，既考查了因式分解的基本方法，也锻炼了学生由特殊到一般的逻辑归纳能力。
【难度系数】
0.7
（1）观察给出的因式分解过程，每一步都是将公因式$(x+1)$提取出来，据此可判断分解方法；
（2）类比已知的分解思路，反复提取公因式$(x+1)$，原式中$(x+1)$的最高次是2018，每次提取公因式后最高次减1，最终提取2019次公因式后即可得到结果；
（3）将（2）的规律推广到一般情况，当$(x+1)$的最高次为n时，一共提取$n+1$次公因式，即可得到最终结果。
【解析】
（1）观察分解过程，每一步均是提取公因式$(x+1)$进行因式分解，因此所用方法是提公因式法；
（2）对$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^{2018}$分解：
第1次提取公因式$(x+1)$，得：$(x+1)[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^{2017}]$
第2次提取公因式$(x+1)$，得：$(x+1)^2[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^{2016}]$
……
依次类推，共提取2019次公因式后，最终结果为$(x+1)^{2019}$；
（3）按照（2）的规律，当式子中$(x+1)$的最高次为n时，反复提取公因式$(x+1)$共$n+1$次，最终结果为$(x+1)^{n+1}$。
【答案】
(1) 提公因式法 (2) $(x+1)^{2019}$ (3) $(x+1)^{n+1}$
【知识点】
提公因式法，因式分解，规律归纳
【点评】
本题以提公因式法因式分解为基础，通过给出的特殊分解过程引导学生归纳一般规律，既考查了因式分解的基本方法，也锻炼了学生由特殊到一般的逻辑归纳能力。
【难度系数】
0.7
